Panjang Garis Tinggi Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya telah dibahas seputar “panjang garis-garis istimewa pada segitiga” yang tanpa disertai dengan pola soal ataupun pembuktiaanya. Pada artikel Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya ini kita akan lebih menekankan lagi contoh-contoh soalnya dan tentu pembuktian rumus-rumus yang digunakan.

Menentukan Panjang Garis Tinggi pada Segitiga
       Garis tinggi sebuah segitiga merupakan garis yang melalui sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus pada sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. perhatikan gambar garis tinggi berikut,

Dalil-dalil yang berlaku pada garis tinggi segitiga adalah :
1). Ketiga garis tinggi berpotongan pada satu titik (titik O) yang disebut dengan titik tinggi.

2). Pada segitiga siku-siku, garis tinggi ke hipotenusanya (sisi terpanjang) membagi segitiga siku-siku menjadi dua segitiga yang sebangun dan juga sebangun dengan segitiga awalnya (ketiga segitiga yang ada sebangun) ibarat gambar berikut ini,

$\Delta$ABC sebangun dengan $\Delta$ABD sebangun dengan $\Delta$CBD.

3). Menentukan panjang garis tinggi pada segitiga :
       Untuk memilih panjang garis tinggi, kita gunakan Dalil Proyeksi. Ada dua jenis adalah :
*). Dali proyeksi segitiga lancip,
Kita proyeksikan garis CA pada garis BC, hasil proyeksinya merupakan garis CD ibarat gambar berikut.

Misalkan panjang $ CD = p \, $ ,
panjang $ p $ sanggup ditentukan dengan rumus: $ \, c^2 = a^2 + b^2 – 2ap $

Misalkan panjang $ BD = k \, $ ,
panjang $ k $ sanggup ditentukan dengan rumus: $ \, b^2 = a^2 + c^2 – 2ak $

*). Dali proyeksi segitiga tumpul,
Kita proyeksikan garis CA pada garis BC, hasil proyeksinya merupakan garis CD ibarat gambar berikut.

Misalkan panjang $ BD = p \, $ ,
panjang $ p $ sanggup ditentukan dengan rumus: $ \, c^2 = a^2 + b^2 + 2ap $

Catatan :
i). Setelah ketemu pajang $ p \, $ , bari kita akan memilih tinggi segitiganya dengan pythagoras. Artinya kita tak sanggup eksklusif sanggup memilih tinggi segitiganya, namun bertahap.
ii). Ada cara lain sesampai kemudian tinggi segitiga sanggup eksklusif kita temukan tanpa menjari $ p \, $ terlebih dahulu adalah memakai konsep luas segitiga.

Menentukan Panjang Garis Tinggi dengan Luas Segitiga
*). Luas segitiga Menggunakan rumus Heron.
Misalkan diketahui sisi-sisi segitiga adalah $a, \, b, \, $ dan $ \, c $.
$ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $
$ \text{Luas } \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $.
Untuk pembuktian rumus Heron ini, silahkan baca pada “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“.

*). Menentukan panjang garis tinggi,
Perhatikan gambar berikut,

Garis tingginya merupakan garis AF, BD, dan CE.
$ \begin{align} AF = t_a & = \frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ BD = t_b & = \frac{2}{b} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ CE = t_c & = \frac{2}{c} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $

Baca Juga:   Dalil Stewart Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Contoh soal garis tinggi pada segitiga :
1). Sebuah segitiga ABC dengan AB = 5 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. AD merupakan garis tinggi segitga ABC, tentukan panjang AD dan luas segitiga ABC.
Penyelesaian :
Cara I : Menggunakan dalil Proyeksi,

*). Menentukan nilai $ p $,
$ \begin{align} c^2 & = a^2 + b^2 – 2ap \\ 5^2 & = 6^2 + 7^2 – 2.6.p \\ 25 & = 36 + 49 – 12p \\ 25 & = 36 + 49 – 12p \\ 12p & = 60 \\ p & = 5 \end{align} $
*). Menentukan panjang AD dengan pythagoras segitiga ADC
$ \begin{align} AC^2 & = AD^2 + DC^2 \\ 7^2 & = AD^2 + 5^2 \\ 49 & = AD^2 + 25 \\ AD^2 & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \end{align} $
Sesampai kemudian panjang garis tinggi $ AD = 2 \sqrt{6} \, $ cm.
*). Menentukan Luas segitiga ABC.
Luas ABC $ = \frac{1}{2}. a . t = \frac{1}{2}.6 . 2 \sqrt{6} = 6 \sqrt{6} $.
Jadi, luas segitiga ABC merupakan $ \, 6 \sqrt{6} \, $ cm$^2$.

Cara II : Menggunakan luas segitiga,
*). Diketahui : $ a = 6, b = 7 , c = 5 $.
$ s = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2}(6 + 7 + 5) = \frac{1}{2}.(18) = 9 $.
*). Menentukan panjang AD dengan luas segitiga
$ \begin{align} AD = t_a & = \frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \frac{2}{6} \sqrt{9(9-6)(9-7)(9-5)} \\ & = \frac{1}{3} \sqrt{9.3.2.4} \\ & = \frac{1}{3} 3.2.\sqrt{6} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Sesampai kemudian panjang garis tinggi $ AD = 2 \sqrt{6} \, $ cm.
*). Luas segitiga memakai rumus Heron :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{9(9-6)(9-7)(9-5)} \\ & = \sqrt{9.3.2.4} \\ & = 3.2.\sqrt{6} \\ & = 6 \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC merupakan $ \, 6 \sqrt{6} \, $ cm$^2$.

Bagaimana dengan kedua cara di atas, lebih gampang mana, cara I atau cara II. Cara II (rumus Heron) akan gampang jikalau panjang semua sisi segitiganya berupa bilangan bulat, dan akan sulit apabila salah satu panjang sisi segitiganya dalam bentuk akar. Ini artinya gampang atau taknya bersifat relatif.

2). Diketahui persegi panjang ABCD dengan AB = 8 cm dan BC = 6 cm. Titik M dan N terletak pada AC sedemikian sesampai kemudian DM dan BN tegak lurus pada AC. Tentukan panjang MN?
Penyelesaian :
*). Gambar persegi panjangnya.

Segitiga ADC siku-siku di D sesampai kemudian dengan pythagoras kita peroleh AC = 10 cm.
Garis DM merupakan garis tinggi pada segitiga ADC sesampai kemudian sanggup kita terapkan dalil proyeksi.
*). Menentukan panjang AM pada gambar (b)
$ \begin{align} CD^2 & = AD^2 + AC^2 – 2.AC . AM \\ 8^2 & = 6^2 + 10^2 – 2. 10 . AM \\ 64 & = 36 + 100 – 20. AM \\ AM & = 3,6 \end{align} $
Karena panjang AM = CN, sesampai kemudian CN = 3,6 juga.
*). Menentukan panjang MN :
$ \begin{align} MN & = AC – (AM + CN) \\ & = 10 – (3,6 + 3,6) \\ & = 10 – 7,2 \\ & = 2,8 \end{align} $
Jadi, panjang AM = 2,8 cm.

Baca Juga:   Dalil Menelaus Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

3). Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini,

Diketahui panjang BC = 12 cm, AD = 30 cm , AC = 15 cm. Tentukan panjang garis tinggi BE.
Penyelesaian :
*). Kita gunakan luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2}.a.t$.
$ \begin{align} \text{Luas segitiga ABC dengan bantalan AC} & = \text{Luas segitiga ABC dengan bantalan BC} \\ \frac{1}{2}. AC . BE & = \frac{1}{2}.BC . AD \\ AC . BE & = BC . AD \\ 15 . BE & = 12 \times 30 \\ BE & = \frac{12 \times 30}{15} \\ BE & = 24 \end{align} $
Jadi, panjang garis tinggi BE = 24 cm.

4). Sebuah segitiga ABC dengan AB = 5 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Garis tinggi AD dan BE berpotongan di titik O. Tentukan perbandingan panjang AO:OD dan perbandingan BO : OE.
Penyelesaian :
*). Untuk menjawab soal ini, kita memakai garis tinggi (dalil proyeksi) dan dalil Menelaus.

*). Dalil proyeksi untuk garis tinggi AD dan BE.
garis tinggi AD :
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 – 2 . BC . BD \\ 6^2 & = 5^2 + 7^2 – 2 . 7 . BD \\ 36 & = 25 + 49 – 14. BD \\ 36 & = 25 + 49 – 14. BD \\ 14BD & = 38 \\ BD & = \frac{38}{14} = \frac{19}{7} \end{align} $
Sesampai kemudian panjang $ DC = 7 – BD = 7 – \frac{19}{7} = \frac{30}{7} $.
garis tinggi BE :
$ \begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 – 2 . AC . AE \\ 7^2 & = 5^2 + 6^2 – 2 . 6 . AE \\ 49 & = 25 + 36 – 12. AE \\ AE & = 1 \end{align} $
Sesampai kemudian panjang $ CE = 6 – AE = 6 – 1 = 5 $.
*). Dalil Menelaus untuk perbandingan garis,
Perbandingan AO : OD,
$ \begin{align} \frac{DO}{AO}. \frac{AE}{EC}. \frac{CB}{DB} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{1}{5}. \frac{7}{\frac{19}{7}} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{1}{5}. \frac{49}{19} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{49}{95} & = 1 \\ \frac{DO}{AO} & = \frac{95}{49} \end{align} $
Sesampai kemudian perbandingan AO : DO = 49 : 95.
Perbandingan BO : OE,
$ \begin{align} \frac{EO}{OB}. \frac{BD}{DC}. \frac{CA}{AE} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{\frac{19}{7}}{\frac{30}{7}}. \frac{6}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{19}{30}. \frac{6}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{19}{5} & = 1 \\ \frac{EO}{OB} & = \frac{5}{19} \end{align} $
Sesampai kemudian perbandingan BO : OE = 19 : 5.

Pembuktian dalil Proyeksi
       Untuk menerangkan dalil proyeksi, kita cukup memakai teorema pythagoras. Perhatikan gambar berikut,
*). Dalil proyeksi segitiga lancip.

Misalkan panjang $ CD = p , \, $ maka panjang $ BD = a – p $.
*). Pada $\Delta$BAD dan $\Delta$CAD masing-masing siku-siku di D sesampai kemudian sanggup diterapkan pythagoras:
Segitiga CAD : $ AD^2 = b^2 – p^2 \, $ ….pers(i).
Segitiga BAD : $ AD^2 = c^2 – (a-p)^2 \, $ ….pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), panjang AD sama, sesampai kemudian :
$ \begin{align} c^2 – (a-p)^2 & = b^2 – p^2 \\ c^2 – (a^2 – 2ap + p^2) & = b^2 – p^2 \\ c^2 – a^2 + 2ap – p^2 & = b^2 – p^2 \\ c^2 & = a^2 + b^2 – 2ap \end{align} $
Makara terbukti persamaan : $ c^2 = a^2 + b^2 – 2ap $.

Baca Juga:   Panjang Garis Berat Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

*). Dalil proyeksi segitiga tumpul.

Misalkan panjang $ BD = p , \, $ maka panjang $ CD = a + p $.
*). Pada $\Delta$ADB dan $\Delta$ADC masing-masing siku-siku di D sesampai kemudian sanggup diterapkan pythagoras:
Segitiga ADB : $ AD^2 = c^2 – p^2 \, $ ….pers(i).
Segitiga ADC : $ AD^2 = b^2 – (a+p)^2 \, $ ….pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), panjang AD sama, sesampai kemudian :
$ \begin{align} b^2 – (a+p)^2 & = c^2 – p^2 \\ b^2 – (a^2 + 2ap + p^2) & = c^2 – p^2 \\ b^2 – a^2 – 2ap – p^2 & = c^2 – p^2 \\ b^2 & = a^2 + c^2 + 2ap \end{align} $
Makara terbukti persamaan : $ b^2 = a^2 + c^2 + 2ap $.

Pembuktian panjang garis tinggi dengan luas segitiga
Berdasarkan rumus luas segitiga dengan rumus Heron,
$ \text{Luas ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $ .

Perhatikan gambar segitiga berikut.

*). Perhatikan segitiga ABC dengan bantalan $ BC = a \, $ dan tinggi $ AF = t_a $
$ \begin{align} \text{Luas ABC} & = \frac{1}{2}. \text{alas}. \text{tinggi} \\ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} & = \frac{1}{2}. a . t_a \\ t_a & = \frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga ABC dengan bantalan $ AC = b \, $ dan tinggi $ BD = t_b $
$ \begin{align} \text{Luas ABC} & = \frac{1}{2}. \text{alas}. \text{tinggi} \\ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} & = \frac{1}{2}. b . t_b \\ t_b & = \frac{2}{b} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga ABC dengan bantalan $ AB = c \, $ dan tinggi $ CE = t_c $
$ \begin{align} \text{Luas ABC} & = \frac{1}{2}. \text{alas}. \text{tinggi} \\ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} & = \frac{1}{2}. c . t_c \\ t_c & = \frac{2}{c} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $
Jadi, sudah terbukti panjang garis tinggi yang diminta.