Operasi Baris Elementer (Obe) Dan Penerapannya

Posted on

         Pondok Soal.comOperasi Baris Elementer (OBE) merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE sanggup dipakai untuk memilih invers suatu matriks dan menuntaskan suatu sistem persamaan linear (SPL). Untuk cara memilih invers anda sanggup baca artikel “Determinan dan invers matriks“, dan menuntaskan SPL dengan konsep matriks anda sanggup membaca artikel “Penerapan matriks pada SPL“.

         Operasi Baris Elementer (OBE) merupakan salah satu alternatif dalam menuntaskan suatu bentuk matriks ibarat memilih invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear memakai dua cara ialah “Eliminasi Gauss” dan “Eliminasi Gauss-Jordan”. Materi OBE ini sesungguhnya dipelajari pada tingkat perkuliahan, untuk tingkat Sekolah Menengan Atas jarang yang membahasnya. Hal ini disebabkan tingkatnya sudah lebih sulit dari bahan matriks lain yang sudah dibahas.

Operasi Baris Elementer (OBE)
Perhatikan matriks berordo $ m \times n \, $ berikut :
                  $ A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ … & … & … \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} \right] $
Kita menyebut masing-masing ($a_{i1} \, … \, a_{in}$) sebagai baris-baris dari matriks A. Pada matriks A kita sanggup melaksanakan operasi-operasi berikut :
         1). mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol,
         2). menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain,
         3). menukarkan sebarang dua buah baris,
Ketiga operasi di atas disebut Operasi Baris Elementer (OBE). Ketiga operasi OBE sanggup dipakai atau hanya memakai salah satunya saja. Suatu matriks $ A^\prime \, $ yang diperoleh dari proses sejumlah hingga lalu OBE pada matriks A, dikatakan ekuivalen dengan matriks A, yang sanggup dinotasikan dengan $ A \sim A^\prime $ .

Catatan :
Simbol yang dipakai untuk ketiga operasi :
*). Operasi I, simbolnya $ kR_i \rightarrow R_i \, $ artinya baris ke-$i$ berubah sesudah dikalikan $ k $
*). Operasi II, simbolnya $ R_i +kR_j \rightarrow R_i \, $ artinya baris ke-$i$ berubah sesudah dilakukan penjumlahan $ R_i + kR_j $
*). Operasi III, simbolnya $ R_i \leftrightarrow R_j \, $ artinya kedua baris berubah dengan bertukar posisi.

Contohnya :
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] $
Tentukan matriks gres yang diperoleh sesudah melaksanakan operasi baris elementer (OBE) berikut ini secara berurutan : $ 2R_1 , R_2 \leftrightarrow R_3, R_2 + 3R_3 $
Penyelesaian :
*). Pertama : $ 2R_1 \, $ artinya baris satu dikalikan dengan 2, kesudahannya merupakan :
$ A_{op1} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] $
*). Kedua : dilanjutnkan dengan $ R_2 \leftrightarrow R_3 \, $ artinya baris 2 dan 3 ditukar, diperoleh :
$ A_{op12} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
*). ketiga : dilanjutkan dengan $ R_2 + 3R_3 \, $ artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga, kesudahannya
$ A_{op123} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 + 3.2 & -2 + 3.4 & 3 + 3.5 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
$ A_{op123} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
Kalau ditulis secara kompleks merupakan
$ \begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \\ & 2R_1 \rightarrow R_1 \\ & \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \\ & R_2 \leftrightarrow R_3 \\ & \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] \\ & R_2 + 3R_3 \rightarrow R_2 \\ & \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] \end{align} $
Makara matriks gres yang diperoleh dari hasil OBE merupakan $ A^\prime = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $

Penerapan OBE untuk memilih invers matriks

Catatan : Jika sesudah dilakukan sedikit kali OBE dan diperoleh salah satu baris isinya nol semua, maka matriks tersebut tak memiliki invers alasannya determinannya sama dengan nol.

Contoh : Tentukan invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian : Kita gabungkan kedua matriks A dan I dan kita lakukan OBE
bentuk awal : $[A|I] : \, \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 8 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_2 – 2R_1 \rightarrow R_2 \\ R_3 – R_1 \rightarrow R_3 \end{array} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & | & -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ R_3 +2R_2 \rightarrow R_3 \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -5 & 2 & 1 \end{matrix} \right) $
$ (-1)R_3 \rightarrow R_3 \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_1 – 3R_3 \rightarrow R_1 \\ R_2 + 3R_3 \rightarrow R_2 \end{array} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & | & -14 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
$ R_1 – 2R_2 \rightarrow R_1 \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & -40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
Bentuk simpulan : $ [I|A^{-1}] : \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & -40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
Jadi, invers matriks A merupakan $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} -40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $

Penerapan OBE untuk menuntaskan SPL

         Penerapan Operasi Baris Elementer (OBE) dalam menuntaskan Sistem Persamaan Linear (SPL) dikenal dengan nama Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan. Untuk penerapan matriks ialah memakai konsep determinan dan invers matriks dalam menuntaskan SPL, anda sanggup baca artikel “Penerapan matriks pada SPL“. Namun pada artikel ini kita akan lebih mendalam membahas penerapan OBE. Berikut ada sedikit istilah yang harus kita ketahui dahulu sebelum menuntaskan SPL dengan OBE.

Matriks Eselon Baris (MEB)
         Suatu matriks disebut sebagai Matriks Eselon Baris (MEB) apabila memenuhi :
1). Jika memeuat baris tak nol maka entri tak nol paling kiri merupakan 1, selanjutnya elemen tersebut (angka 1) kita sebut sebagai elemen pivot.
2). Untuk sebarang dua baris tak nol yang berurutan, elemen pivot baris lebih bawah terletak lebih kanan.
3). Jika memuat baris-baris nol maka semuanya terletak dibagian bawah matriks.

Berikut contoh-contoh matriks eselon baris :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 5 & 9 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{matrix} \right), D = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, E = \left( \begin{matrix} 1 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $

Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT)
         Suatu matriks disebut sebagai Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT) apabila matriks tersebut merupakan Matriks Eselon baris dimana setiap kolom yang memiliki elemen pivot memiliki nol pada entri yang lain pada kolom pivot tersebut

Berikut contoh-contoh matriks eselon baris Tereduksi :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{matrix} \right), D = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, E = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $

Matriks Lengkap atau matriks augmentasi (augmented matrix form)
Misalkan ada sistem persamaan linear (SPL)
SPL $ \left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_1 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_2 = b_2 \\ …. ..+ ….. + … … + …. .. = …… \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n = b_m \end{array} \right. $
Bentuk matriksnya merupakan $ A_{m \times n} X_{n \times 1} = B_{m \times 1}, $ ialah
$ \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ … \\ x_n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ … \\ b_m \end{matrix} \right) $
dengan $ A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} \right) , \, X_{n \times 1} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ … \\ x_n \end{matrix} \right) , \, $ dan $ B_{m \times 1} = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ … \\ b_m \end{matrix} \right) $

Baca Juga:   Pengenalan Matriks

Matriks kompleks merupakan matriks yang digabung antara matriks koefisien (matriks A) dengan matriks konstanta (matriks B), sesampai lalu
matriks kompleks berbentuk : $ [A|B] $ ialah
$ \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} & | & b_2 \\ … & … & … & …&|&… \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} &|& b_m \end{matrix} \right) $

Contoh : Tentukan bentuk matriks kompleks dari kedua bentuk SPL berikut.
a). SPL $ \left\{ \begin{array}{c} 2x – y = 3 \\ -3x + 5y = 9 \end{array} \right. \, \, \, $ b). SPL $ \left\{ \begin{array}{c} x+y-z = 3 \\ 2x – 3y + 5z = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian : ubah SPL ke dalam bentuk matriks
a). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ 9 \end{matrix} \right) $
Matriks kompleksnya : $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 & | & 3 \\ -3 & 5 & | & 9 \end{matrix} \right) $
b). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \right) $
Matriks kompleksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 2 & -3 & 5 & | & 6 \end{matrix} \right) $

Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gaus
         Mengubah Matriks kompleks yang terbentuk dengan OBE menjadi MEB

Eliminasi Gaus-Jordan
         Mengubah Matriks kompleks yang terbentuk dengan OBE menjadi MEBT

Langkah – langkah penyelesaian SPL :
1). Tentukan bentuk matriksnya
2). Tentukan matriks kompleksnya
3). lakukan OBE sesampai lalu terbentuk MEB (eliminasi gauss) atau MEBT (eliminasi gauss-jordan)

Contoh :
Tentukan penyelesaian dari SPL berikut:
SPL $ \left\{ \begin{array}{c} x + y – 2z = 4 \\ 3x – y + z = 1 \\ 2x + 3y + 3z = 2 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
*). Matriks kompleks : $ [A|B] = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & -1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 3 & 3 & | & 2 \end{matrix} \right) $
*). Melakukan OBE

Baca Juga:   Penerapan Matriks Pada Spl

Cara I : Eliminasi Gauss
Matriks kompleks : $ [A|B] = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & -1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 3 & 3 & | & 2 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_2 -3R_1 \rightarrow R_2 \\ R_3 – 2R_1 \rightarrow R_3 \end{array} \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & -4 & 7 & | & -11 \\ 0 & 1 & 7 & | & -6 \end{matrix} \right) $
$ -\frac{1}{4}R_2 \rightarrow R_2 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & 7 & | & -6 \end{matrix} \right) $
$ R_3 – R_2 \rightarrow R_3 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & \frac{35}{4} & | & -\frac{35}{4} \end{matrix} \right) $
$ \frac{4}{35}R_3 \rightarrow R_3 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
Diperoleh SPL gres yang ekuivalen dengan SPL pada soal ialah :
$ \begin{align} x + y – 2z & = 4 \\ y -\frac{7}{4}z & = \frac{11}{4} \\ z & = -1 \end{align} $
Sesampai lalu solusinya :
$ z = -1, $
$ y -\frac{7}{4}z = \frac{11}{4} \rightarrow y -\frac{7}{4}(-1) = \frac{11}{4} \rightarrow y = 1 $
$ x + y – 2z = 4 \rightarrow x + 1 – 2(-1) = 4 \rightarrow x = 1 $
Makara solusinya merupakan $ x = 1, \, y=1, \, $ dan $ z = -1 $

Cara II : Eliminasi Gauss-Jordan
Untuk eliminasi Gauss-Jordan, kita harus mengubah matriks kompleks menjadi MEBT dengan melanjutkan OBE dari hasil pada eliminasi gaus di atas.
Bentuk terakhir : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
$ R_1 – R_2 \rightarrow R_1 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{4} & | & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_1 +\frac{1}{4}R_3 \rightarrow R_1 \\ R_2 + \frac{7}{4}R_3 \rightarrow R_2 \end{array} \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
Diperoleh SPL gres yang ekuivalen dengan SPL pada soal ialah :
SPL gres $ \left\{ \begin{array}{c} x & = 1 \\ y & = 1 \\ z & = -1 \end{array} \right.$
Makara solusinya merupakan $ x = 1, \, y=1, \, $ dan $ z = -1 $