Pondok Soal.com – Sebelumnya pada artikel “Pengertian Suku Banyak dan Operasinya” telah kita bahas operasi suku kaya yakni penjumlahan, pengurangan, dan persobat semua. Pada artikel ini kita akan melanjutkan operasi suku kaya yakni Operasi Pembagian Suku Banyak yang tentu cara pengerjaannya akan lebih rumit dari operasi sebelumnya yang sudah dibahas. Algoritma pembagian ada dua cara yang akan dibahas di sini yakni pembagian cara bersusun dan pembagian cara Horner.
Bentuk pembagiannya merupakan :
$ \frac{F(x)}{P(x)} = H(x) + \frac{S(x)}{P(x)} \, $ atau dengan mengalikan $ P(x) \, $,
kita diperoleh : $ F(x) = P(x).H(x) + S(x) $.
Catatan :
*). Bagi pangkat tertingginya terlebih dahulu.
*). Jika pembaginya pangkat satu ($x-k$), maka sisanya merupakan konstanta.
*). Pembagian cara bersusun ini sanggup dipakai untuk semua jenis pembagian suku kaya.
Contoh soal pembagian suku kaya cara bersusun :
1). Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku kaya berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
Pembagian cara bersusun :
Keterangan Proses perhitungan :
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ sanggup ditulis $ 2x^3 + 4x^2 + 0x – 18 \, $ semoga gampang dalam perhitungan.
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi dengan $ x – 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 2x^3 \, $ dengan $ x \, $ balasannya $ 2x^2 $ .
*). Baris 2 : $ 2x^2 – 6x^2 \, $ diperoleh dari persobat semua hasil $ 2x^2 \, $ dengan $ x – 3 $.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x – 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 1 dan baris 2.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x – 18 \, $ dibagi dengan $ x – 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 10x^2 \, $ dengan $ x \, $ balasannya $ 10x $ .
*). Baris 4 : $ 10x^2 – 30x \, $ diperoleh dari persobat semua hasil $ 10x \, $ dengan $ x – 3 $.
*). Baris 5 : $ 30x – 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 3 dan baris 4.
*). Baris 5 : $ 30x – 18 \, $ dibagi dengan $ x – 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 30x \, $ dengan $ x \, $ balasannya $ 30 $ .
*). Baris 6 : $ 30x – 90 \, $ diperoleh dari persobat semua hasil $ 30 \, $ dengan $ x – 3 $.
*). Baris 7 : $ 72 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 5 dan baris 6.
Karena baris 7 : $ 72 \, $ pangkat variabelnya sudah dibawah pangkat pembaginya ($x -3$), maka pembagian dihentikan.
Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
Analisa derajatnya :
Suku kaya : $ F(x)=2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ berderajat 3,
Pembaginya : $ P(x) = x – 3 \, $, berderajat 1.
Hasil baginya : $ H(x) = 2x^2 + 10x + 30 \, $ berderajat $ 3 -1 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = 72 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Dapat kita susun menjadi :
$ \begin{align} F(x) & = P(x).H(x) + S(x) \\ 2x^3 + 4x^2 – 18 & =( x – 3) .(2x^2 + 10x + 30) + 72 \end{align} $
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara bersusun :
*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x – 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.
2). Tentukan hasil dan sisa pembagian dari suku kaya $ x^4 + x^2 – 16 \, $ oleh $ x^2 + 3x + 2 \, $?
Penyelesaian :
$ x^4 + x^2 – 16 \, $ dibagi $ x^2 + 3x + 2 $.
Pembagian cara bersusun :
*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ x^2 – 3 x + 8 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, -18x-32 $.
*). Analisa derajatnya :
Suku kaya : $ F(x)=x^4 + x^2 – 16 \, $ berderajat 4,
Pembaginya : $ P(x) = x^2 + 3x + 2 \, $, berderajat 2.
Hasil baginya : $ H(x) = x^2 – 3 x + 8 \, $ berderajat $ 4 – 2 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = -18x-32 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Skema Hornernya yakni :
Keterangan :
*). Sisa pembagiannya : $ f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d $.
*). Hasil baginya : $ H(x) = ax^2 + (ak+b)x + (ak^2 + bk+ c) \, $ dengan koefisiennya $ a, \, (ak+b), \, (ak^2 + bk+ c) $.
*). untuk pengisian akarnya, kita sama dengankan nol bentuk pembaginya, sesampai lalu $ x – k = 0 \rightarrow x = k $.
*). Untuk pengisian lainnya pada cara denah horner, silahkan baca materinya pada artikel “Menentukan Nilai Suku Banyak“.
Contoh soal pembagian suku kaya cara denah horner.
3). Pada soal nomor 1 di atas kita akan menggunakan cara denah horner.
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku kaya berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ dibagi $ x – 3$.
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ x – 3 = 0 \rightarrow x = 3 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + 4x^2 – 18 \, $ merupakan $ 2, \, 4, \, 0, \, -18 $.
Proses penghitungan :
*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ merupakan $ 2, \, 3, \, 0, \, 5 $.
*). Sesampai lalu kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x – 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x – k) . h(x) + f(k) \\ & = \left( x – \left( – \frac{b}{a} \right) \right) . h(x) + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ & = \left( x + \frac{b}{a} \right) . h(x) + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ & = \frac{1}{a}( ax + b) . h(x) + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = ( ax + b) . \frac{h(x)}{a} + f \left( – \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = P(x). H(x) + S(x) \end{align} $
Sesampai lalu kita peroleh :
Pembagi : $ P(x) = (ax + b) $,
Hasil bagi : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} $
dan sisa : $ S(x) = f \left( – \frac{b}{a} \right) $ .
Contoh soal pembagian suku kaya denah horner bentuk $ (ax+b)$ :
4). Tentukanlah hasil bagi dan sisanya apabila menggunakan cara horner.
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x – 1 \, $ dibagi $ (2x – 1) $
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x – 1 \, $ dibagi $ (2x – 1) $
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ 2x – 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + x^2 + 5x – 1 \, $ merupakan $ 2, \, 1, \, 5, \, -1 $.
*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 + 2x + 6 \, $
sesampai lalu balasannya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 + 2x + 6}{2} = x^2 + x + 3 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 2 $.
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Pembagian cara denah horner :
Akar pembaginya : $ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku kaya : $ 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ merupakan $ 2, \, 1, \, 1, \, 10 $.
*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 – 2x + 4 \, $
sesampai lalu balasannya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 – 2x + 4}{2} = x^2 – x + 2 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 4 $.
Catatan :
*). Untuk pembagian suku kaya dengan pembagi berderajat lebih dari 1, sebaiknya menggunakan pembagian cara bersusun saja. Pada artikel lain akan kita bahas perihal pembagian suku kaya dengan pembagi berderajat lebih dari 1 baik sanggup difaktorkan atau tak pembaginya.
*). Jika teman-teman ingin lebih mendalami metode horner untuk pembagi berderajat lebih dari satu, maka silahkan baca artikel pada “Pembagian Suku Banyak Metode Horner“.
