Metode Newton Raphson Untuk Menuntaskan Persamaan Tak Linier

Posted on

         Pondok Soal.comMetode Newton Raphson merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menuntaskan persamaan tak linier secara numerik. Secara numerik maksudnya penyelesaian persamaan dengan pendekatan angka tertentu, yang risikonya akan mendekati hasil secara eksak (hasil sebenarnya) atau bahkan sama dengan hasil secara numerik tergantung galat yang digunakan. Persamaan tak linier merupakan persamaan yang pangkat salah satu variabelnya lebih dari satu atau kurang dari satu (pangkat pecahan), misalkan $ 2x^2 – 3x + 1 = 0 , \, x^3 – +2x^2 – x + 5 = 0 , \, 5x^\frac{3}{2} + x – 1 = 0 , \, $ dan lainnya. Sementara penyelesaian dari persamaan tak linier merupakan nilai dari variabelnya (misalkan $x$) yang memenuhi persamaan tersebut atau biasa disebut dengan akar dari persamaan tersebut.

         Kemudian apa hubungannya turunan dengan metode Newton Rahpson untuk menuntaskan persamaan tak linier?. Metode Newton Raphson ini melibatkan “garis singgung pada kurva” yang melibatkan turunan secara eksklusif yang akan kita bahas lebih jelas pada artikel kali ini. Dari namanya, metode ini ditemukan oleh dua orang ialah Newton dan Raphson. Sebenarnya masih kaya lagi metode lain yang sanggup digunakan dalam menuntaskan persamaan tak linier ialah metode biseksi (bagi dua), metode regula falsi (posisi palsu), metode secant, dan lainnya. Namun Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling kaya dipakai, lantaran konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.

Pengertian Akar (pembuat nol) dari suatu persamaan $ f(x) = 0 $
       Misalkan $ f(x) $ merupakan suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan $ c $ pada domain $ f $ yang memenuhi $ f(c) = 0 $ disebut akar persamaan $ f(x) = 0$, atau disebut juga pembuat nol fungsi $ f(x) $. Secara singkat, $ c $ disebut akar fungsi $f(x)$.

Pengertian Metode Newton Raphson
       Meotde Newton Raphson merupakan salah satu metode dalam menuntaskan persamaan tak linier (menentukan salah satu akar dari persamaan tak linier), dengan prinsip utama sebagai berikut :
i). Melakukan pendekatan terhadap kurva $ f(x) $ dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik sebagai nilai awal,
ii). Nilai taksiran selanjutnya merupakan titik potong antara garis singgung kurva dengan sumbu X.

Perhatikan pendekatan metode Newton Raphson untuk persamaan $ f(x) = 0 $ ,

Dari grafik di atas, penyelesaian $ f(x) = 0 \, $ (akarnya) merupakan titik potong grafik fungsi $ f(x) \, $ terhadap sumbu X. Terlihat dari grafik, telah ditunjukan akar sebenarnya, dan untuk mencari akar bergotong-royong memakai metode Newton Raphson dengan pemberian garis singgung. Misalkan kita pilih akar pertama ialah $ x_0 \, $ ,
*). substitusi $ x_0 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_0,f(x_0)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik A ialah gs 1 yang memotong sumbu X di di $ x_1 $.
*). substitusi $ x_1 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung B($x_1,f(x_1)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik B ialah gs 2 yang memotong sumbu X di di $ x_2 $.
*). substitusi $ x_2 $ ke fungsi $ f(x) $, kita peroleh titik singgung A($x_2,f(x_2)$). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik C ialah gs 3 yang memotong sumbu X di di $ x_3 $.
begitu seterusnya sesampai kemudian akar-akar pendekatannya mendekati akar bergotong-royong dan sama dengan akar sebenarnya.

Rumus Metode Newton Raphson untuk menuntaskan persamaan tak linier
       Ketika kita menentukan nilai $ x_0 , \, $ bagaimana selanjutnya cara untuk menentukan nilai $ x_1, \, x_2, \, $ dan lainnya? Kita akan memakai rumus metode Newton Raphson dengan pemberian garis singgung kurva.
Perhatikan gambar berikut,

*). Persamaan garis singgung pada titik A($x_k,f(x_k)$) dengan gradien $ m = f^\prime (x_k) $ :
$ y – f(x_k) = m(x – x_k) \rightarrow y – f(x_k) = f^\prime (x_k) [(x – x_k)] \, $
*). Titik potong garis singgung dengan sumbu X di titik B($x_{k+1},0$) , substitusi titik B ke persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x,y) = (x_{k+1},0) \rightarrow y – f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x – x_k)] \\ 0 – f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} – x_k)] \\ – f(x_k) & = f^\prime (x_k) [(x_{k+1} – x_k)] \\ – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} & = (x_{k+1} – x_k) \\ x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \end{align} $
dengan $ k = \{0, 1, 2, 3, …. \} \, $ dan $ f^\prime (x_k) \, $ merupakan turunan fungsi $ f(x) $ untuk $ x = x_k \, $
Jadi, Rumus yang digunakan pada metode Newton Raphson merupakan :
$ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \, \, $ dengan $ f^\prime (x_k) \neq 0 $.

Langkah-langkah memakai metode Newton Raphson
       langkah-langkah dalam menuntaskan persamaan tak linier,
1). Tentukan nilai awal $ x_0 \, $.
       Nilai $ x_0 $ yang kita pilih bebas, jikalau semakin bersahabat dengan akar bergotong-royong akan lebih baik lantaran iterasi yang akan kita lakukan semakin sedikit. iterasi maksudnya pengulangan untuk menentukan nilai $x_1, \, x_2, \, $ dan seterusnya.

Baca Juga:   Menggambar Grafik Fungsi Memakai Turunan

2). Lakukan iterasi (pengulangan) untuk menentukan taksiran akar selanjutnya ($x_1, x_, x_3,…$) dengan substitusi nilai $ x_0 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
3). iterasi berhenti saat :
*). diperoleh nilai $ f(x_k) = 0 \, $ atau
*). Nilai akar-akar taksirannya sudah tetap ($x_{k+1} = x_k$) atau
*). nilai galat relatif $ x_k \, \leq \, $ toleransi galat $ x \, $ yang diminta.
dengan galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k – x_{k-1} }{x_k } \right| $

Catatan : Galat = error = kesalahan.

Contoh – tumpuan soal metode Newton Raphson :
1). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^3 – 2x^2 + 3x – 6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^3 – 2x^2 + 3x – 6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 6 $
sesampai kemudian turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 – 4x + 3 $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ (salah satu tumpuan pemilihan nilai $ x_0\, $ , pilih angka yang lain juga boleh).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 3 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 3 \rightarrow f(x_0) & = f(3) = 3^3 – 2.3^2 + 3.3 – 6 = 12 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (3) = 3.3^2 – 4.3 + 3 = 18 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 3 – \frac{12}{18} \\ x_{1} & = 2,33333333 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,33333333 \rightarrow f(x_1) & = f(2,33333333) = 2,814814815 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,33333333) = 10 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 – \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,33333333 – \frac{2,814814815}{10} \\ x_{2} & = 2,05185 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05185 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05185) = 0,373856831 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05185) = 0,373856831 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 – \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05185 – \frac{0,373856831}{0,373856831} \\ x_{3} & = 2,00149 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,00149 \rightarrow f(x_3) & = f(2,00149) = 0,010413554 \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,00149) = 7,011897728 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 – \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,00149 – \frac{0,010413554}{7,011897728} \\ x_{4} & = 2 \end{align} $
iterasi ke-5 : menentukan nilai $ x_5 $
$ \begin{align} x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) & = f(2) = 0 \end{align} $
Karena nilai $ f(2) = 0 , \, $ maka iterasi dihentikan. Artinya salah satu akar dari persamaannya merupakan $ x = 2 $.
Jadi, salah satu akar dari persamaan $ x^3 – 2x^2 + 3x – 6 = 0 \, $ merupakan 2.

Berikut tabel iterasi secara kompleks dari metode Newton Raphson.

2). Tentukan salah satu akar persamaan linier $ x^5 + 2x^2 – 4 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson , apabila diketahui nilai awal $ x_0 = 1 \, $ dan toleransi galat relatif $ x \, $ merupakan 0,001.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^5 + 2x^2 – 4 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^5 + 2x^2 – 4 $
sesampai kemudian turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 + 4x $.
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ (nilai $ x_0\, $ sudah ditentukan pada soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif $ x_k = \left| \frac{x_k – x_{k-1} }{x_k } \right| $
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 1 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 1 \rightarrow f(x_0) & = f(1) = 1^5 + 2.1^2 – 4 = -2 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (1) = 5.1^4 + 4.1 = 9 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 1 – \frac{-2}{9} \\ x_{1} & = 1,111111 \\ \text{galat } : x_1 & = \left| \frac{x_1 – x_0 }{x_1 } \right| \\ & = \left| \frac{1,111111 – 1 }{1,111111 } \right| \\ & = 0,1 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_1 = 0,1 \, $ tak kurang dari galat toleransi 0,001 , sesampai kemudian iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 1,111111 \rightarrow f(x_1) & = f(1,111111 ) = 0,162644583 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (1,111111 ) = 12,06523396 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 – \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 1,111111 – \frac{0,162644583}{12,06523396} \\ x_{2} & = 1,09763 \\ \text{galat } : x_2 & = \left| \frac{x_2 – x_1 }{x_2 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09763 – 1,111111 }{1,09763 } \right| \\ & = 0,012281 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_2 = 0,012281 \, $ tak kurang dari galat toleransi 0,001 , sesampai kemudian iterasi dilanjutkan lagi.

Baca Juga:   Menentukan Turunan Kedua Dan Turunan Lanjut

iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 1,09763 \rightarrow f(x_2) & = f(1,09763 ) = 0,002826142 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (1,09763 ) = 11,64815483 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 – \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 1,09763 – \frac{0,002826142}{11,64815483} \\ x_{3} & = 1,09739 \\ \text{galat } : x_3 & = \left| \frac{x_3 – x_2 }{x_3 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09739 – 1,09763 }{1,09739 } \right| \\ & = 0,000221 \end{align} $
Karena nilai galat $ x_3 = 0,000221 \, $ kurang dari galat toleransi 0,001 , sesampai kemudian iterasi sudah cukup dan sanggup dilarang dikarenakan telah memenuhi toleransi galat.
Jadi, salah satu akarnya merupakan $ x = 1,09739 $ .

Berikut tabel iterasi metode Newton Raphson tumpuan 2.

3). Tentukan salah satu akar dari persamaan $ x^2 – x -6 = 0 \, $ dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : $ x^2 – x -6 = 0 , \, $ artinya $ f(x) = x^2 – x -6 $
sesampai kemudian turunannya : $ f^\prime (x) = 2x – 1 $.

*). Untuk soal nomor 3 ini, caranya sama dengan soal nomor 1 dan nomor 2 sebelumnya. Kita lebih menenkankan pada penggunaan nilai $ x_0 \, $ yang dipilih. Sebenarnya persamaan $ x^2 – x -6 = 0 \, $ memiliki dua akar ialah -2 dan 3 menyerupai grafik di atas. Nilai $ x_0 \, $ yang kita pilih akan menentukan akar yang akan kita peroleh tergantung dari $ x_0 \, $ tersebut lebih bersahabat ke akar yang mana. Berikut bermacam variasi pemilihan nilai $ x_0 \, $ yang eksklusif disaapabilan dalam tabel berikut.
*). Pilih nilai $ x_0 = 4 \, $ yang lebih bersahabat dengan 3 daripada -2, maka saat kita iterasi untuk $ x_0 = 4 \, $ maka hasil akarnya merupakan 3 menyerupai pada tabel iterasi berikut,

*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih bersahabat dengan 3 daripada -2, maka saat kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil akarnya merupakan 3 menyerupai pada tabel iterasi berikut,

*). Pilih nilai $ x_0 = 0 \, $ yang lebih bersahabat dengan -2 daripada 3, maka saat kita iterasi untuk $ x_0 = 0 \, $ maka hasil akarnya merupakan -2 menyerupai pada tabel iterasi berikut,

*). Pilih nilai $ x_0 = -3 \, $ yang lebih bersahabat dengan -2 daripada 3, maka saat kita iterasi untuk $ x_0 = -3 \, $ maka hasil akarnya merupakan -2 menyerupai pada tabel iterasi berikut,

Catatan : iterasi akan dilarang saat nilai akar taksirannya sudah sama terus dari sebelum dan sesudahnya menyerupai pada tabel masing-masing di atas.

Dari masalah soal nomor 3 ini sanggup disimpulkan bahwa untuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ yang memiliki akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih ($x_0$) menghipnotis akar tamat yang diperoleh. Jika nilai awalnya ($x_0$) berbeda , maka kecukupan akar tamat (akar pendekatan) yang diperoleh juga berbeda tergantung nilai $ x_0 \, $ nya lebih bersahabat ke akar yang manan (akar sebenarnya).

Menentukan Titik Potong Dua Kurva memakai metode Newton Raphson
       Metode Newton Raphson juga sanggup digunakan untuk menentukan titik potong dua buah kurva. Misalkan kita menari titik potong antara kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) $, langkah-langkah yang dilakukan :
i). samakan kedua fungsi : $ g(x) = h(x) \rightarrow g(x) – h(x) = 0 \, $
ii). Misalkan $ f(x) = g(x) – h(x) \, $ , sesampai kemudian persamaannya menjadi : $ f(x) = 0 $.
iii). Langkah selanjutnya sama dengan menuntaskan persamaan $ f(x) = 0 $.

Contoh :
4). Tentukan salah satu titik potong grafik fungsi $ g(x) = x^3 – 5x + 3 \, $ dengan grafik fungsi $ h(x) = x + 1 \, $ dengan pendekatan metode Newton Raphson.?
Penyelesaian :
*). Gambar perpotongan kedua grafik fungsi,

*). Samakan kedua fungsi, sesampai kemudian :
$ g(x) = h(x) \rightarrow x^3 – 5x + 3 = x + 1 \rightarrow x^3 – 6x + 2 = 0 \, $
artinya kita peroleh : $ f(x) = x^3 – 6x + 2 $
turunannya : $ f^\prime (x) = 3x^2 – 6 $.
*). Untuk perhitungan metode Newton Raphson, caranya sama dengan tumpuan soal 1 dan soal 2 di atas, namun disini eksklusif kami saapabilan dalam bentuk tabelnya saja.
*). Dari grafik perpotongan kedua kurva $ g(x) \, $ dan $ h(x) \, $ , ternyata ada tiga titik perpotongannya ialah titik A, titik B, dan titik C. Artinya titik potong yang kita peroleh dari setiap percobaan sanggup berbeda tergantung nilai awal ($x_0$) yang kita pilih. Berikut masalah masing-masing pemilihan nilai $ x_0 $ beserta titik potong yang diperoleh,
*). Pilih nilai $ x_0 = 3 \, $ yang lebih bersahabat dengan titik A daripada titik B atau C, maka saat kita iterasi untuk $ x_0 = 3 \, $ maka hasil titik potongnya merupakan titik A dengan yang kita peroleh nilai $x_A $ menyerupai tabel iterasi berikut,

titik A merupakan ($ x_A, h(x_A)$) dengan $ x_A = 2,26180225 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = 1 \, $ yang lebih bersahabat dengan titik B daripada titik A atau C, maka saat kita iterasi untuk $ x_0 = 1 \, $ maka hasil titik potongnya merupakan titik B dengan yang kita peroleh nilai $x_B $ menyerupai tabel iterasi berikut,

titik B merupakan ($ x_B, h(x_B)$) dengan $ x_B = 0,33987689 $ .
*). Pilih nilai $ x_0 = -2 \, $ yang lebih bersahabat dengan titik C daripada titik A atau B, maka saat kita iterasi untuk $ x_0 = -2 \, $ maka hasil titik potongnya merupakan titik C dengan yang kita peroleh nilai $x_C $ menyerupai tabel iterasi berikut,

titik C merupakan ($ x_C, h(x_C)$) dengan $ x_C = -2,6016791 $ .
Jadi, sanggup disimpulkan bahwa apabila nilai awalnya ($x_0$) berbeda, maka titik potong yang diperoleh juga akan berbeda menyerupai yang telah dicoba di atas.

Menentukan Nilai akar suatu bilangan dengan Metode Newton Raphson
       Ternyata metode Newton Raphson sanggup digunakan untuk menghitung nilai dari bentuk akar , misalkan $ \sqrt[3]{35} , \, \sqrt[5]{50} , \, $ dan lainnya. Langkah-langkahnya ialah :
i). Misalkan nilai yang dicari dengan suatu variabel,
ii). Ubah permisalan menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 \, $ dengan menerapkan sifat eksponen (perpangkatan).
Sifat-sifat eksponen yang digunakan :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} ; \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} ; $
$ a^\frac{1}{n} = b \rightarrow a = b^n $
iii). Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar-akarnya.

Contoh :
5). Tentukan nilai $ \sqrt[5]{37} \, $ dengan metode Newton Raphson?
Penyelesaian :
*). Misalkan nilai $ \sqrt[5]{37} = x \, $ artinya sama saja dengan mencari nilai $ x $ .
*). Mengubah menjadi bentuk persamaan $ f(x) = 0 $ .
$ \begin{align} x & = \sqrt[5]{37} \\ x & = 37^\frac{1}{5} \\ x^5 & = 37 \\ x^5 – 37 & = 0 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaannya merupakan $ x^5 – 37 = 0 \, $
yang artinya $ f(x) = x^5 – 37 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 5x^4 $ .
*). Melakukan metode Newton Raphson,
*). Kita pilih nilai awal $ x_0 = 2 \, $ (pemilihan terserah).
*). Melakukan iterasi dengan $ x_0 = 2 \, $ pada rumus : $ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $ .
iterasi ke-1 : menentukan nilai $ x_1 $
$ \begin{align} x_0 = 2 \rightarrow f(x_0) & = f(2) = 2^5 – 37 = -5 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (2) = 5.2^4 = 80 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 2 – \frac{-5}{80} \\ x_{1} & = 2,0625 \end{align} $
iterasi ke-2 : menentukan nilai $ x_2 $
$ \begin{align} x_1 = 2,0625 \rightarrow f(x_1) & = f(2,0625) = (2,0625)^5 – 37 = 0,322419167 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,0625) = 5.(2,0625)^4 = 90,47859192 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 – \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,0625 – \frac{0,322419167}{90,47859192} \\ x_{2} & = 2,05893651 \end{align} $
iterasi ke-3 : menentukan nilai $ x_3 $
$ \begin{align} x_2 = 2,05893651 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05893651) = (2,05893651)^5 – 37 = 0,001112197 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05893651) = 5.(2,05893651)^4 = 89,85491281 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 – \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05893651 – \frac{0,001112197 }{89,85491281} \\ x_{3} & = 2,05892414 \end{align} $
iterasi ke-4 : menentukan nilai $ x_4 $
$ \begin{align} x_3 = 2,05892414 \rightarrow f(x_3) & = f(2,05892414) = (2,05892414)^5 – 37 = 1,33723 \times 10^{-8} \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,05892414) = 5.(2,05892414)^4 = 89,85275211 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 – \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,05892414 – \frac{1,33723 \times 10^{-8} }{89,85275211} \\ x_{4} & = 2,05892414 \end{align} $

Baca Juga:   Turunan Fungsi Trigonometri

Karena nilai akar taksirannya sudah sama ialah $ x_3 = x_4 = 2,05892414 \, $ maka iterasi sanggup dihentikan. Artinya nilai akar taksirannya sudah konvergen ke $ x = 2,05892414 \, $ yang mana nilai ini sanggup disebut sebagai akar taksiran dari persamaan $ x^5 – 37 = 0 . $ Sesampai kemudian nilai $ \sqrt[5]{37} = x = 2,05892414 $.
Jadi, nilai $ \sqrt[5]{37} = 2,05892414 \, $ . (pendekatan delapan angka dibelakang koma).

Catatan :
*). Untuk penghitungan memakai tabel dan bentuk angka yang sulit, penulis memakai perhitungan pemberian dari komputer.
*). Pembahasan Metode Newton Raphson pada artikel kali ini sebatas untuk memenuhi bahan kurikulum 2013 saja, yang artinya pembahasannya tak terlalu mendalam. Sebenarnya penyelesaian persamaan tak linier termasuk dalam pelajaran di dingklik kuliah, yang artinya untuk tingkat kuliah pada pembahasan di artikel ini masih belum cukup lantaran masih ada pembahasan yang lebih mendalam lagi perihal metode Newton Raphson.