Menyusun Model Matematika Untuk Aktivitas Linear

Posted on

         Pondok Soal.com – Satu lagi materi dasar yang harus dikuasai untuk memudahkan dalam memecahkan kasus program linear yaitu Menyusun Model Matematika untuk Program Linear. Untuk memudahkan dalam membuat model matematika, kita harus membaca soal ceritanya secara cermat dan memahami soal secara mendalam. Berikut merupakan alur dari permasalahan aktual (dalam bentuk soal cerita) yang diubah dalam bentuk model matematika (agar sanggup diselesaikan) dan selanjutnya diselesaikan dengan aktivitas linear.

Pengertian Model Matematika
       Model matematika merupakan suatu cara simpel untuk menerjemahkan suatu kasus ke dalam bahasa matematika dengan memakai persamaan, pertaksamaan, atau fungsi. Model matematika dari setiap permasalahan aktivitas linear secara umum terdiri atas 2 komponen, yaitu:
1. Fungsi tujuan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ dan
2. Fungsi hambatan (berupa sistem pertaksamaan linear).

Langkah-langkah membuat model matemenonaktifkanya :
i). Baca soal secara cermat, dan misalkan (biasanya yang dimisalkan merupakan produknya).
ii). Susun pertaksamaannya menurut hambatan yang ada.
iii). Susun fungsi tujuannya.

Ciri-ciri tanda ketaksamaan yang dipakai :
*). tanda $ \geq \, $ dipakai untuk kata-kata : tiak kurang dari, minimal, sekecil-kecilnya, sekurang-kurangnya, minimum, paling sedikit.
*). tanda $ \leq \, $ dipakai untuk kata-kata : tiak lebih dari, maksimal, sebesar-besarnya, maksimum, paling kaya.

Contoh soal menyusun Model Matematika untuk Program Linear :
1). Kakak akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg telur. Sedangkan roti B membutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur. Kakak hanya mempunyai 15 kg tepung terigu dan 10 kg telur. Jika kayanya roti A yang akan dibentuk merupakan x dan kayanya roti B yang akan dibentuk merupakan y, maka tentukan model matemenonaktifkanya!

Penyelesaian :
*). Agar lebih gampang dalam membuat model matemenonaktifkanya, duduk kasus tersebut disaapabilan dalam tabel terlebih dahulu.

*). Menentukan bentuk pertaksamaannya (fungsi kendala) menurut kendalanya :
Kendala pertama tepung terigu :
Banyaknya tepung terigu yang diharapkan untuk membuat kedua roti merupakan ($x + 1,5y$) kg. Karena persediaan tepung terigu merupakan 15 kg, maka diperoleh hubungan:
$ x + 1,5 y \leq 15 \, $ atau kalikan 2 : $ 2x + 3y \leq 30 $ .
Kendala kedua telur :
Banyaknya telur yang diharapkan untuk membuat kedua roti merupakan ($0,5x + y$) kg. Karena persediaan telur merupakan 10 kg, maka diperoleh hubungan:
$ 0,5x + y \leq 10 \, $ atau kalikan 2 : $ x + 2y \leq 20 $
Bagian ketiga :
$ x $ dan $ y $ merupakan kayanya roti A dan roti B sesampai lalu $ x $ dan $ y $ tak cukup negatif. Oleh alasannya yaitu itu, $ x $ dan $ y $ harus memenuhi hubungan:
$ x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0$, dengan $ x, y \in C $.
Jadi, model matemenonaktifkanya merupakan $ 2x + 3y \leq 30, \, x + 2y \leq 20, x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0, $ dengan $ x, y \in C $. C merupakan bilangan cacah yang beranggotakan {0,1,2,3,4,5,…}.

Baca Juga:   Menyusun Sistem Pertidaksamaan Linear Jika Grafik Diketahui

2). Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak- anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian bawah umur memerlukan waktu 1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan 1,5 jam untuk tahap penjahitan. Sedangkan satu pakaian remaja memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam untuk pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan. Penjahit tersebut terdapat waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan. Keuntungan higienis pakaian bawah umur dan pakaian remaja merupakan Rp15.000,00 dan Rp30.000,00. Buatlah model matematika dari kasus aktivitas linear tersebut semoga diperoleh laba sebesar- besarnya!

Penyelesaian :
*). Produknya merupakan pakaian bawah umur dan pakaian remaja serta kendalanya merupakan waktu pengerjaan yang dibagi menjadi tiga yaitu pemotongan, pengobrasan, dan penjahitan.
Misalkan kayanya pakaian bawah umur = $ x $ dan kayanya pakaian remaja = $ y $. Agar lebih mudah, duduk kasus di atas disaapabilan dalam bentuk tabel sebagai berikut!

*). Menyusun fungsi kendalanya :
waktu pemotongan : $ x + 1,5y \leq 20 \, $ atau $ 2x + 3y \leq 40 $.
waktu pengobrasan : $ 0,5x + y \leq 15 \, $ atau $ x + 2y \leq 30 $.
waktu penjahitan : $ 1,5x + 2,5y \leq 40 \, $ atau $ 3x + 5y \leq 80 $.
Banyak barang positif : $ x \geq 0, \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya atau fungsi objektif atau fungsi sasaran :
$ z = 15.000x + 30.000y , \, $ atau ditulis $ f(x,y) = 15.000x + 30.000y $.
Dimana fungsi tujuannya merupakan fungsi laba yang akan ditentukan nilai maksimumnya.

Jadi, model matemenonaktifkanya merupakan :
Kendala : $ 2x + 3y \leq 40, x + 2y \leq 30, 3x + 5y \leq 80, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 15.000x + 30.000y $ .

Baca Juga:   Program Linear : Nilai Optimum Dengan Uji Titik Pojok

3). Seorang praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan A dan larutan B untuk eksperimennya. Larutan A mempunyai kandungan 10 ml materi I dan 20 ml materi II. Sedangkan larutan B mempunyai kandungan 15 ml materi I dan 30 ml materi II. Larutan A dan larutan B tersebut akan dipakai untuk membuat larutan C yang mempunyai kandungan materi I sedikitnya 40 ml dan materi II sedikitnya 75 ml. Harga tiap ml larutan A merupakan Rp5.000,00 dan tiap ml larutan B merupakan Rp8.000,00. Buatlah model matemenonaktifkanya semoga biaya untuk membuat larutan C sanggup ditekan sekecil-kecilnya!

Penyelesaian :
*). Produknya merupakan larutan A dan larutan B dan kendalanya merupakan materi I dan II.
Misalkan kayanya larutan A merupakan $ x $ dan kayanya larutan B merupakan $ y $. Agar lebih mudah, duduk kasus aktivitas linear tersebut disaapabilan dalam tabel ibarat berikut ini.

*). Menyusun fungsi hambatan menurut kendalanya :
di soal ini menggukanan kata sedikitnya, artinya tanda ketaksamaannya “$\geq$”.
Bahan I : $ 10x + 15y \geq 40 \, $ atau $ 2x + 3y \geq 8 $.
Bahan II : $ 20x + 30y \geq 75 \, $ atau $ 4x + 6y \geq 15 $.
Banyak larutan positif : $ x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya (sebagai fungsi biaya):
$ z = 5.000x + 8.000y $.

Jadi, model matemenonaktifkanya merupakan :
Kendala : $ 2x + 3y \geq 8, 4x + 6y \geq 15, x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 5.000x + 8.000y $.

4). Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon. Tempatnya hanya bisa menampung buah sekaya 60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rp140.000,00. Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga beli melon Rp2.000/kg. Keuntungan yang diperoleh dari penjual semangka Rp 1.500,00/kg dan melon Rp1.250,00/kg. Tentukan model matematika dari permasalahan ini.

Penyelesaian :
*). Produknya merupakan semangka dan melon serta kendalanya merupakan kapasitas keranjang dan harga.
Misalkan semangka sekaya $ x \, $ dan melon sekaya $ y $.
Tabel model matemenonaktifkanya :

*). Menyusun fungsi hambatan sesuai batasannya :
Kapasitas : $ x + y \leq 60 $
Harga : $ 2.500x + 2.000y \leq 140.000 \, $ atau $ \, 5x + 4y \leq 280 $ .
kaya buah positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.

Baca Juga:   Pengertian Aktivitas Linear Secara Umum

Jadi, model matemenonaktifkanya merupakan :
Kendalanya : $ x + y \leq 60, 5x + 4y \leq 280 , x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.

5). Suatu lahan parkir terdapat luas 800 m$^2$ dan hanya bisa menampung 64 bus dan mobil. Sebuah kendaraan beroda empat menghabiskan daerah 6 m$^2$ dan bus 24 m$^2$. Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus. Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan yang maksimum. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.

Penyelesaian :
*). Produknya merupakan kendaraan beroda empat dan bus serta kendalanya kapasitas (daya tampung) dan luas lahan.
Misalkan kendaraan beroda empat sekaya $ x $ dan bus sekaya $ y $.
Tabel model matemenonaktifkanya :

*). Menyusun fungsi kendalanya :
daya tampung : $ x + y \leq 64 $
Luas lahan : $ 6x + 24y \leq 800 $ .
Banyak kendaraan positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.

Jadi, model matemenonaktifkanya yaitu :
Kendala : $ x + y \leq 64, 6x + 24y \leq 800, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.