Operasi Pembagian Suku Banyak

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya pada artikel “Pengertian Suku Banyak dan Operasinya” telah kita bahas operasi suku kaya yakni penjumlahan, pengurangan, dan persobat semua. Pada artikel ini kita akan melanjutkan operasi suku kaya yakni Operasi Pembagian Suku Banyak yang tentu cara pengerjaannya akan lebih rumit dari operasi sebelumnya yang sudah dibahas. Algoritma pembagian ada dua cara yang akan dibahas di sini yakni pembagian cara bersusun dan pembagian cara Horner.

Derajat Pembagian Suku Banyak
       Misalkan ada suku kaya $ F(x) \, $ berderajat $ m \, $ dibagi dengan suku kaya $ P(x) \, $ berderajat $ n \, $ akan menunjukkan hasil bagi $ H(x) \, $ yang berderajat $ m – n \, $ dan sisanya $ S(x) \, $ yang berderajat maksimal $ n – 1 $.

Bentuk pembagiannya merupakan :
$ \frac{F(x)}{P(x)} = H(x) + \frac{S(x)}{P(x)} \, $ atau dengan mengalikan $ P(x) \, $,
kita diperoleh : $ F(x) = P(x).H(x) + S(x) $.

Pembagian Suku Banyak Cara Bersusun
       Misalkan, suku kaya $ F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ dibagi oleh $ (x – k)$. Dengan pembagian cara susun, maka sanggup dilakukan perhitungan sebagai berikut.

Catatan :
*). Bagi pangkat tertingginya terlebih dahulu.
*). Jika pembaginya pangkat satu ($x-k$), maka sisanya merupakan konstanta.
*). Pembagian cara bersusun ini sanggup dipakai untuk semua jenis pembagian suku kaya.

Contoh soal pembagian suku kaya cara bersusun :
1). Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku kaya berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
Pembagian cara bersusun :

Keterangan Proses perhitungan :
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ sanggup ditulis $ 2x^3 + 4x^2 + 0x – 18 \, $ semoga gampang dalam perhitungan.
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi dengan $ x – 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 2x^3 \, $ dengan $ x \, $ balasannya $ 2x^2 $ .
*). Baris 2 : $ 2x^2 – 6x^2 \, $ diperoleh dari persobat semua hasil $ 2x^2 \, $ dengan $ x – 3 $.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x – 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 1 dan baris 2.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x – 18 \, $ dibagi dengan $ x – 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 10x^2 \, $ dengan $ x \, $ balasannya $ 10x $ .
*). Baris 4 : $ 10x^2 – 30x \, $ diperoleh dari persobat semua hasil $ 10x \, $ dengan $ x – 3 $.
*). Baris 5 : $ 30x – 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 3 dan baris 4.
*). Baris 5 : $ 30x – 18 \, $ dibagi dengan $ x – 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 30x \, $ dengan $ x \, $ balasannya $ 30 $ .
*). Baris 6 : $ 30x – 90 \, $ diperoleh dari persobat semua hasil $ 30 \, $ dengan $ x – 3 $.
*). Baris 7 : $ 72 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 5 dan baris 6.
Karena baris 7 : $ 72 \, $ pangkat variabelnya sudah dibawah pangkat pembaginya ($x -3$), maka pembagian dihentikan.

Baca Juga:   Teorema Sisa Dan Teorema Faktor Pada Suku Banyak

Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
Analisa derajatnya :
Suku kaya : $ F(x)=2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ berderajat 3,
Pembaginya : $ P(x) = x – 3 \, $, berderajat 1.
Hasil baginya : $ H(x) = 2x^2 + 10x + 30 \, $ berderajat $ 3 -1 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = 72 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Dapat kita susun menjadi :
$ \begin{align} F(x) & = P(x).H(x) + S(x) \\ 2x^3 + 4x^2 – 18 & =( x – 3) .(2x^2 + 10x + 30) + 72 \end{align} $

b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara bersusun :

*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x – 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.

2). Tentukan hasil dan sisa pembagian dari suku kaya $ x^4 + x^2 – 16 \, $ oleh $ x^2 + 3x + 2 \, $?
Penyelesaian :
$ x^4 + x^2 – 16 \, $ dibagi $ x^2 + 3x + 2 $.
Pembagian cara bersusun :
 

*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ x^2 – 3 x + 8 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, -18x-32 $.

*). Analisa derajatnya :
Suku kaya : $ F(x)=x^4 + x^2 – 16 \, $ berderajat 4,
Pembaginya : $ P(x) = x^2 + 3x + 2 \, $, berderajat 2.
Hasil baginya : $ H(x) = x^2 – 3 x + 8 \, $ berderajat $ 4 – 2 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = -18x-32 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.

Pembagian Suku Banyak Cara Skema Horner dengan pembagi ($x-k$)
       Jika terdapat suku kaya $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ dibagi ($x – k$) menghasilkan $ h(x) $ sebagai hasil bagi dan $ f(k) $ sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga lalu $ f(x) = (x – k) h(x) + f(k)$.
Skema Hornernya yakni :

Keterangan :
*). Sisa pembagiannya : $ f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d $.
*). Hasil baginya : $ H(x) = ax^2 + (ak+b)x + (ak^2 + bk+ c) \, $ dengan koefisiennya $ a, \, (ak+b), \, (ak^2 + bk+ c) $.
*). untuk pengisian akarnya, kita sama dengankan nol bentuk pembaginya, sesampai lalu $ x – k = 0 \rightarrow x = k $.

Baca Juga:   Akar-Akar Dan Faktor Persamaan Suku Banyak

*). Untuk pengisian lainnya pada cara denah horner, silahkan baca materinya pada artikel “Menentukan Nilai Suku Banyak“.

Contoh soal pembagian suku kaya cara denah horner.
3). Pada soal nomor 1 di atas kita akan menggunakan cara denah horner.
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku kaya berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ x – 3 = 0 \rightarrow x = 3 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ merupakan $ 2, \, 4, \, 0, \, -18 $.

Proses penghitungan :

*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.

b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ merupakan $ 2, \, 3, \, 0, \, 5 $.

*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x – 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.

Pembagian Suku Banyak Cara Skema Horner dengan pembagi ($ax+b$)
       Suku kaya $ f(x) $ dibagi ($x – k$) menghasilkan $ h(x) $ sebagai hasil bagi dan $ f(k) $ sebagai sisa pembagian, sedemikian sesampai lalu $ f(x) = (x – k) h(x) + f(k) $ . Pembagian suku kaya $ f(x) $ dibagi $ (ax + b) $ , sanggup diubah menjadi bentuk $ f(x) $ dibagi $ x – \left( – \frac{b}{a} \right) \, $ . Berarti, nilai $ k = – \frac{b}{a} $ , sesampai lalu pada pembagian suku kaya $ f(x) $ tersebut sanggup dilakukan perhitungan sebagai berikut.
$ \begin{align} f(x) & = (x – k) . h(x) + f(k) \\ & = \left( x – \left( – \frac{b}{a} \right) \right) . h(x) + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ & = \left( x + \frac{b}{a} \right) . h(x) + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ & = \frac{1}{a}( ax + b) . h(x) + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = ( ax + b) . \frac{h(x)}{a} + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = P(x). H(x) + S(x) \end{align} $
Baca Juga:   Pengertian Suku Banyak Dan Operasinya

Sesampai lalu kita peroleh :
Pembagi : $ P(x) = (ax + b) $,
Hasil bagi : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} $
dan sisa : $ S(x) = f \left( – \frac{b}{a} \right) $ .

Contoh soal pembagian suku kaya denah horner bentuk $ (ax+b)$ :
4). Tentukanlah hasil bagi dan sisanya apabila menggunakan cara horner.
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x – 1 \, $ dibagi $ (2x – 1) $
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x – 1 \, $ dibagi $ (2x – 1) $
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ 2x – 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + x^2 + 5x – 1 \, $ merupakan $ 2, \, 1, \, 5, \, -1 $.

*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 + 2x + 6 \, $
sesampai lalu balasannya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 + 2x + 6}{2} = x^2 + x + 3 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 2 $.

b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ merupakan $ 2, \, 1, \, 1, \, 10 $.

*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 – 2x + 4 \, $
sesampai lalu balasannya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 – 2x + 4}{2} = x^2 – x + 2 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 4 $.

Catatan :
*). Untuk pembagian suku kaya dengan pembagi berderajat lebih dari 1, sebaiknya menggunakan pembagian cara bersusun saja. Pada artikel lain akan kita bahas perihal pembagian suku kaya dengan pembagi berderajat lebih dari 1 baik sanggup difaktorkan atau tak pembaginya.
*). Jika teman-teman ingin lebih mendalami metode horner untuk pembagi berderajat lebih dari satu, maka silahkan baca artikel pada “Pembagian Suku Banyak Metode Horner“.