Panjang Garis Bagi Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Posted on

         Pondok Soal.com – Garis istimewa segitiga terakhir yang kita bahas kali ini merupakan garis bagi. Pada bahan Panjang Garis Bagi pada Segitiga dan Pembuktiannya ini kita akan membahas teorinya, contoh-contoh soal, dan tentu pembuktiannya rumus yang ada yang berkaitan dengan panjang garis bagi. Silahkan baca juga bahan “Dalil Stewart” dan “aturan cosinus” yang dipakai untuk menunjukan rumus panjang garis bagi ini.

Menentukan Panjang Garis Bagi pada Segitiga
       Garis bagi sebuah segitiga merupakan garis yang ditarik dari titik sudut segitiga memotong sisi didepan titik sudut tersebut dengan membagi dua sama besar suudut tersebut, menyerupai gambar berikut.

Dalil-dalil yang berlaku pada garis bagi segitiga ialah :
1). Garis bagi segitiga (garis AD,BE,dan CF) berpotongan pada satu titik yang disebut titik bagi (titik O).

2). Garis bagi sudut sebuah segitiga membagi sisi yang didepannya menjadi dua bab yang rasio panjangnya sama dengan rasio sisi-sisi yang berdekatan dengan bab tersebut, perbandingan yang dimaksud ialah $ BD : DC = AB : AC $.

3). Titik bagi sebuah segitiga merupakan titik sentra bundar dalam segitiga menyerupai gambar berikut.

4). Menentukan panjang garis bagi dengan rumus berikut,
Menentukan panjang garis bagi.
perhatikan gambar garis bagi berikut,

Misalkan panjang garis bagi $ AD = d , \, $
memilih panjang $ d \, $ dengan rumus : $ \, d^2 = bc – mn $
dengan $ m : n = c : b $
sesampai lalu $ m = \frac{c}{ b+ c} \times a \, $ dan $ n = \frac{b}{ b+ c} \times a $

Contoh soal garis bagi segitiga :
1). Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 4 cm. Dari titik sudut A ditarik garis bagi AD. Tentukan panjang AD!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC dan garis bagi AD.

*). Dengan pythagoras, maka kita peroleh panjang BC = 5 cm.
*). Menentukan panjang $ m \, $ dan $ n $.
$ \frac{m}{n} = \frac{3}{4} $, dari perbandingan ini maka,
$ m = \frac{3}{7}.BC = \frac{3}{7}.5 = \frac{15}{7} $.
$ n = \frac{4}{7}.BC = \frac{4}{7}.5 = \frac{20}{7} $.
*). Menentukan panjang AD,
$ \begin{align} d^2 & = bc – mn \\ & = 4.3 – \frac{15}{7} . \frac{20}{7} \\ & = 12 – \frac{300}{49} \\ & = \frac{588}{49} – \frac{300}{49} \\ d^2 & = \frac{288}{49} \\ d & = \sqrt{\frac{144.2}{49} } \\ d & = \frac{12}{7}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang garis bagi $ AD = d = \frac{12}{7}\sqrt{2} \, $ cm.

Baca Juga:   Panjang Garis Tinggi Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

2). Sebuah segitiga ABC dengan AB = 21 cm, BC = 18 cm, dan AC = 12 cm. CD merupakan garis bagi. E merupakan titik tengah BC. Hitunglah panjang DE!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambarnya,

*). Menentukan panjang garis bagi CD.
Perbandingan : $ \frac{m}{n} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $,
Sesampai lalu $ m = \frac{3}{5}AB = \frac{3}{5}.21 = \frac{63}{5} $
dan $ DB = n = \frac{2}{5}AB = \frac{2}{5}.21 = \frac{42}{5} $
Panjang CD :
$ \begin{align} CD^2 & = CA.CB – mn \\ CD^2 & = 12.18 – \frac{63}{5} . \frac{42}{5} \\ CD^2 & = \frac{2754}{25} \end{align} $
*). Titik E ada di tengah BC, artinya DE merupakan garis berat pada segitiga BDC.
Panjang garis berat DE pada segitiga BDC,
$ \begin{align} DE^2 & = \frac{1}{2}.CD^2 + \frac{1}{2}.DB^2 – \frac{1}{4}.BC^2 \\ DE^2 & = \frac{1}{2}. \frac{2754}{25} + \frac{1}{2}. (\frac{42}{5})^2 – \frac{1}{4}.12^2 \\ DE^2 & = \frac{1377}{25} + \frac{882}{25} – 36 \\ DE^2 & = \frac{2259}{25} – 36 \\ DE^2 & = \frac{2259}{25} – \frac{900}{25} \\ DE^2 & = \frac{1359}{25} = \frac{9 . 151}{25} \\ DE & = \sqrt{ \frac{9 . 151}{25} } \\ DE & = \frac{3}{5}\sqrt{ 151} \end{align} $
Jadi, panjang $ DE = \frac{3}{5}\sqrt{ 151} \, $ cm.

3). Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 6 cm. Jika garis berat AD, garis bagi BE, dan garis tinggi CF berpotongan pada satu titik O, maka tentukan panjang AC!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC,

*). Garis BE merupakan garis bagi, sesampai lalu perbandingan AE : EC ,
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
*). Ketiga garis berptongan pada satu titik, maka berlaku dalil Ceva pada segitiga ABC,
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}. \frac{BD}{DC} . \frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{AF}{FB}. 1 . \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{AF}{FB} & = \frac{1}{2} \end{align} $
Dari perbandingan AF : FB = 1 : 2, maka
$ AF = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3}. 3 = 1 $
dan $ FB = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3}. 3 = 2 $
*). Gari CF merupakan garis tinggi, sesampai lalu berlaku dalil proyeksi garis tingi CF,
$ \begin{align} BC^2 & = AC^2 + AB^2 – 2.AF.AB \\ 6^2 & = AC^2 + 3^2 – 2.1.3 \\ 36 & = AC^2 + 9 – 6 \\ AC^2 & = 33 \\ AC & = \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, panjang $ AC = \sqrt{33} \, $ cm.

Pembuktian dalil (2) garis bagi segitiga
Dalil (2) garis berat berbunyi :
       Garis bagi sudut sebuah segitiga membagi sisi yang didepannya menjadi dua bab yang rasio panjangnya sama dengan rasio sisi-sisi yang berdekatan dengan bab tersebut, perbandingan yang dimaksud ialah $ BD : DC = AB : AC $.

Baca Juga:   Dalil Stewart Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Perhatikan gambar segitiga garis begi berikut,

Kita tari garis tinggi dari titik D ialah garis tinggi DE dan DF.
*). Perhatikan segitiga ADF dan segitiga ADE,
Sudut FAD = sudut EAD (sudut sama),
Sudut AFD = sudut AED (sudut sama),
Sisi AD beripit pada kedua segitiga (sisi sama).
Karena memenuhi sudut-sudut-sisi (yang sama pada kedua segitiga), maka segitiga ADF dan segitiga ADE kongruen (bentuk dan ukuran sama). Sesampai lalu panjang garis tinggi DE = DF.
*). Perhatikan segitiga ABD dan segitiga ACD,
Perbandingan luasnya : ingat DE = DF,
$ \frac{\text{Luas ABD}}{\text{Luas ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB.DF}{\frac{1}{2}AC.DF} = \frac{AB}{AC} \, $ ….pers(i)
*). Segitiga ABD dengan bantalan BD dan segitiga ACD dengan bantalan DC memiliki tinggi yang sama, misalkan $ t_1 $.
$ \frac{\text{Luas ABD}}{\text{Luas ACD}} = \frac{\frac{1}{2}BD.t_1}{\frac{1}{2}DC.t_1} = \frac{BD}{DC} = \frac{m}{n} \, $ ….pers(ii)
Dari pers(i) dan pers(ii) kita peroleh : $ \frac{m}{n} = \frac{AB}{AC} \, $ atau $ \frac{m}{n} = \frac{c}{b} $.
Kaprikornus terbukti untuk dalil (2) garis bagi segitiga.

Pembuktian Panjang Garis Bagi dengan Aturan Cosinus
       Untuk bahan hukum cosinus, silahkan baca pribadi materinya pada artikel “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“.
Perhatikan segitiga ABC berikut.

Besar sudut BAD = sudut CAD = $ x $.
Perbandingan sisi : $ \frac{m}{n} = \frac{c}{b} \rightarrow bm = cn \, $ ….pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ m^2 = d^2 + c^2 – 2.d.c .\cos x , \, $ kalikan $ b $ kedua ruas,
$ \rightarrow b.m^2 = b.d^2 + b.c^2 – 2.b.d.c .\cos x \, $ ….pers(ii).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ n^2 = d^2 + b^2 – 2.d.b .\cos x , \, $ kalikan $ c $ kedua ruas,
$ \rightarrow c.n^2 = c.d^2 + c.b^2 – 2.d.b .c.\cos x \, $ ….pers(iii).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} b.m^2 = b.d^2 + b.c^2 – 2.b.d.c .\cos x & \\ c.n^2 = c.d^2 + c.b^2 – 2.d.b .c.\cos x & – \\ \hline b.m^2 – c.n^2 = d^2(b-c) – bc(b-c) & \end{array} $
Substitusi bentuk pers(i) : $ bm = cn $
$ \begin{align} b.m^2 – c.n^2 & = d^2(b-c) – bc(b-c) \\ (bm).m – (cn).n & = d^2(b-c) – bc(b-c) \\ (cn).m – (bm).n & = d^2(b-c) – bc(b-c) \\ -mn(b-c) & = d^2(b-c) – bc(b-c) \, \, \, \, \, \text{(bagi dg } b-c) \\ -mn & = d^2 – bc \\ d^2 & = bc – mn \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis bagi $ \, AD = d \, $ merupakan
$ d^2 = bc – mn $ .

Baca Juga:   Panjang Garis Berat Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Pembuktian Panjang Garis Bagi dengan Dalil Stewart
Perhatikan segitiga ABC berikut.

Perbandingan sisi : $ \frac{m}{n} = \frac{c}{b} \rightarrow bm = cn. $
dan panjang $ m + n = a $ .
*). Dalil Stewart pada segitiga ABC dan substitusi $ bm = cn $.
$ \begin{align} d^2 . a & = m.b^2 + n.c^2 – m.n.a \\ d^2 . a & = (bm).b + (cn).c – m.n.a \\ d^2 . a & = (cn).b + (bm).c – m.n.a \\ d^2 . a & = bc(m+n) – m.n.a \\ d^2 . a & = bc.a – m.n.a \, \, \, \, \, \text{(bagi dg } a) \\ d^2 & = bc – mn \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis bagi $ \, AD = d \, $ merupakan
$ d^2 = bc – mn $ .