Nilai Maksimum Atau Minimum Pada Soal Cerita

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada soal-soal UAN atau soal-soal seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri biasanya kita diminta memilih nilai maksimum atau minimum pada suatu soal cerita atau secara umum disebut nilai optimum pada soal cerita. Untuk menuntaskan soal cerita, salah satu yang kita gunakan merupakan memakai turunan. Pada artikel kali ini kita khusus membahas materi nilai maksimum dan minimum pada soal cerita. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, kita harus membaca dahulu materi “turunan fungsi aljabar“, “turunan fungsi trigonometri“, dan “nilai stasioner“.

Menentukan nilai Optimum pada soal kisah memakai turunan
       Langkah-langkah penyelesaian soal kisah untuk nilai maksimum atau minimumnya :
i). Buatlah variabel yang mewakili satuan-satuan pada soal cerita.
ii). Buatlah persamaan yang mewakili dan yang diketahui pada soal cerita.
iii). Buatlah fungsi yang mewakili soal kisah yang ingin dicari nilai maksimum atau minimumnya.
iv). Tentukan nilai variabelnya adengan memakai syarat stasioner dari fungsi yang terbentuk, dan tentukan nilai fungsinya.
vi). Nilai fungsi yang diperoleh merupakan nilai optimum dari soal kisah (nilai maksimum atau minimum).

Contoh :
1). Jumlah dua bilangan merupakan 6. Tentukan hasil kali terbesar yang cukup dari kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
*). Misalkan kedua bilangan tersebut merupakan $ a \, $ dan $ b $ .
Jumlah kedua bilangan = 6 , $ a + b = 6 \rightarrow a = 6 – b \, $ ….pers(i)
*). Menyusun fungsi yang diminta ialah persobat semuanya , misalkan fungsi nya $ f $.
sesampai kemudian fungsi pada soal kisah merupakan $ f = a.b $ .
*). Substitusi pers(i) ke fungsinya biar menjadi satu variabel,
$ f = a. b \rightarrow f = (6-b).b \rightarrow f(b) = -b^2 + 6b $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b \, $ dengan syarat stasioner :
$ f^\prime (b) = 0 \rightarrow -2b + 6 = 0 \rightarrow b = 3 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada ketika $ b = 3 $ .
sesampai kemudian nilai $ a = 6 – b = 6 – 3 = 3 $.
Diperoleh nilai bilangan pertama 3 dan bilangan kedua 3 biar persobat semua kedua bilangan terbesar.
*). Persobat semua terbesar kedua bilangan merupakan $ a . b = 3.3 = 9 $.
sanggup juga eksklusif substitusi $ b = 3 \, $ ke fungsi $ f(b) = -b^2 + 6b $
$ f_{maks} = f(3) = -(3)^2 + 6. 3 = -9 + 18 = 9 $.
Jadi, nilai terbesar persobat semua kedua bilangan tersebut merupakan 6.

Baca Juga:   Definisi Turunan Fungsi Secara Umum

2). Lapangan berbentuk persegi panjang yang terbentang di tepi jalan raya, hendak dipagari tenamun sepanjang tepi jalan tak ikut dipagari. Harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan jalan merupakan RP. 120.000 per meter, dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya merupakan RP. 80.000 per meter. Tentukanlah ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang sanggup dipagari dengan pagar seharga Rp. 36.000.000 ?
Penyelesaian :
*). Misalkan $ x \, $ meter merupakan panjang sisi lapangan yang tegak lurus dengan jalan, dan $ y \, $ meter merupakan panjang sisi lapangan yang sejajar dengan jalan raya, serta $ L \, $ merupakan luas lapangan.
Luas lapangan : $ L = xy $.

*). Menyusun persamaan.
Harga pagar sisi lapangan yang tegak lurus jalan raya merupakan 80.000 per meter,
Harga pagar sisi lapangan yang sejajar jalan raya merupakan 120.000 per meter,
Biaya total yang dimiliki merupakan 36.000.000
Sesampai kemudian persamaan yang terbentuk merupakan :
$ \begin{align} \text{jumlah total haraga pagar } & = 36.000.000 \\ 80000x + 80000x + 120000y & = 36.000.000 \\ 160000x + 120000y & = 36.000.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 40.000)} \\ 4x + 3y & = 900 \\ 3y & = 900 – 4x \\ y & = \frac{900 – 4y}{3} \\ y & = 300 – \frac{4}{3}x \, \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Menyusun fungsi luasnya, substitusi pers(i) ke luas :
$ L = x.y \rightarrow L = x (300 – \frac{4}{3}x) \rightarrow L(x) = 300x – \frac{4}{3}x^2 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ L(x) = 300x – \frac{4}{3}x^2 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow 300 – \frac{8}{3}x = 0 \rightarrow x = 112,5 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada ketika $ x = 112,5 $ .
sesampai kemudian nilai $ y = 300 – \frac{4}{3}x = 300 – \frac{4}{3}. (112,5) = 150 $.
Jadi, Ukuran lapangannya merupakan panjangnya 150 m dan lebarnya 112,5 m.

Baca Juga:   Aturan Rantai Turunan Fungsi

3). Suatu perbisnisan kardus akan membuat kotak tanpa tutup dari karton berbentuk persegi berukuran panjang sisinya 12 m. Pembuatan kotak dilakukan dengan cara memotong persegi-persegi yang ukurannya sama dari keempat sudutnya, kemudian melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran pemotongan biar diperoleh kotak kardus dengan isi terbesar.?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,

Keterangan :
gambar (a) menyatakan karton dan gambar (b) menyatakan kotak kardus yang terbentuk.
*). Misalkan $ x \, $ merupakan ukuran sisi-sisi persegi dari keempat sudutnya. $ x \, $ disini merupakan ukuran pemotongan di keempat sudutnya. Setelah sisi-sisinya dilipat, maka terbentuk kotak dengan ukuran $ (12- 2x) , \, (12-2x) , \, $ dan $ x \, $ menyerupai gambar di atas.
*). Menyusun fungsi volume kotak,
$ \begin{align} V & = \text{luas ganjal } \times \text{ tinggi} \\ V & = (12-2x).(12-2x).x \\ V(x) & = 144x – 48x^2 + 4x^3 \end{align} $
fungsinya : $ V(x) = 144x – 48x^2 + 4x^3 $
$ v^\prime (x) = 144 – 96x + 12x^2 \, $ dan $ V^{\prime \prime } (x) = -96 + 24x $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ V(x) = 144x – 48x^2 + 4x^3 \, $ dengan syarat stasioner :
$ V^\prime (x) = 0 \rightarrow 144 – 96 x + 12x^2 = 0 \rightarrow 12(x-2)(x-6) \rightarrow x = 2 \vee x = 6 $ ,
*). Cek jenis stasioner dari $ x = 2 \vee x = 6 \, $ ke turunan kedua :
Untuk $ x = 2 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.2 = -48 \, $ (negatif), jenisnya maksimum.
Untuk $ x = 6 \rightarrow V^{\prime \prime } (2) = -96 + 24.6 = 48 \, $ (positif), jenisnya minimum.
Artinya volume kotak akan maksimum pada ketika $ x = 2 $ .
Jadi, pemotongan sudut karton sebesar 2 m, akan menawarkan volume kotak maksimum.

4). Jumlah materi bakar solar selama satu tahun yang diharapkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan $ v $ km/jam memenuhi persamaan $ Q(v) = – \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ liter. Tentukan jumlah maksimum solar yang diharapkan dalam empat tahun.?
Penyelesaian :
*). Kita cari dahulu jumlah solar maksimum yang diharapkan setiap tahunnya, kemudian kita kalikan 4.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ Q(v) = – \frac{1}{65}v^2 + 2v + 2500 \, $ dengan syarat stasioner :
$ L^\prime (x) = 0 \rightarrow Q(v) = – \frac{2}{65}v + 2 = 0 \rightarrow v = 65 $ ,
artinya fungsi tersebut maksimum pada ketika $ v = 65 $ .
*). Jumlah maksimum solar yang diharapkan setiap tahun pada ketika $ v = 65 $ .
$ v = 65 \rightarrow Q(65) = – \frac{1}{65}.65^2 + 2.65 + 2500 = 2565 \, $ litar.
Sesampai kemudian jumlah maskimum soal selama 4 tahun $ = 4 \times 2565 = 10260 \, $ litar.
Jadi, Jumlah maksimum solar yang diharapkan empat tahun merupakan 10.260 liter.

Baca Juga:   Menggambar Grafik Fungsi Memakai Turunan

5). Selembar aluminium akan dibentuk silinder tanpa tutup dengan volume 8.000$\pi$ cm$^3$. Tentukan tinggi dan jari-jari ganjal silinder biar aluminium yang dipakai seminimal cukup.
Penyelesaian :
*). Misalkan : jari-jari silinder $ r \, $ , tinggi silinder $ t \, $, volumenya $ v \, $ dan luas silinder $ L $ .
*). Menyusun persamaan :
Diketahui volume silinder = 8.000$\pi$ . $ \begin{align} \text{volume } & = \text{Luas ganjal } \times \text{ tinggi } \\ 8000\pi & = \pi r^2 . t \\ 8000 & = r^2 . t \\ t & = \frac{8000}{r^2} \, \, \, \, \, \, \text{…pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan fungsinya (Luas silinder/tabung) :
Luas silinder tanpa tutup :
$ L = \text{ luas ganjal } + \text{luas selimut } \rightarrow L = \pi r^2 + 2\pi r t $
*). Substitusi pers(i) ke fungsi luasnya :
$ \begin{align} L & = \pi r^2 + 2\pi r t \\ L & = \pi r^2 + 2\pi r . \frac{8000}{ r^2} \\ L & = \pi r^2 + \frac{16000 \pi}{ r} \\ L^\prime & = 2\pi r – \frac{16000 \pi}{ r^2 } \, \, \, \, \text{(turunannya)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ L^\prime = 0 $
$ \begin{align} L^\prime & = 0 \\ 2\pi r – \frac{16000 \pi}{ r^2 } & = 0 \\ 2\pi r & = \frac{16000 \pi}{ r^2 } \\ r & = \frac{8000}{ r^2 } \\ r^3 & = 8000 \\ r & = 20 \end{align} $
Sesampai kemudian : $ t = \frac{8000}{r^2} = \frac{8000}{(20)^2} = \frac{8000}{400} = 20 $ .
Jadi, tinggi silinder $ t = 20 $ cm dan jari-jari ganjal $ r = 20 $ cm.