Menyusun Persamaan Kuadrat Gres

Posted on
  1. Persamaan x2 + 3x − 2 = 0 terdapat akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1x1 + 2 dan 1x2 + 2 merupakan ….
    A. 2x2 + 11x − 13 = 0
    B. 2x2 − 11x + 13 = 0
    C. 2x2 + 11x + 13 = 0
    D. 2x2 + 13x + 11 = 0
    E. 2x2 + 13x − 11 = 0

    Pembahasan :
    Untuk mengerjakan soal menyerupai ini, kita sanggup bergerak dari persamaan kuadrat yang diketahui terlebih dahulu. Tentukan hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
    ⇒ x2 + 3x − 2 = 0
    Diketahui : a = 1, b = 3, dan c = -2.

    Hasil jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 =-b
    a
    ⇒ x1 + x2 =-(3)
    1

    ⇒ x1 + x2 = -3

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 =c
    a
    ⇒ x1.x2 =-2
    1

    ⇒ x1 . x2 = -2

    Selanjutnya kita lihat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang akan kita susun.
    Hasil jumlah akar :

    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) =1+1+ 4
    x1x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) =x1 + x2+ 4
    x1 . x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) =-3+ 4
    -2
    ⇒ (1⁄x1 + 2) + (1⁄x2 + 2) =11
    2

    Hasil kali akar :

    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) =1+2+2+ 4
    x1.x2x1x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) =1+2x1 + 2x2+ 4
    x1.x2x1 . x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) =1+2(x1 + x2)+ 4
    x1.x2x1 . x2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) =1+2(-3)+ 4
    -2-2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) =1+ 7
    -2
    ⇒ (1⁄x1 + 2).(1⁄x2 + 2) =13
    2

    Kaprikornus persamaan kuadrat barunya merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (112)x + 132 = 0 
    ⇒ 2x2 − 11x + 13 = 0

    Jawaban : B

  2. Akar persamaan kuadrat x2 − 2x + 4 = 0 merupakan x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 + x2)2 dan (x1 − x2)2 merupakan ….
    A. x2 + 8x − 48 = 0D. x2 − 6x + 42 = 0
    B. x2 − 6x − 42 = 0E. x2 − 8x − 48 = 0
    C. x2 − 8x + 48 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 2x + 4 = 0
    Diketahui a = 1, b = -2, dan c = 4.

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 =-b
    a
    ⇒ x1 + x2 =-(-2)
    1

    ⇒ x1 + x2 = 2

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 =c
    a
    ⇒ x1.x2 =4
    1

    ⇒ x1 . x2 = 4

    Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = x12 + x22 + 2x1.x2 + x12 + x22x1.x2
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2x12 + 2x22
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2(x12 + x22)
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2[(x1 + x2)2 − 2x1.x2)]
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2[(2)2 − 2(4)]
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2(4 − 8)
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = 2(-4)
    ⇒ (x1 + x2)2 + (x1 − x2)2 = -8 

    Hasil kali akar :
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = (x12 + x22 + 2x1.x2).(x12 + x2− 2x1.x2)
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = x14 + x24 − 2x12x22
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]− 2(x1.x2)2 − 2(x1.x2)2
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]− 4(x1.x2)
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [(2)2 − 2(4)]− 4(4)2
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = [4 − 8]− 4(16)
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = 16 − 64
    ⇒ (x1 + x2)2.(x1 − x2)2 = -48

    Kaprikornus persamaan kuadrat barunya merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (-8)x + (-48) = 0
    ⇒ x2 + 8x − 48 = 0

    Jawaban : A

  3. Jika akar-akar dari persamaan x2 − 4x + 16 = 0 merupakan a2 dan b2, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya (a + b)2 dan (a − b)2 merupakan …..
    A. x2 − 18x − 48 = 0D. x2 − 8x − 48 = 0
    B. x2 + 8x + 48 = 0E. x2 − 8x + 48 = 0
    C. x2 + 8x − 48 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 4x + 16 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -4, dann c = 16

    Jumlah akar :

    ⇒ a2 + b2 =-b
    a
    ⇒ a2 + b2 =-(-4)
    1

    ⇒ a2 + b2 = 4

    Selisih akar :

    ⇒ a2 − b2 =D
    a
    ⇒ a2 − b2 =16 − 4(1)(16)
    1

    ⇒ a2 − b2 = √-48

    Selanjutnya hitung jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = a2 + b2 + 2a.b + a2 + b2a.b

    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 2a2 + 2b2
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 2(4)
    ⇒ (a + b)2 + (a − b)2 = 8

    Hasil kali akar :
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = (a2 + b2 + 2a.b).(a2 + b− 2a.b)
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = a4 + b4 − 2a2b2
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = (a2 − b2)2
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = (√-48)2
    ⇒ (a + b)2.(a − b)2 = -48

    Kaprikornus persamaan kuadrat barunya merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − 8x + (-48) = 0
    ⇒ x2 − 8x − 48 = 0

    Jawaban : D

  4. Akar persamaan kuadrat x2 − 4x + 6 = 0 merupakan x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x13 dan x23 merupakan ….
    A. x2 + 8x + 216 = 0D. x2 − 18x + 216 = 0
    B. x2 − 8x − 216 = 0E. x2 − 18x − 216 = 0
    C. x2 + 8x − 216 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 4x + 6 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -4, dan c = 6.

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 =-b
    a
    ⇒ x1 + x2 =-(-4)
    1

    ⇒ x1 + x2 = 4

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 =c
    a
    ⇒ x1.x2 =6
    1

    ⇒ x1.x2 = 6

    Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :

    ⇒ x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1.x2 (x1 + x2)
    ⇒ x13 + x23 = (4)3 − 3(6)(4)
    ⇒ x13 + x23 = 64 − 72
    ⇒ x13 + x23 = -8

    Hasil kali akar :
    ⇒ x13.x23 = (x1.x2)3
    ⇒ x13.x23 = (6)3
    ⇒ x13.x23 = 216

    Jadi, persamaan kuadrat barunya merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (-8)x + (216) = 0
    ⇒ x2 + 8x + 216 = 0

    Jawaban : A 

  5. Akar persamaan kuadrat x2 − 3x + 5 = 0 merupakan x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x14 dan x24 merupakan ….
    A. x2 − 36x − 625 = 0D. x2 + 49x + 625 = 0
    B. x2 + 36x − 625 = 0E. x2 − 49x + 625 = 0
    C. x2 − 49x − 625 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 3x + 5 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -3, dan c = 5

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 =-b
    a
    ⇒ x1 + x2 =-(-3)
    1

    ⇒ x1 + x2 = 3

    Hasil kali akar :

    ⇒ x1.x2 =c
    a
    ⇒ x1.x2 =5
    1

    ⇒ x1.x2 = 5

    Selanjutnya tinjau akar-akar persamaan kuadrat baru.
    Jumlah akar :
    ⇒ x14 + x2 = [(x1 + x2)2 − 2x1.x2]− 2(x1.x2)2
    ⇒ x14 + x2 = [(3)2 − 2(5)]− 2(5)2
    ⇒ x14 + x2 = (9 − 10)− 2(25)
    ⇒ x14 + x2 = 1 − 50
    ⇒ x14 + x2 = -49

    Hasil kali akar :
    ⇒ x14.x24 = (x1.x2)4
    ⇒ x14.x24 = (5)4
    ⇒ x14.x24 = 625

    Jadi, persamaan kuadrat barunya merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (-49)x + (625) = 0
    ⇒ x2 + 49x + 625 = 0

    Jawaban : D

Baca Juga:   Hubungan Implikasi, Konvers, Invers, Dan Kontraposisi