Panjang Vektor Dan Vektor Satuan

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari “materi vektor” ialah “pengertian vektor dan penulisannya”, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Panjang Vektor dan Vektor Satuan. Sebagaimana yang kita ketahui, vektor merupakan suatu besaran yang terdapat besar dan arah, besar vektor secara matematika yang dimaksud merupakan panjang vektor itu sendiri. Panjang sebuah vektor merupakan jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektornya. Karena secara aljabar, titik pangkal vektor dan titik ujung vektor dalam bentuk koordinat baik dimensi dua inginpun dimensi tiga, maka panjang vektor sanggup ditentukan dengan memakai rumus jarak dua titik. Misalkan ada titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $, maka jarak titik A ke titik B sanggup dihitung dengan rumus jarak ialah sama dengan $ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $. Karena panjang vektor sanggup dihitung dengan rumus jarak, maka panjang vektor $ \vec{AB} $ akan sama dengan panjang vektor $ \vec{BA} $. Panjang vektor $ \vec{AB} $ dilambangkan dengan $ |\vec{AB}| $. Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Panjang Vektor dan Vektor Satuan, teman-teman harus menguasai bahan “pengertian vektor dan penulisannya” terlebih dahulu.

         Bagaimana dengan vektor satuan? Vektor satuan merupakan vektor dengan panjang satu satuan. Tentu tak semua vektor termasuk vektor satuan lantaran panjang setiap vektor bervariasi. Akan tenamun, setiap vektor yang bukan vektor satuan sanggup kita cari vektor satuannya. Misalkan ada vektor $ \vec{a} $ , maka vektor satuan dari vektor $ \vec{a} $ dilambangkan dengan $ e_\vec{a} $. Vektor satuan dari $ \vec{a} $ searah dengan vektor $ \vec{a} $ itu sendiri. Berikut kita rangkum rumus untuk mencari Panjang Vektor dan Vektor Satuan.

Panjang Vektor
*). Panjang vektor dimensi dua
       Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
       Panjang vektor $ \vec{a} = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $
*). Panjang vektor dimensi Tiga
       Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
       Panjang vektor $ \vec{b} = |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $
*). Panjang vektor Diketahui titik pangkal dan ujung
-). Dimensi dua :
       Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2) $ dan $ B(b_1,b_2) $
       Panjang vektor $ \vec{AB} = |\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2} $
       Panjang vektor $ \vec{BA} = |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} $
-). Dimensi tiga :
       Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2,a_3) $ dan $ B(b_1,b_2,b_3) $
       $|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} $
       $ |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2} $
dengan $ |\vec{AB}| = |\vec{BA}| $
Vektor Satuan
*). Vektor satuan dimensi dua
       Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
       Vektor satuan $ \vec{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} (a_1 , \, a_2) $
*). Vektor satuan dimensi Tiga
       Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
       Vektor satuan $ \vec{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $

Contoh soal Panjang Vektor dan Vektor Satuan

Baca Juga:   Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

1). Tentukan panjang vektor masing-masing berikut ini
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $

Penyelesaian :
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
Panjang vektor $ \vec{a} $ merupakan :
$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $

b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
Panjang vektor $ \vec{b} $ merupakan :
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} $

c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{AB} $ merupakan :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $
-). Cara kedua :
Kita cari dahulu vektor $ \vec{AB} $ ialah :
$ \vec{AB} = B – A = (-2 – 1 , \, 3 – 2) = (-3 , \, 1 ) $
Panjang vektor $ \vec{AB} $ merupakan :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $

d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{CD} $ merupakan :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-(-1))^2 + (1 -3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
-). Cara kedua :
Kita cari dahulu vektor $ \vec{CD} $ ialah :
$ \vec{CD} = D – C = (-2 – 0 , \, 0-(-1), \, 1 – 3) = (-2 , \, 1 , \, -2) $
Panjang vektor $ \vec{CD} $ merupakan :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1+4} = \sqrt{9} = 3 $

2). Tentukan vektor satuan dari masing-masing vektor berikut :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
Penyelesaian :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
*). Panjang vektor $ \vec{p} $ :
$ |\vec{p}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{p} $ ialah :
$ e_\vec{p} = \frac{1}{|\vec{p}|} \, \vec{p} = \frac{1}{\sqrt{10}} (-1, \, 3) = \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}, \, \frac{3}{\sqrt{10}} \right) $

b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
*). Panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{(1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{q} $ ialah :
$ e_\vec{q} = \frac{1}{|\vec{q}|} \, \vec{q} = \frac{1}{3} (1, \, 2, \, -2 ) = \left( \frac{1}{3}, \, \frac{2}{3}, \, -\frac{2}{3} \right) $

3). Diketahui koordinat titik $ A(3, -1, -2 ) $ dan $ B( 0, -1, 2) $. Tentukan vektor satuan dari vektor $ \vec{BA} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{BA} $ :
$ \vec{BA} = A – B = (3-0, \, -1 – (-1), \, -2 – 2) = (3, \, 0 , \, – 4) $
*). Panjang vektor $ \vec{BA} $ :
$ |\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{BA} $ ialah :
$ e_\vec{BA} = \frac{1}{|\vec{BA}|} \, \vec{BA} = \frac{1}{5} (3, \, 0 , \, – 4) = \left( \frac{3}{5}, \, 0, \, -\frac{4}{5} \right) $

4). Diketahui koordinat titik $ P(1,2) $ dan $ Q(-2,k) $. Jika panjang vektor $ \vec{PQ} $ merupakan 5 satuan, maka tentukan jumlah semua nilai $ k $ yang cukup!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q – P = (-2 – 1, \, k – 2) = (-3, \, k – 2) $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan $ |\vec{PQ}| = 5 $ :
$ \begin{align} |\vec{PQ}| & = 5 \\ \sqrt{(-3)^2 + (k-2)^2} & = 5 \\ \sqrt{9 + k^2 – 4k + 4 } & = 5 \\ \sqrt{k^2 – 4k + 13 } & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{k^2 – 4k + 13 })^2 & = 5^2 \\ k^2 – 4k + 13 & = 25 \\ k^2 – 4k – 12 & = 0 \\ (k + 2)(k-6) & = 0 \\ k_1 = -2 \vee k_2 & = 6 \end{align} $
Sesampai lalu jumlah semua nilai $ k $ yang cukup ialah :
$ k_1 + k_2 = -2 + 6 = 4 $.

Baca Juga:   Komponen Vektor Yang Tegak Lurus Terhadap Vektor

5). Jika vektor satuan dari $ \vec{a} = (1, \, -1, \, r) $ merupakan $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $, maka tentukan nilai $ ( r – 3)^2 $ !
Penyelesaian :
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + r^2} = \sqrt{1 + 1 + r^2} = \sqrt{2 + r^2} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{a} $ ialah :
$ e_\vec{a} = \frac{1}{|\vec{a}|} \, \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} (1, \, -1, \, r) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
*). Pada soal juga diketahui vektor satuan dari $ \vec{a} $ merupakan $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $,
Sesampai lalu terjadi kesamaan ialah :
$ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
Yang artinya nilai :
$ \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow r = 2 $
Nilai $ r $ yang memenuhi merupakan $ r = 2 $.
*). Menentukan nilai $ ( r – 3)^2 $ :
$ ( r – 3)^2 = ( 2 – 3)^2 = (-1)^2 = 1 $
Jadi, nilai $ ( r – 3)^2 = 1 . \, \heartsuit $.

6). Sebuah segitiga ABC terdapat koordinat titik pojoknya masing-masing ialah $ A(0,0) $ , $ B(3,4) $ , dan $ C(p,0) $. Jika keliling segitiga ABC merupakan 16 satuan, maka tentukan nilai $ p^2 – 6p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk memilih keliling segitiga ABC sanggup kita hitung dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya ialah $ |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| $
*). Menentukan panjang masing-masing sisi segitiga ABC :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(3-0)^2 + (4 – 0)^2 } = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
$ |\vec{BC}| = \sqrt{(p-3)^2 + (0-4)^2 } = \sqrt{p^2 – 6p + 9 + 16} = \sqrt{p^2 – 6p + 25} $
$ |\vec{CA}| = \sqrt{(0-p)^2 + (0-0)^2 } = \sqrt{p^2+ 0} = \sqrt{p^2} = p $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan keliling segitiga = 16
$ \begin{align} |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| & = 16 \\ 5 + \sqrt{p^2 – 6p + 25} + p & = 16 \\ \sqrt{p^2 – 6p + 25} & = 11 – p \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{p^2 – 6p + 25})^2 & = (11 – p)^2 \\ p^2 – 6p + 25 & = 121 – 22p + p^2 \\ 22p – 6p & = 121 – 25 \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ p = 6 $.
*). Menentukan nilai $ p^2 – 6p + 1 $ :
$ p^2 – 6p + 1 = 6^2 – 6.6 + 1 = 36 – 36 + 1 = 1 $
Jadi, nilai $ p^2 – 6p + 1 = 1 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Perkalian Vektor Dengan Skalar

7). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$. Jika $ |\vec{a}| = 4 $, $\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $, maka tentukan nilai $ | \vec{a} – \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2) $
*). Menyusun sedikit persamaan dari yang diketahui
-). Persamaan pertama : $ |\vec{a}| = 4 $
$ \begin{align} |\vec{a}| & = 4 \\ \sqrt{a_1^2 + a_2^2} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ a_1^2 + a_2^2 & = 16 \, \, \, \, \, \, \text{….(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ |\vec{b}| = 5 $
$ \begin{align} |\vec{b}| & = 5 \\ \sqrt{b_1^2 + b_2^2} & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ b_1^2 + b_2^2 & = 25 \, \, \, \, \, \, \text{….(ii)} \end{align} $
-). Persamaan ketiga : $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $
$ \begin{align} |\vec{a}+\vec{b}| & = 7 \\ \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} & = 7 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2 & = 49 \\ a_1^2+b_1^2 + 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 +2a_2b_2 & = 49 \\ (a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 16 + 25 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 41 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 – 41 \\ 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{….(iii)} \end{align} $
*). Menentukan nilai panjang $ | \vec{a} – \vec{b}| $ :
$ \begin{align} | \vec{a} – \vec{b}| & = \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} \\ & = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} \\ & = \sqrt{a_1^2+b_1^2 – 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 -2a_2b_2 } \\ & = \sqrt{(a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) -( 2a_1b_1 +2a_2b_2) } \\ & = \sqrt{16 + 25 -8 } \\ & = \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{33} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk pengerjaan pola soal nomor (7) di atas, akan lebih memakai konsep persobat semua dot (dot product) dua buah vektor yang akan kita bahas pada artikel lain yang berjudul “Persobat semua Dot Dua Vektor (Dot Product)”.

       Demikian pembahasan bahan Panjang Vektor dan Vektor Satuan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “vektor posisi dan vektor nol“.