Panjang Garis Berat Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Posted on

         Pondok Soal.com – Salah satu jenis garis istimewa merupakan garis berat. Pada artikel kali ini kita akan maembahas Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya. Silahkan juga baca bahan “Dalil Stewart pada Segitiga” lantaran bahan ini penting dalam menandakan rumus panjang garis berat pada segitiga dan juga bahan “aturan cosinus”.

Menentukan Panjang Garis Berat pada Segitiga
       Garis berat sebuah segitiga merupakan garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bab sama panjang. Perhatikan gambar garis berat berikut,

Dalil-dalil yang berlaku pada garis berat yakni :
1). Ketiga garis berat (garis AD, BE, dan CF) berpotongan pada satu titik yang disebut dengan titik berat (titik O).

2). Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya terdapat perbandingan 2 : 1, bab terpanjang merupakan titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud merupakan AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.

3). Panjang garis beratnya sanggup kita hitung dengan rumus berikut.

Menentukan panjang garis beratnya.
perhatikan gambar gari berat AD berikut,

Misalkan panjang $ AD = d \, $,
memilih panjang garis berat dengan rumus :
              $ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2} – \frac{1}{4}a^2 $.

Contoh soal garis berat pada segitiga :
1). Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 5 cm, BC = 7 cm , dan AC = 6 cm. Jika garis berat AD dan BE berpotongan di titik O, tentukan panjang AD dan BO!
Penyelesaian :
*). Gambar segitiga ABC dan garis berat AD serta BD.

*). Menentukan panjang garis berat AD.
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2}. AB^2 + \frac{1}{2}.AC^2 – \frac{1}{4}.BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2}. 5^2 + \frac{1}{2}.6^2 – \frac{1}{4}.7^2 \\ AD^2 & = \frac{25}{2} + \frac{36}{2} – \frac{49}{4} \\ AD^2 & = \frac{50}{4} + \frac{72}{4} – \frac{49}{4} \\ AD^2 & = \frac{73}{4} \\ AD & = \sqrt{\frac{73}{4}} \\ AD & = \frac{1}{2}\sqrt{73} \end{align} $
Sesampai kemudian panjang garis berat $ AD = \frac{1}{2}\sqrt{73} \, $ cm.
*). Menentukan panjang garis berat BE.
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2}. AB^2 + \frac{1}{2}.BC^2 – \frac{1}{4}.AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2}. 5^2 + \frac{1}{2}.7^2 – \frac{1}{4}.6^2 \\ BE^2 & = \frac{25}{2} + \frac{49}{2} – \frac{36}{4} \\ BE^2 & = \frac{50}{4} + \frac{98}{4} – \frac{36}{4} \\ BE^2 & = \frac{112}{4} = 28 = 4.7 \\ BE & = \sqrt{4.7} \\ BE & = 2\sqrt{7} \end{align} $
Sesampai kemudian panjang garis berat $ BE = 2\sqrt{7} \, $ cm.
*). Berdasarkan perbandingan titik berat, perbandingan BO : OE = 2 : 1,
Sesampai kemudian : $ BO = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}. 2\sqrt{7} = \frac{4}{3}\sqrt{7} $.
Jadi, panjang $ BE = \frac{4}{3}\sqrt{7} \, $ cm.

2). Garis tinggi AD dan garis berat BE berpotongan di titik O pada segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm. Tentukan panjang OE!.
Penyelesaian :
*). Gambar ilustrasinya.

*). Menentukan panjang garis berat BE.
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2}. AB^2 + \frac{1}{2}.BC^2 – \frac{1}{4}.AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2}. 4^2 + \frac{1}{2}.6^2 – \frac{1}{4}.5^2 \\ BE^2 & = \frac{16}{2} + \frac{36}{2} – \frac{25}{4} \\ BE^2 & = \frac{32}{4} + \frac{72}{4} – \frac{25}{4} \\ BE^2 & = \frac{79}{4} \\ BE & = \sqrt{\frac{79}{4}} \\ BE & = \frac{1}{2}\sqrt{79} \end{align} $
Sesampai kemudian panjang garis berat $ BE = \frac{1}{2}\sqrt{79} \, $ cm.
*). Menentukan panjang BD dengan dalil proyeksi pada garis tinggi AD.
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 – 2. BC.BD \\ 5^2 & = 4^2 + 6^2 – 2. 6.BD \\ 12BD & = 27 \\ BD & = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \end{align} $.
Panjang $ DC = BC – BD = 6 – \frac{9}{4} = \frac{15}{4} $
Sesampai kemudian perbandingan : $ \frac{BD}{DC} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{15}{4}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.
*). Dalil Menelaus untuk EB dengan perbandingan EO : OB.
$ \begin{align} \frac{EO}{OB}. \frac{BD}{DC}. \frac{CA}{EA} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{3}{5}. \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{6}{5} & = 1 \\ \frac{EO}{OB} & = \frac{5}{6} \end{align} $.
Dari perbandingan EO : OB = 5 : 6, maka
$ OE = \frac{5}{11} BE = \frac{5}{11} . \frac{1}{2}\sqrt{79} = \frac{5}{22} \sqrt{79} $ .
Jadi, panjang $ OE = \frac{5}{22} \sqrt{79} \, $ cm.

Baca Juga:   Panjang Garis Bagi Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

3). Terdapat segitiga ABC dengan garis berat AD = $ \sqrt{10}, \, BE = \sqrt{31}, \, $ CF dan panjang AB = 4 cm. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga lainnya dan panjang garis berat CF!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC.

*). Menyusun persamaan dari panjang garis berat.
Garis berat $ AD = \sqrt{10} $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 – \frac{1}{4} BC^2 \\ (\sqrt{10})^2 & = \frac{1}{2} .4^2 + \frac{1}{2} b^2 – \frac{1}{4} a^2 \\ 10 & = 8 + \frac{1}{2} b^2 – \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 40 & = 32 + 2b^2 – a^2 \\ -a^2 + 2b^2 & = 8 \, \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 – \frac{1}{4} AC^2 \\ (\sqrt{31})^2 & = \frac{1}{2} .4^2 + \frac{1}{2} a^2 – \frac{1}{4} b^2 \\ 31 & = 8 + \frac{1}{2} a^2 – \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 124 & = 32 + 2a^2 – b^2 \\ 2a^2 – b^2 & = 92 \, \, \, \, \, \text{….pers(ii)} \end{align} $
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} -a^2 + 2b^2 = 8 & \text{kali 2} & -2a^2 + 4b^2 = 16 & \\ 2a^2 – b^2 = 92 & \text{kali 2} & 2a^2 – b^2 = 92 & + \\ \hline & & 3b^2 = 108 & \\ & & b^2 = 36 & \\ & & b = 6 & \end{array} $
Pers(i) : $ -a^2 + 2b^2 = 8 \rightarrow -a^2 + 2. 6^2 = 8 \rightarrow a^2 = 64 \rightarrow a = 8 $.
Kita peroleh panjang sisi-sisi segitiganya : AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm.
*). Menentukan panjang garis berat CF,
$ \begin{align} CF^2 & = \frac{1}{2} BC^2 + \frac{1}{2}AC^2 – \frac{1}{4} AB^2 \\ & = \frac{1}{2} .8^2 + \frac{1}{2}.6^2 – \frac{1}{4} .4^2 \\ & = 32 + 18 – 4 \\ CF^2 & = 46 \\ CF & = \sqrt{46} \end{align} $
Jadi, panjang garis berat $ CF = \sqrt{46} \, $ cm.

Baca Juga:   Dalil Stewart Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

4). Segitiga ABC siku-siku di A. Garis berat AD tegak lurus garis berat BE berpotongan di titik O. Jika panjang $ AB = x , \, $ maka tentukan panjang BE!
Penyelesaian :
*). gambaran gambar segitiga ABC,

*). Menyusun persamaan dari tegak lurus.
Segitiga ABC siku-siku di A :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 \rightarrow x^2 + b^2 = a^2 \rightarrow b^2 – a^2 = -x^2 \, $ ….pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sesampai kemudian $ BO = \frac{2}{3}BE $.
AO : OD = 2 : 1, sesampai kemudian $ AO = \frac{2}{3}AD $.
$ AO^2 + OB^2 = AB^2 \rightarrow (\frac{2}{3}AD)^2 + (\frac{2}{3}BE)^2 = x^2 $
$ \frac{4}{9}AD^2 + \frac{4}{9}BE^2 = x^2 \rightarrow AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 \, $ ….pers(ii).
*). Menyusun persamaan dari garis berat.
Garis berat $ AD $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 – \frac{1}{4} BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 – \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{….pers(iii)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 – \frac{1}{4} AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 – \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{….pers(iv)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} AD^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 – \frac{1}{4} a^2 & \\ BE^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 – \frac{1}{4} b^2 & – \\ \hline AD^2 – BE^2 = \frac{1}{2}(b^2-a^2) + \frac{1}{4}(b^2 – a^2) & \\ AD^2 – BE^2 = \frac{3}{4}(b^2-a^2) & \\ AD^2 – BE^2 = \frac{3}{4}(-x^2) & \\ AD^2 – BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & \end{array} $
Kita peroleh : $ AD^2 – BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 \, $ ….pers(v).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
$\begin{array}{cc} AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 & \\ AD^2 – BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & – \\ \hline 2BE^2 = 3x^2 & \\ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 & \end{array} $
Dari bentuk $ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 $, kita peroleh :
$ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 \rightarrow BE^2 = \frac{6}{4} x^2 \rightarrow BE = \sqrt{\frac{6}{4} x^2 } = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.
Jadi, kita peroleh panjang $ BE = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.

Pembuktian perbandingan pada dalil 2 garis berat.
Dalil 2 garis berat berbunyi :
       Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya terdapat perbandingan 2 : 1, bab terpanjang merupakan titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud merupakan AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.

Untuk menandakan dalil ini, kita memakai dalil Menenlaus,
Perhatikan gambar berikut.

*). Dalil Menelaus untuk gambar (a).
Perbandingan AO : OD dengan $ \frac{AF}{FB} = 1 \, $ dan $ \frac{BC}{CD} = \frac{2}{1} $
$ \begin{align} \frac{DO}{OA}. \frac{AF}{FB}.\frac{BC}{DC} & = 1 \\ \frac{DO}{OA}. 1.\frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{DO}{OA} & = \frac{1}{2} \\ \frac{AO}{OD} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Perbandingan CO : OF dengan $ \frac{CD}{DB} = 1 \, $ dan $ \frac{BA}{FA} = \frac{2}{1} $
$ \begin{align} \frac{FO}{OC}. \frac{CD}{DB}.\frac{BA}{FA} & = 1 \\ \frac{FO}{OC}. 1.\frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{FO}{OC} & = \frac{1}{2} \\ \frac{CO}{OF} & = \frac{2}{1} \end{align} $
*). Dalil Menelaus untuk gambar (b).
Perbandingan BO : OE dengan $ \frac{BD}{DC} = 1 \, $ dan $ \frac{CA}{EA} = \frac{2}{1} $
$ \begin{align} \frac{EO}{OB}. \frac{BD}{DC}.\frac{CA}{EA} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. 1.\frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB} & = \frac{1}{2} \\ \frac{BO}{OE} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Jadi, terbukti AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.

Baca Juga:   Geometri Bidang Datar Secara Umum

Pembuktian Panjang Garis Berat dengan Aturan Cosinus
       Untuk bahan hukum cosinus, silahkan baca eksklusif materinya pada artikel “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“.
Perhatikan segitiga ABC berikut.

Panjang $ BD = DC = m = \frac{1}{2}a \, $ dan panjang $ AD = d $.
*). Misalkan sudut $ ABD = y \, $ dan sudut $ ADC = x $.
Sudut $ x \, $ dan $ y \, $ saling berpelurus, sesampai kemudian jumlahnya $ 180^\circ$.
$ y + x = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ – x $.
Sesampai kemudian : $ \cos y = \cos (180^\circ – x ) = – \cos x $.
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ c^2 = d^2 + m^2 – 2.d.m .\cos y \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 – 2.d.m .(-\cos x) $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x \, $ ….pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ b^2 = d^2 + m^2 – 2.d.m .\cos x \, $ ….pers(ii).
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x & \\ b^2 = d^2 + m^2 – 2.d.m .\cos x & + \\ \hline b^2 + c^2 = 2d^2 + 2m^2 & \\ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 – m^2 & \\ \end{array} $
Substitusi nilai $ m = \frac{1}{2}a $.
$ \begin{align} d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 – m^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 – (\frac{1}{2}a)^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 – \frac{1}{4}a^2 \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis berat $ \, AD = d \, $ merupakan
$ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 – \frac{1}{4}a^2 $ .

Pembuktian Panjang Garis Berat dengan Dalil Stewart
Perhatikan segitiga ABC berikut.

Panjang $ BD = DC = m = \frac{1}{2}a \, $ dan panjang $ AD = d $.
*). Dalil Stewart pada segitiga ABC dan substitusi $ m = \frac{1}{2}a $.
$ \begin{align} d^2 . a & = m.b^2 + m.c^2 – m.m.a \\ d^2 . a & = \frac{1}{2}a.b^2 + \frac{1}{2}a.c^2 – \frac{1}{2}a.\frac{1}{2}a.a \, \, \, \, \text{….(bagi } a ) \\ d^2 & = \frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 – \frac{1}{4} a^2 \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis berat $ \, AD = d \, $ merupakan
$ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 – \frac{1}{4}a^2 $ .