Nilai Stasioner Suatu Fungsi Dan Jenisnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Aplikasi lainnya dari turunan merupakan untuk memilih nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya. Setiap fungsi baik fungsi aljabar inginpun fungsi trigonometri niscaya terdapat yang namanya titik balik baik klimaks inginpun titik lembah yang kerap disebut dengan titik balik maksimum dan titik balik minimum. Kumpulan semua titik balik dan titik belok tersebut disebut dengan titik stasioner.

Perhatikan grafik fungsi $ y = f(x) \, $ berikut ini,

         Dari grafik di atas, titik A, B, C, D, dan E disebut titik-titik stasioner dengan B dan D merupakan titik balik minimum, A dan C merupakan titik balik maksimum, serta titik E merupakan titik belok. Pertanyaannya merupakan bagaimanan cara memilih semua titik-titik tersebut? Nah disinilah turunan berperan sangat penting dalam memilih titik-titik stasioner tersebut. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita pelajari dahulu materi “turunan fungsi aljabar“, “turunan fungsi trigonometri“, dan “turunan kedua suatu fungsi“.

Menentukan Titik Stasioner dan Nilai stasioner suatu fungsi
       Misalkan terdapat fungsi $ y = f(x) \, $ yang sanggup diturunkan (diferentiable), untuk memilih titik stasionernya kita harus memilih nilai $ x \, $ terlebih dahulu dengan cara memakai syarat stasioner ialah :
Syarat Stasioner : $ f^\prime (x) = 0 \, $ (turunan pertama = 0).

       Dari syarat stasioner $ f^\prime (x) = 0 \, $ , akan kita peroleh nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan tersebut, anggap saja $ x = c \, $ yang memenuhi $ f^\prime (c) = 0 . \, $ Akan kita peroleh :
Titik ($c, f(c)$) disebut sebagai titik stasioner, dan
Nilai fungsi $ y = f(c) \, $ disebut sebagai Nilai stasionernya.

Catatan :
*). Banyaknya nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ f^\prime (x) = 0 \, $ sanggup lebih dari satu, ini tergantung dari bentuk fungsinya.
*). Untuk memilih jenis stasionernya, ada dua cara ialah memakai turunan pertama atau memakai turunan kedua.

Contoh :
1). Tentukan titik dan nilai stasioner dari fungsi-fungsi berikut :
a). $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 – x^2 – 8x + 1 $
b). $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
a). Menentukan nilai $ x \, $ menurut syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 – x^2 – 8x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 – 2x – 8 $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 – 2x – 8 & = 0 \\ (x +2)(x-4) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 4 \, $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = -2 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 – (-2)^2 – 8.(-2) + 1 = \frac{31}{3} $ .
Sesampai kemudian untuk $ x = -2 \, $ , nilai stasionernya $ \frac{31}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( -2, \frac{31}{3} \right)$ .
Untuk $ x = 4 \rightarrow f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 – (4)^2 – 8.(4) + 1 = -\frac{77}{3} $ .
Sesampai kemudian untuk $ x = 4 \, $ , nilai stasionernya $ -\frac{77}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .
Jadi, titik stasionernya merupakan $\left( -2, \frac{31}{3} \right) \, $ dan $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .

b). Menentukan nilai $ x \, $ menurut syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) \rightarrow f^\prime (x) = 2 \cos (2x) $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2 \cos (2x) & = 0 \\ \cos (2x) & = 0 \\ 2x & = 90^\circ \rightarrow x = 45^\circ \\ 2x & = 270^\circ \rightarrow x = 135^\circ \\ 2x & = 450^\circ \rightarrow x = 225^\circ \\ 2x & = 630^\circ \rightarrow x = 315^\circ \end{align} $
Untuk menuntaskan persamaan trigonometri, silahkan baca materinya lebih lanjut pada artikel “penyelesaian persamaan trigonometri“.
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f(45^\circ) = \sin ( 2 \times 45^\circ ) = \sin 90^\circ = 1 $ .
Sesampai kemudian untuk $ x = 45^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 45^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f(135^\circ) = \sin ( 2 \times 135^\circ ) = \sin 270^\circ = -1 $ .
Sesampai kemudian untuk $ x = 135^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 135^\circ , -1 \right)$ .
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f(225^\circ) = \sin ( 2 \times 225^\circ ) = \sin 450^\circ = 1 $ .
Sesampai kemudian untuk $ x = 225^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 225^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f(315^\circ) = \sin ( 2 \times 315^\circ ) = \sin 630^\circ = -1 $ .
Sesampai kemudian untuk $ x = 315^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 315^\circ , -1 \right)$ .
Jadi, titik stasionernya merupakan $\{ \left( 45^\circ , 1 \right), \left( 135^\circ , -1 \right),\left( 225^\circ , 1 \right), \left( 315^\circ , -1 \right) \} $ .

Menentukan jenis stasioner memakai turunan pertama
       Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $ artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$). Kita akan uji titik disebelah kiri ($x=a$) dan sebelah kanan ($x = b$) pada $ x = c \, $ ialah $ a < c < b \, $ dengan cara substitusi titik yang ingin diuji ke fungsi turunan pertamanya untuk memilih jenis stasionernya. Ada 4 kecukupan yang akan kita peroleh ialah :
i). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya merupakan titik belok. Berikut garis bilangannya,

ii). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya merupakan maksimum (titik balik maksimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya merupakan minimum (titik balik minimum). Berikut garis bilangannya,

iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya merupakan titik belok. Berikut garis bilangannya,

Contoh :
2). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 – 5x + 6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya $ f(2) = \frac{1}{3}.2^3 – \frac{5}{2}.2^2 + 6.2 = 4\frac{2}{3} $
sesampai kemudian titik stasionernya : $ (2,4\frac{2}{3}) $
Untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya $ f(3) = \frac{1}{3}.3^3 – \frac{5}{2}.3^2 + 6.3 = 4\frac{1}{2} $
sesampai kemudian titik stasionernya : $ (3, 4\frac{1}{2}) $
*). Menentukan jenis stasionernya :
Kita peroleh nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 , \, $ akan kita uji titik disekitar 2 dan 3 dengan mensubstitusikannya ke turunan pertama ialah $ f^\prime (x) = (x-2)(x-3) $ .
Untuk $ x = 0 \, $ disebelah kirinya 2,
$ x = 0 \rightarrow f^\prime (0) = (0-2)(0-3) = 6 \, $ (positif),
Untuk $ x = 2,5 \, $ diantara 2 dan 3,
$ x = 2,5 \rightarrow f^\prime (2,5) = (2,5-2)(2,5-3) = -0,25 \, $ (negatif),
Untuk $ x = 4 \, $ disebelah kanannya 3,
$ x = 4 \rightarrow f^\prime (4) = (4-2)(4-3) = 2 \, $ (positif),
Garis bilangannya :

Dari garis bilangan terlihat bahwa ,
untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya merupakan $ 4\frac{2}{3} \, $ jenisnya maksimum.
Sesampai kemudian titik stasioner $ (2,4\frac{2}{3}) \, $ jenisnya titik balik maksimum.

Baca Juga:   Menentukan Turunan Kedua Dan Turunan Lanjut

untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya merupakan $ 4\frac{1}{2} \, $ jenisnya minimum.
Sesampai kemudian titik stasioner $ (3,4\frac{1}{2}) \, $ jenisnya titik balik minimum.

Menentukan jenis stasioner memakai turunan Kedua
       Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $ artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$). Untuk memilih jenis stasionernya, kita akan memakai turunan kedua, artinya $ x = c \, $ kita substitusikan ke turunan kedua dengan 3 kecukupan ialah :

i). Jika $ f^{\prime \prime } (c) > 0 \, $ maka jenisnya minimum (grafik cekung ke atas).
ii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) = 0 \, $ maka jenisnya belok (titik belok).
iii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum (grafik cekung ke bawah).
Catatan : perubahan kecekungan disebut titik belok.

Contoh :
3). Tentukan jenis stasioner dari fungsi pada soal nomor 2 di atas.
Penyelesaian :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
$ f^{\prime \prime } (x) = 2x – 5 $
*). Dari perhitungan sebelumnya diperoleh $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 $.
*). Cek turunan kedua untuk memilih jenis stasionernya :
untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = 2.2 – 5 = -1 < 0 \, $ (negatif), artinya pada dikala $ x = 2 \, $ jenis stasionernya merupakan maksimum.
untuk $ x = 3 \rightarrow f^{\prime \prime } (3) = 2.3 – 5 = 1 > 0 \, $ (positif), artinya pada dikala $ x = 3 \, $ jenis stasionernya merupakan minimum.
Jadi, jenis stasioner yang diperoleh sama dengan cara memakai turunan pertama pada pola soal nomor 2.

4). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Soal pola 4 ini sama dengan soal pola 1 bab b, artinya kita telah memperoleh nilai $ x \, $ yang memenuhi syarat stasioner ialah : $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $
*). Menentukan turunan kedua :
fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) $
$ f^\prime (x) = 2 \cos 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
*). Menentukan jenis stasionernya memakai turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (45^\circ) = -4 \sin 2 \times 45^\circ = -4 \sin 90^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada dikala $ x = 45^\circ \, $ jenis stasionernya merupakan maksimum.
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (135^\circ) = -4 \sin 2 \times 135^\circ = -4 \sin 270^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada dikala $ x = 135^\circ \, $ jenis stasionernya merupakan minimum.
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (225^\circ) = -4 \sin 2 \times 225^\circ = -4 \sin 450^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada dikala $ x = 225^\circ \, $ jenis stasionernya merupakan maksimum.
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (315^\circ) = -4 \sin 2 \times 315^\circ = -4 \sin 630^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada dikala $ x = 315^\circ \, $ jenis stasionernya merupakan minimum.

Baca Juga:   Metode Newton Raphson Untuk Menuntaskan Persamaan Tak Linier

5). Diketahui fungsi $ y = mx^3 + nx^2 $ dengan $ m $ dan $ n $ konstan, terdapat titik stasioner pada titik ($1, -1$). Tentukan nilai $ m $ dan $ n $.
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ y = mx^3 + nx^2 $
$ f^\prime (x) = 3mx^2 + 2nx $
*). Titik ($1,-1$) merupakan titik stasioner, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik sesampai kemudian sanggup kita substitusikan eksklusif ke fungsinya :
$ \begin{align} (x,y) = (1,-1) \rightarrow y & = mx^3 + nx^2 \\ -1 & = mx. 1^3 + n.1^2 \\ m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
Karena titik ($1,-1$) merupakan titik stasioner, maka untuk $ x = 1 \, $ (absisnya) niscaya memenuhi syarat stasioner ialah $ f^\prime (1) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 3mx^2 + 2nx \\ f^\prime (1) & = 0 \\ 3m.1^2 + 2n.1 & = 0 \\ 3m + 2n & = 0 \, \, \, \, \, \text{….pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc } m + n = -1 & \times 2 & 2m + 2n = -2 & \\ 3m + 2n = 0 & \times 1 & 3m + 2n = 0 & – \\ \hline & & -n = -2 & \\ & & n = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ m + n = -1 \rightarrow m + (2) = -1 \rightarrow m = -3 $ .
Jadi, kita peroleh nilai $ m = -3 \, $ dan $ n = 2 $ .

6). Fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b \, $ terdapat titik belok ($1,-3$). Tentukan nilai $ 6a – 18 b $ ?
Penyelesaian :
*). Titik ($1,-3$) merupakan titik belok, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik fungsinya sesampai kemudian sanggup kita substitusi ke fungsinya.
$ \begin{align} (x,y) = (1,-3) \rightarrow y & = ax^4 + x^2 + 3b \\ -3 & = a.1^4 + 1^2 + 3b \\ a + 3b & = -4 \, \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan kedua fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b $
$ f^\prime (x) = 4ax^3 + 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime }(x) = 12ax^2 + 2 $
*). Syarat titik belok merupakan $ f^{\prime \prime }(x) = 0 $
*). Titik ($1,-3$) merupakan titik belok sesampai kemudian $ x = 1 \, $ (absisnya) memenuhi syarat titik belok ialah $ f^{\prime \prime }(1) = 0 $
$ f^{\prime \prime }(1) = 0 \rightarrow 12a.1^2 + 2 = 0 \rightarrow a = – \frac{1}{6} $.
Pers(i) : $ a + 3b = -4 \rightarrow – \frac{1}{6} + 3b = -4 \rightarrow b = – \frac{23}{18} $
Jadi, nilai $ 6a – 18 b = 6(- \frac{1}{6}) – 18(- \frac{23}{18}) = – 1 + 23 = 22 $ .

Baca Juga:   Turunan Fungsi Logaritma Dan Eksponen

7). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = 4x^5 – 5x^4 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 – 5x^4 $
$ f^\prime (x) = 20x^4 – 20x^3 = 20x^3(x – 1) \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 – 60x^2 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 20x^4 – 20x^3 & = 0 \\ 20x^3(x – 1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 – 5x^4 $
Untuk $ x = 0 \, $ nilai stasionernya $ f(0) = 4.0^5 – 5.0^4 = 0 $
sesampai kemudian titik stasionernya : $ (0,0) $
Untuk $ x = 1 \, $ nilai stasionernya $ f(1) = 4.1^5 – 5.1^4 = -1 $
sesampai kemudian titik stasionernya : $ (1, -1) $
*). Menentukan jenis stasionernya memakai turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 – 60x^2 $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 80.0^3 – 60.0^2 = 0 \, $ , artinya pada dikala $ x = 0 \, $ jenis stasionernya merupakan titik belok.
Untuk $ x = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 80.1^3 – 60.1^2 = 20 \, $ (positif) , artinya pada dikala $ x = 1 \, $ jenis stasionernya merupakan minimum.
Jadi, diperoleh titik stasioner (0,0) jenisnya titik belok dan titik stasioner (1,20) jenisnya titik balik minimum.