Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari “nilai stasioner fungsi“, kita lanjutkan dengan pembahasan aplikasi turunan lainnya ialah nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Sebenarnya untuk nilai maksimum dan minimum suatu fungsi materinya menyerupai dengan nilai stasioner , hanya saja kita lebih spesifik membahas jenis maksimum dan minimumnya saja. Untuk memudahkan mempelajari bahan ini, sebaiknya baca bahan “turunan fungsi aljabar“, “turunan fungsi trigonometri” dan “turunan kedua fungsi“.

Langkah-langkah Menentukan Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi
       Untuk memilih nilai maksimum dan minimum suatu fungsi $ y = f(x) $ , kita ikuti langkah-langkahnya menyerupai berikut :
i). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ ,
ii). Tentukan jenis stasionernya (maksimum, belok, atau minimum) memakai turunan kedua,
iii). Menghitung nilai maksimum atau minimum yang diminta dengan substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal.

Catatan :
Nilai maksimum dan minimum yang dimaksud untuk suatu fungsi merupakan nilai maksimum dan minimum lokal, artinya hanya berlaku pada interval tertentu saja. Berikut gambar ilustrasinya.

Contoh :
1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 $
$ f^\prime (x) = -2x + 4 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -2 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow -2x + 4 = 0 \rightarrow x = 2 $ .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = -2 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ x = 2\, $ menjadikan fungsinya maksimum.
*). Menentukan nilai maksimum ketika $ x = 2 $ , substitusi ke fungsi awal
$ f_{maks} = f(2) = -(2)^2 + 4.2 + 3 = 7 $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 \, $ merupakan 7 pada ketika $ x = 2 $ .

2). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 2x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 2x + 3 $
$ f^\prime (x) = x^2 + x – 2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 2x + 1 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow x^2 + x – 2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $ .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk $ x = -2 \rightarrow f^{\prime \prime } (-2) = 2.(-2) + 1 = -3 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ x = – 2\, $ menjadikan fungsinya maksimum.
untuk $ x = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 2.(1) + 1 = 3 \, $ (positif), jenisnya minimum. Artinya nilai $ x = 1\, $ menjadikan fungsinya minimum.
*). Menentukan nilai minimum ketika $ x = 1 $ , substitusi ke fungsi awal
$ f_{min} = f(1) = \frac{1}{3}.1^3 + \frac{1}{2}.1^2 – 2.1 + 3 = \frac{11}{6} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 2x + 3 \, $ merupakan $ \frac{11}{6} $ pada ketika $ x = 1 $ .

Baca Juga:   Aturan Rantai Turunan Fungsi

3). Fungsi $ f(x) = \frac{1}{2}x – \sqrt{x – p } \, $ terdapat nilai maksimum $ \frac{5}{2} $. Tentukan nilai $ 2p – 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{2}x – \sqrt{x – p } $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} – \frac{1}{2\sqrt{x-p}} \, $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \frac{1}{2} – \frac{1}{2\sqrt{x-p}} & = 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x-p}} & = \frac{1}{2} \\ \sqrt{x-p} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{x-p})^2 & = 1^2 \\ x-p & = 1 \\ x & = p+1 \end{align} $ .
Artinya fungsi $ f(x) \, $ maksimum pada ketika $ x = p + 1 \, $ .
*). Menentuka nilai $ p \, $ dengan nilai maksimumnya $ \frac{5}{2} \, $ pada ketika $ x = p + 1 $ . Artinya $ f_{maks} = \frac{5}{2} \rightarrow f(p+1) = \frac{5}{2} $ . Substitusi $ x = p + 1 \, $ ke fungsi awal diperoleh nilai maksimumnya :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{1}{2}x – \sqrt{x – p } \\ f(p+1) & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) – \sqrt{(p+1) – p } & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) – \sqrt{1} & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) – 1 & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) & = \frac{5}{2} + 1 \\ \frac{1}{2}(p+1) & = \frac{7}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ p + 1 & = 7 \\ p & = 6 \end{align} $ .
Sesampai lalu nilai $ p = 6 $ .
Nilai $ 2p – 5 = 2.6 – 5 = 12 – 5 = 7 $
Jadi, nilai $ 2p – 5 = 5 $ .

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval tertentu
       Nilai maksimum atau minimum fungsi $ y = f(x) \, $ pada interval $ a \leq x \leq b \, $ sanggup diperoleh dengan cara :
i). Tentukan nilai fungsi pada batas interval ialah $ f(a) \, $ dan $ f(b) $ .
ii). Menentukan nilai $ x \, $ yang ada pada interval $ a \leq x \leq b \, $ yang menjadikan nilai maksimum atau minimum dengan syarat stasioner dan memilih nilai fungsinya.
iii). Bandingkan nilai fungsi yang diperoleh dari (i) dan (ii), pilih sesuai yang dibutuhkan (nilai maksimum atau minimum).

Contoh :
4). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 2x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 3$? Penyelesaian :
*). Soal ini sama dengan pola soal nomor 2 di atas, nilai minimumnya pada ketika $ x = 1 $ .
*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya ialah $ f (0) \, $ dan $ f(3) $.
Untuk $ x = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 – 2.0 + 3 = 3 $
Untuk $ x = 3 \rightarrow f(3) = \frac{1}{3}.3^3 + \frac{1}{2}.3^2 – 2.3 + 3 = \frac{21}{2} $
*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum ketika $ x = 1 \, $ yang ada pada interval $ 0 \leq x \leq 3 \, $ . Untuk $ x = 1 \rightarrow f(1) = \frac{1}{3}.1^3 + \frac{1}{2}.1^2 – 2.1 + 3 = \frac{11}{6} $
Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ merupakan $ \frac{11}{6} $ .

Baca Juga:   Turunan Fungsi Logaritma Dan Eksponen

Jika nilai $ x \, $ yang memenuhi syarat stasioner tida pada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka nilai fungsi untuk syarat stasioner ini tak perlu di hitung.

5). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 2x + 3 \, $ pada interval $ -2 \leq x \leq 0$? Penyelesaian :
*). Soal ini sama dengan pola soal nomor 2 di atas, nilai minimumnya pada ketika $ x = 1 $ .
*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya ialah $ f (-2) \, $ dan $ f(0) $.
Untuk $ x = -2 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}.(-2)^3 + \frac{1}{2}.(-2)^2 – 2.(-2) + 3 = \frac{19}{3} $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 – 2.0 + 3 = 3 $
*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum ketika $ x = 1 \, $ yang tak ada pada interval $ -2 \leq x \leq 0 \, $ . Artinya nilai fungsi untuk $ x = 1 \, $ tak perlu kita hitung.
Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ merupakan $ 3 $ .

Contoh nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri.
6). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $
$ f^\prime (x) = 3\cos x – 4\sin x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -3\sin x – 4\cos x $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3\cos x – 4\sin x & = 0 \\ 3\cos x & = 4\sin x \\ \frac{\sin x }{\cos x } & = \frac{3}{4} \\ \tan x & = \frac{3}{4} \end{align} $ .
memilih nilai $ \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ dari $ \tan x = \frac{3}{4} $ .
Rumus dasar $ \tan x = \frac{depan}{samping} = \frac{3}{4} \, $ artinya pada segitiga siku-siku panjang depan sudutnya 3 dan sampingnya 4, sesampai lalu dengan teorema pythagoras sisi miringnya merupakan 5.
Nilai $ \sin x = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{3}{5} \, $
Nilai $ \cos x = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{4}{5} \, $
lantaran nilai tan aktual sanggup dikuasran I atau kuadran III, sesampai lalu nilai sin dan cos juga sanggup aktual atau negatif.
Untuk lebih terang, sialhkan baca bahan “perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku“.
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
turunan keduanya : $ f^{\prime \prime } (x) = -3\sin x – 4\cos x $
Nilai maksimum : Agar turunan keduanya bernilai negatif, maka nilai sin dan cos harus aktual semua. artinya fungsi akan maksimum pada ketika $ \sin x = \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos x = \frac{4}{5} $.
Nilai minimum : Agar turunan keduanya bernilai positif, maka nilai sin dan cos harus negatif semua. artinya fungsi akan maksimum pada ketika $ \sin x = – \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos x = – \frac{4}{5} $.
*). Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $
Nilai maksimum :
$ f_{maks} = 3\sin x + 4 \cos x = 3. \frac{3}{5} + 4 . \frac{4}{5} = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5 $
Nilai minimum :
$ f_{maks} = 3\sin x + 4 \cos x = 3. (-\frac{3}{5}) + 4 . (-\frac{4}{5}) = -\frac{9}{5} – \frac{16}{5} = -\frac{25}{5} = -5 $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x \, $ merupakan 5 dan nilai minimumnya merupakan $ – 5 $ .

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Pada Kurva Memakai Turunan

Catatan : Sebenarnya apabila dari syarat stasionernya kita sanggup memilih nilai $ x \, $ , maka carilah nilai $ x \, $ dahulu gres kita tentukan jenis stasionernya dengan substitusi besar sudutnya ($x$).