Menyusun Dan Memilih Fungsi Kuadrat

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada bahan sebelumnya (sketsa grafik fungsi kuadrat), kita terdapat fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ dan diminta untuk menggambar grafiknya. Namun untuk bahan ini sebaliknya ialah ada grafik dan kita akan memilih atau menyusun fungsi kuadratnya. Fungsi kuadrat sanggup disusun menurut yang diketahui, ialah diketahui titik puncaknya, titik potong terhadap sumbu X, dan tiga titik sembarang yang dilalui oleh grafik.

         Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat menurut grafik yang diketahui atau menurut titik-titik yang diketahui, artinya di sini kita harus teliti dalam memilih jenis titik yang diketahui. Terkadang ada juga soal yang diketahui grafiknya, kita diminta untuk memilih nilai fungsi kuadratnya di $ \, x \, $ tertentu, langkah-langkahnya harus memilih fungsi kuadratnya dahulu barus kita substitusikan nilai $ x \, $ yang diminta sesampai kemudian kita akan memperoleh nilai fungsi kuadratnya.

         Pada soal-soal yang terkait dengan luas dan volume benda putar juga membutuhkan cara Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat, lantaran kekayaan niscaya grafik yang ditampilkan merupakan grafik fungsi kuadrat sesampai kemudian kita harus menetukan bentuk fungsi kuadratnya. Setelah itu gres kita sanggup mengintegralkan untuk memilih luas atau volume tempat yang diminta.

Rumus Dasar dalam Menyusun Fungsi Kuadrat
(i). Diketahui titik puncaknya $(x_p , y_p) $
         Rumus : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(ii). Parabola memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ [ $(x_1,0) \, $ dan $(x_2,0)$]
         Rumus : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(iii). Parabola melalui tiga titik sembarang selain titik-titik yang telas disebutkan di atas
         Cara : Untuk memilih fungsi kuadratnya, substitusikan ketiga titik yang diketahui ke bentuk umum FK $ y = ax^2+bx+c \, $ , kemudian eliminasi untuk memilih nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c $

         Berikut sedikit pola soal untuk menyusun fungsi kuadrat.

Contoh 1.

Tentukan fungsi kuadrat yang terdapat klimaks $(-1,2) \, $ dan melalui titik $(0,1)$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (-1,2) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 2 \\ y & = a(x+1)^2 + 2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,1)
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ 1 & = a(0+1)^2 + 2 \\ 1 & = a + 2 \\ a & = -1 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x^2+2x+1) + 2 \\ y & = -x^2 -2x -1 + 2 \\ y & = -x^2 -2x + 1 \end{align}$
Makara fungsi kuadratnya merupakan $ y = -x^2 -2x + 1 . \heartsuit $

Contoh 2.

Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?

Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (1,0) dan (4,0), artinya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ , serta melalui titik (0,2).
$\spadesuit \, $ Menyusun FK : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
$\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-1)(x-4) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,2)
$\begin{align} (x,y)=(0,2) \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ 2 & = a(0-1)(0-4) \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ a $
$\begin{align} a=\frac{1}{2} \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x^2 – 5x + 4) \\ y & = \frac{1}{2}x^2 – \frac{5}{2}x + 2 \end{align}$
Makara fungsi kuadratnya merupakan $ y = \frac{1}{2}x^2 – \frac{5}{2}x + 2 . \heartsuit $

Contoh 3.

Tentukan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik (1,0) dan melalui titik (0,-1) ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Kurva menyinggung sumbu X di titik (1,0), artinya titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (1,0) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-1)^2 + 0 \\ y & = a(x-1)^2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,-1)
$\begin{align} (x,y)=(0,-1) \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ -1 & = a(0+1)^2 \\ -1 & = a \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x^2-2x+1) \\ y & = -x^2 +2x -1 \end{align}$
Makara fungsi kuadratnya merupakan $ y = -x^2 +2x -1 . \heartsuit $

Contoh 4.

Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?

Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Parabola melalui titik (0,1), (3,1), dan (-1,0). Karena titik yang diketahui bukan klimaks atau bukan titik potong sumbu X, maka kita gunakan cara ketiga ialah substitusi semua titik tersebut ke bentuk umum FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik ke FK : $ y = ax^2 + bx + c $
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow 1 & = a.0^2 + b.0 + c \\ c & = 1 \, \, \, \, \text{…pers(i)} \\ (x,y)=(3,1) \rightarrow 1 & = a.3^2 + b.3 + c \\ 9a+3b+c & = 1 \, \, \, \, \text{…pers(ii)} \\ (x,y)=(-1,0) \rightarrow 0 & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a-b+c & = 0 \, \, \, \, \text{…pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi dan substitusi ketiga persamaan di atas untuk memilih nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c \, $ .
Diperoleh nilainya : $ a = -\frac{1}{4}, \, b = \frac{3}{4}, \, $ dan $ c = 1 $
$\spadesuit \, $ Fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \rightarrow y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 \end{align}$
Makara fungsi kuadratnya merupakan $ y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 . \heartsuit $

         Dari ketiga tipe rumus atau cara “Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat” ini, tipe ketiga yang agak lebih rumit lantaran kita harus melaksanakan eliminasi dan substitusi untuk memilih nilai $ a, \, b, \, $ dan $ \, c \, $ yang melibatkan tiga variabel. Butuh ketetukan dan ketelitian dalam pengerjaannya, lantaran salah satu saja maka yang lainnya juga ikut salah.

Baca Juga:   Terapan Fungsi Kuadrat Pada Nilai Maksimum Dan Minimum

         Menyusun fungsi kuadrat biasanya selalu keluar dalam Ujian Nasional atau ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri baik ujian bersama inginpun ujian mandirinya. Selamat belajar, supaya bermanfaat, dan terima kasih.