Notasi Sigma Dan Sifat-Sifatnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel kali ini kita akan membahas bahan Notasi Sigma dan Sifat-sifatnya. Notasi sigma sangat penting dalam matematika alasannya yaitu ada sedikit bahan yang menggukanan notasi sigma menyerupai “Jumlah Riemann” untuk luas suatu tempat tertentu, “barisan dan deret”, “matematika keuangan”, dan “induksi matematika”.

         Notasi sigma yang dilambangkan dengan ” $\sum \, $ ” merupakan sebuah aksara Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini dipakai untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret. Penjumlahn pada notasi sigma dilakukan dengan meningkatkan indeksnya satu dari batas bawah hingga batas atasnya.

Penjabaran Notasi Sigma
*). Notasi Sigma terdapat simbol $ \displaystyle \sum_{BB}^{BA} \, fungsi \, $.
dimana BB = Batas Bawah dan BA = Batas Atas, serta ada fungsi yang akan dihitung nilainya.

*). Penulisan notasi sigma :
       Jika diketahui suatu barisan tak bersampai lalu $ a_1, a_2, a_3, . . ., a_n, \, $ maka jumlah dari $ n $ suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, a_k $.
artinya bentuk $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, a_k = a_1 + a_2 + a_3 + …+a_n $.

Catatan :
*). Indeks $ k \, $ bertambah satu terus dari batas bawah $(k=1)$ hingga batas atas $(k=n)$.
*). Indeks $ k \, $ sanggup dimengganti dengan aksara lain, misalkan $ i , \, j, \, $ dan lainnya.
*). $ a_k \, $ merupakan suatu fungsi dengan variabel $ k $ .

Contoh soal notasi sigma :
1). Nyatakan setiap Notasi sigma berikut dalam bentuk deret dan hitunglah balasannya :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) $
d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 – 2j + 1) $

Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\ & = 15 \end{align} $
Sesampai lalu deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k = 15 $.

b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k & = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 \\ & = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 \\ & = 45 \end{align} $
Sesampai lalu deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k = 45 $.

c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) & = (1^2 + 5) + (2^2 + 5) + (3^2 + 5) \\ & = (1 + 5) + (4 + 5) + (9 + 5) \\ & = (6) + (9) + (14) \\ & = 29 \end{align} $
Sesampai lalu deretnya : $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) = (6) + (9) + (14) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} \, (i^2 + 5) = 29 $.

d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 – 2j + 1) $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 – 2j + 1) & = (0^2 – 2.0 + 1) + (1^2 – 2.1 + 1) + (2^2 – 2.2 + 1) + (3^2 – 2.3 + 1) \\ & = (1) + (1 – 2 + 1) + (4 – 4 + 1) + (9 – 6 + 1) \\ & = (1) + (0) + ( 1) + (4) \\ & = 6 \end{align} $
Sesampai lalu deretnya : $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 – 2j + 1) = (1) + (0) + ( 1) + (4) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} \, (j^2 – 2j + 1) = 6 $.

Beberapa Rumus Umum Notasi Sigma
       Jumlah deret aritmatika, deret kuadrat dan kubik dalam notasi sigma :
i). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
ii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
iii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $

Contoh soal :
2). Tentukan hasil dari bentuk notasi sigma berikut ini :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2019} \, k $
b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, i^2 $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 $

Penyelesaian :
*). Kita pribadi gunakan rumus umum di atas :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2019} \, k \, $ , artinya $ n = 2019 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{2019} \, k & = 1 + 2 + 3 + … + 2019 \\ & = \frac{1}{2}n(n+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2019 \times (2019+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2019 \times (2019) \\ & = 2019 \times (1009) \\ & = 2.035.153 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2019} \, k = 2.035.153 $

b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, i^2 \, $ , artinya $ n = 2019 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, i^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 2019^2 \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2019 \times (2019+1) \times (2 \times 2019+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2019 \times (2019) \times (4033) \\ & = 336 \times (2019) \times (4033) \\ & = 2.733.212.496 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, i^2 = 2.733.212.496 $

c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 \, $ , artinya $ n = 1991 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 & = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 1991^3 \\ & = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1991+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1992) \right)^2 \\ & = \left( 1991 \times 996 \right)^2 \\ & = \left( 1.983.036 \right)^2 \\ & = 3.932.431.777.296 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 = 3.932.431.777.296 $

3). Tentukan bentuk notasi sigma dari deret berikut ini :
a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n $
d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + … $
e). $ y_1 + y_2 + y_3 + … + y_{25} $
f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + … + xy^{n-1} + y^n $

Penyelesaian :
*). Untuk mengubah kebentuk notasi sigma, maka kita harus tahu dahulu rumus suku ke-$n$ untuk masing-masing deret.
a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
Deret ini merupakan deret aritmatika dengan $ b= 2 \, $ dan $ a = 1 $,
Sesampai lalu $ u_n = a + (n-1)b = 1 + (n-1).2 = 2n – 1 $.
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 & = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1 ) + …+(2.8 – 1 ) \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^{8} \, (2i – 1) \end{align} $

b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{6} \, k^2 \end{align} $

c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n & = 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5 + … + 2n \\ & = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \,2j \end{align} $

d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + … $
Bentuk $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + … = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + … $
Perhatikan pembilangnya : $ 1,2,3,4,5, …. \, $ , artinya suku ke-$n$ merupakan $ u_n = n $
Perhatikan penyebutnya : $ 1,3,5,7,9, …. \, $ , sama menyerupai bab (a) yaitu $ u_n = 2n-1 $
Sesampai lalu rumus suku ke-$n $ dari deret ini merupakan $ u_n = \frac{n}{2n-1} $.
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + … & = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + … + \frac{n}{2n-1} \\ & = \frac{1}{2.1- 1} + \frac{2}{2.2-1} + \frac{3}{2.3-1} + \frac{4}{2.4-1} + … + \frac{n}{2n-1} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \frac{k}{2k-1} \end{align} $

e). $ y_1 + y_2 + y_3 + … + y_{25} $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} y_1 + y_2 + y_3 + … + y_{25} & = \displaystyle \sum_{i=1}^{25} \, y_i \end{align} $

f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + … + xy^{n-1} + y^n $
*). Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align} & x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + … + xy^{n-1} + y^n \\ & = x^{n-0}y^0 + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + … + x^{n-(n-1)} y^{n-1} + x^{n-n}y^n \\ & = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \, x^{n-k}y^k \end{align} $

Sifat-sifat Notasi Sigma
       berikut merupakan sifat-sifat notasi sigma yang akan sanggup membantu kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan notasi sigma.
1). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, c = n . c \, $ , dengan $ c \, $ merupakan konstanta.
bentuk lebih umumnya : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c = (n-m+1) . c $
2). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k $.
3). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
4). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k – b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k – \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
5). $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} \, a_k = 0 $.
6). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
7). $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m+p}^{n+p} \, a_{k-p} = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
dengan nilai $ m < p < n $ .
8. $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{j=m}^{n} \, a_j $
(batas bawah dan atas sama serta bentuk fungsinya sama, hanya saja variabelnya berbeda).

Contoh soal sifat-sifat notasi sigma :
4). Tentukan hasil dari notasi sigma berikut sesuai dengan sifat-sifatnya.
a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2019} \, 4 $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k $
c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) $
d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) $
e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) $
f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) $

Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2019} \, 4 $
Berdasarkan sifat (1) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c = (n-m+1) . c $
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=5}^{2019} \, 4 & = \underbrace{4 + 4 + 4 + … + 4}_{\text{sekaya } (2019 – 5 + 1) } \\ & = (2019 – 5 + 1) . 4 \\ & = (2012) . 4 \\ & = 8048 \end{align} $

b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k $
Bedasarkan sifat (2) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,2k & = 2 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k \\ & = 2 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\ & = 2 \times (15) \\ & = 30 \end{align} $

c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) $
Bedasarkan sifat (3) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, b_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,(k^2 + 3k) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \,k^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, 3k \\ & = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) + 3 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \, k \\ & = (1 + 4 + 9 + 16 + 25) + 3 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\ & = (55) + 3 \times (15) \\ & = (55) + 45 \\ & = 100 \end{align} $

d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) $
Bedasarkan sifat (5) : $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} \, a_k = 0 $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=5}^{5} \,(k^5 + 7) & = 0 \end{align} $

e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) $
Bedasarkan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{15} \,(k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} \,(k + 3) + \displaystyle \sum_{k=10}^{15} \,(k + 3) \end{align} $

f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) $
Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} \,(5k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1001 -1000}^{1009-1000} \,[5(k + 1000) + 3] \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} \,(5 k + 5003) \end{align} $

5). Hasil dari $ \displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(2k -1)^2 – 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(k^2 – k + 1) \, $ merupakan ….?

Penyelesaian :
*). Untuk soal ini bersama-sama sanggup pribadi kita hitung, hanya saja akan menyulitkan kita alasannya yaitu batasnya sangat besar (dari 2 hingga 2019), sebaiknya kita memakai sifat-sifat notasi sigma saja.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(2k -1)^2 – 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(k^2 – k – 3) & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(4k^2 – 4k + 1) – 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(k^2 – k + 1) \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(4k^2 – 4k + 1) – \displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(4k^2 – 4k + 4) \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,[ (4k^2 – 4k + 1) – (4k^2 – 4k + 4)] \\ & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2019} \,(-3) \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ & = (2019 – 2 + 1) \times (-3) \\ & = (2019) \times (-3) \\ & = -6.045 \end{align} $

6). Jika diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) = 245 \, $ dan $ \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) = 145 , \, $ maka nilai dari $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) \, $ merupakan …?

Penyelesaian :
*). Kita gunakan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} \, a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \, a_k $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) & = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) \\ 245 & = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + 145 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) & = 100 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) = 100 $.

7). Diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{20} k = x \, $ . Tentukan nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k – 1999) \, $ ?

Penyelesaian :
Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} \, a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} \, a_{k+p} $.
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k – 1999) & = \displaystyle \sum_{k=1001 – 1000}^{1020 -1000} (2(k+1000) – 1999) \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 2000 – 1999) \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 1) \, \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} 2k + \displaystyle \sum_{k=1}^{20} \, (1) \, \, \, \, \, \text{(sifat 1 dan 2)} \\ & = 2\displaystyle \sum_{k=1}^{20} k + (20-1+1) \times 1 \\ & = 2 x + 20 \end{align} $

8). Diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{100} \, (3^i + i^3) = M $ dan $ \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \, (3^k + k^3) = N $. Tentukan relasi antara M dan N!
Penyelesaian :
*). Perhatikan bentuk kedua notasi sigma :
-). Memiliki batas bawah 1 dan batas atas 100 (kedua notasi sigma batasnya sama)
-). Bentuk fungsinya sama hanya saja variabelnya berbeda.
Sesampai lalu sanggup kita simpulkan bahwa nilai M sama dengan nilai N menurut sifat notasi sigma yang nomor 8 di atas.
Jadi, relasi M dan N merupakan $ M = N $.

9). Diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{100} \, (3^i + i^3) = M $ dan $ \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \, (3^{k+3} + (3k)^3) = N $. Tentukan relasi antara M dan N!
Penyelesaian :
*). Perhatikan bentuk kedua notasi sigma :
-). Memiliki batas bawah 1 dan batas atas 100 (kedua notasi sigma batasnya sama)
-). Bentuk fungsinya berbeda, sesampai lalu perlu kita modifikasi bentuk fungsinya yaitu:
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \, (3^{k+3} + (3k)^3) & = N \, \, \, \, \, \, \text{(sifat eksponen)} \\ \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \, (3^{k}. 3^3 + 3^3.k^3) & = N \\ \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \, (3^{k}. 27 + 27k^3) & = N \\ \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \, 27(3^{k} + k^3) & = N \, \, \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ 27 \left( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \, (3^{k} + k^3) \right) & = N \, \, \, \, \, \, \text{(sifat 8)} \\ 27 \left( \displaystyle \sum_{i=1}^{100} \, (3^{i} + i^3) \right) & = N \\ 27M & = N \end{align} $
Jadi, relasi M dan N merupakan $ 27M = N $.

10). DIketahui nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, 3f(i) = a $ dan $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2000} \, 2f(i) = b $ dengan $ f(i) $ merupakan suatu fungsi bernilai real. Tentukan nilai $ \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, (5f(i) + 2 ) $ dalam bentuk $ a $ dan $ b $!
Penyelesain :
*). Kita gunakan sifat-sifat notasi sigma yang ada untuk menuntaskan tumpuan soal nomor 10 ini.
*). Mengubah bentuk yang diketahui dengan sifat 1 :
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, 3f(i) = a \rightarrow 3 \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, f(i) = a \rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, f(i) = \frac{a}{3} $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{2000} \, 2f(i) = b \rightarrow 2\displaystyle \sum_{i=1}^{2000} \, f(i) = b \rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^{2000} \, f(i) = \frac{b}{2} $.
*). Menentukan nilai $ \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, f(i) $ menurut sifat 6:
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{2019} \, f(i) & = \displaystyle \sum_{i=1}^{2000} \, f(i) + \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, f(i) \\ \frac{a}{3} & = \frac{b}{2} + \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, f(i) \\ \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, f(i) & = \frac{a}{3} – \frac{b}{2} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, (5f(i) + 2 ) $ :
$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, (5f(i) + 2 ) & = \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, 5f(i) + \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, 2 \\ & = 5 \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, f(i) + (2019 – 2001 + 1) \times 2 \\ & = 5 \left( \frac{a}{3} – \frac{b}{2} \right) + 17 \times 2 \\ & = \frac{5}{3}a – \frac{5}{2}b + 34 \end{align} $
Jadi, hasil daris $ \displaystyle \sum_{i=2001}^{2019} \, (5f(i) + 2 ) = \frac{5}{3}a – \frac{5}{2}b + 34 $

         Demikian pembahasan kita seputar notasi sigma dan sifat-sifatnya. Sebenarnya hanya dengan kita tahu menjabarkan bentuk notasi sigma sudah cukup bagi kita untuk menghitung nilai dari notasi sigma tersebut, hanya saja dengan dukungan sifat-sifatnya juga akan sangat membantu untuk mempermudah kita dalam menuntaskan soal-soal. Terlebih ada soal tertentu yang memang pengerjaannya harus memakai sifat-sifat notasi sigma menyerupai soal nomor (6) dan nomor (7) di atas.

         Sekali lagi kami mengingatkan notasi sigma ini sangat penting untuk dikuasai alasannya yaitu akan terkait pribadi dengan bahan lain pada matematika. Semoga bahan yang disaapabilan pada artikel ini bermanfaat untuk kita semua, terlebih bagi teman-teman yang sangat membutuhkannya. Terima kasih.