Peluang Bencana Secara Umum

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas Peluang Kejadian Secara Umum. Hal-hal yang akan kita bahas pada artikel Peluang Kejadian Secara Umum yaitu : ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, kisaran peluang, peluang komplemen, dan frekuensi impian . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita membaca dahulu materi yang berkaitan dan akan dipakai dalam peluang yaitu kaidah pencacahan yang terdiri dari “aturan persobat semua dan penjumlahan“, “permutasi“, dan “kombinasi“.

Ruang Sampel dan bencana
       Ruang sampel merupakan himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang cukup dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Sementara titik sampel merupakan anggota dari ruang sampel. Jika sekeping uang logam ditos (dilempar ke atas sambil diputar), akan muncul muka angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A dan G dinamakan titik sampel, lagikan {A, G} dinamakan ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya merupakan mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, lagikan ruang sampelnya merupakan {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pengentosan atau pelemparan (satu kali atau sedikit kali) uang logam atau dadu disebut debagai percobaan.

Jenis-jenis bencana :
       Kejadian simpel merupakan suatu bencana yang hanya memiliki satu titik sampel. Misalkan pelemparan sebuah dadu sisi enam, bencana yang cukup : bencana muncul mata dadu 1, bencana muncul mata dadu 2, hingga bencana muncul mata dadu 6.

       Kejadian tak simpel merupakan suatu bencana yang memiliki lebih dari satu titik sampel. Misalkan kejadian-kejadian : bencana muncul mata dadu ganjil {1,3,5}, bencana muncul mata dadu genap {2,4,6} dan lainnya.

Menentukan kayanya anggota ruang sampel dan suatu bencana
       Misalkan ada himpunan A, maka kayanya anggota himpunan A ditulis dengan simbol : $ n(A) $ . Sesampai kemudian kayanya anggota ruang sampel (S) disimbolkan dengan $ n(S) $.

Khusus bencana pelemparan koin (uang logam) dan dadu, kayanya anggota ruang sampel sanggup dihitung dengan rumus berikut :
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin : $ n(S) = 2^k $
Ruang sampel pelemparan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 6^d $
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin dan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 2^k \times 6^d $

Catatan :
Untuk kasusu lainnya, menentukan $ n(S) \, $ sanggup memakai hukum persobat semua dan penjumlahan, atau hukum permutasi dan kombinasi.

Contoh Ruang sampel :
1). Tentukan kayanya anggota ruang sampel pada kejadian-kejadian berikut ini.
a). Pelemparan sebuah koin,
b). pelemparan sebuah dadu,
c). pelemparan 2 buah koin,
d). pelemparan 2 buah dadu,
e). pelemparan 3 buah koin,
f). pelemparan 3 buah dadu,
g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Penyelesaian :
a). Pelemparan sebuah koin,
Pada pelemparan sebuah koin, maka ruang sampelnya : S = {A,G}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 2 $.
dengan rumus, ada 1 koin sesampai kemudian $ n(S) = 2^1 = 2 $.

b). pelemparan sebuah dadu,
1 dadu terdapat ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 6 $.
dengan rumus, ada 1 dadu sesampai kemudian $ n(S) = 6^1 = 6 $.

c). pelemparan 2 buah koin,
Ada sedikit cara dalam menentukan himpunan 2 koin yang yang dilempar yaitu tabel atau diagram menyerupai gambar berikut ini.

Sesampai kemudian ruang sampelnya : S = {AA, AG, GA, GG}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 4 $.
dengan rumus, ada 2 koin sesampai kemudian $ n(S) = 2^2 = 4 $.

d). pelemparan 2 buah dadu,
Perhatikan tabel kecukupan munculnya mata dadu dari kedua dadu :

Dari tabel, ruang sampelnya : S = {(1,1),(1,2), …,(6,6)}. Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 36 $.
dengan rumus, ada 2 dadu sesampai kemudian $ n(S) = 6^2 = 36 $.

e). pelemparan 3 buah koin,
perhatikan diagram berikut ini.

Dari diagram, ruang sampelnya : S = {AAA, AAG, AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 8 $.
dengan rumus, ada 3 koin sesampai kemudian $ n(S) = 2^3 = 8 $.

f). pelemparan 3 buah dadu,
dengan rumus, ada 3 dadu sesampai kemudian $ n(S) = 6^3 = 216 $.

g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Perhatikan tabel hasil pelemparan berikut ini,

Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 24 $.
dengan rumus, ada 2 koin dan 1 dadu sesampai kemudian $ n(S) = 2^2 \times 6^1 = 4 \times 6 = 24 $.

Menentukan Peluang Kejadian
       Peluang merupakan bencana yang cukup dari suatu percobaan yang dinyatakan dalam besaran angka tertentu. Berbicara wacana peluang berarti kita berbicara wacana impian suatu bencana yang tentu sanggup terjadi atau tak.

Baca Juga:   Peluang Insiden Saling Lepas Dan Saling Bebas

       Misalkan S merupakan ruang sampel suatu percobaan yang setiap anggota dari S memiliki hari ini sama untuk muncul atau untuk dipilih. Jika E merupakan suatu bencana dengan E merupakan himpunan bab dari S, maka peluang bencana E sanggup ditentukan :
              $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang bencana E,
$ n(E) = \, $ kayanya anggota himpunan E,
$ n(S) = \, $ kayanya anggota himpunan ruang sampel S

Kisaran Peluang suatu Kejadian
       Karena E merupakan himpunan bab dari ruang sampel S, maka kita peroleh :
$ \begin{align} 0 \leq \, & n(E) \leq n(S) \, \, \, \, \, \, \text{[bagi dengan } n(s) ] \\ \frac{0}{n(S)} \leq \, & \frac{n(E)}{n(S)} \leq \frac{n(S)}{n(S)} \\ 0 \leq \, & P(E) \leq 1 \end{align} $
Artinya peluang suatu bencana berkisar antara 0 dan 1, dimana apabila peluangnya 0 maka bencana yang tak pernah terjadi (mustahil terjadi) dan apabila peluangnya 1 maka kejadiannya niscaya terjadi.

Contoh peluang bencana :
2). Sebuah dadu dilempar, tentukan peluang dari bencana :
a). Muncul mata dadu 4,
b). muncul mata dadu ganjil,
c). muncul mata dari prima,
d). muncul mata dadu kurang dari 7,
e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Penyelesaian :
*). Satu dadu dilempar, maka $ n(S) = 6^1 = 6 $.
a). Muncul mata dadu 4,
Himpunan kejadiannya : E = {4} , sesampai kemudian $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{6} $.

b). muncul mata dadu ganjil,
Himpunan kejadiannya : E = {1,3,5} , sesampai kemudian $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

c). muncul mata dari prima,
Himpunan kejadiannya : E = {2,3,5} , sesampai kemudian $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

d). muncul mata dadu kurang dari 7,
Himpunan kejadiannya : E = {1,2,3,4,5,6} , sesampai kemudian $ n(E) = 6 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1 $.
Karena nilai peluangnya 1, maka bencana munculnya mata dadu kurang dari 7 niscaya terjadi, sanggup muncul angka 1 atau angka 2, atau angka 3 , dan seterusnya atau hingga muncul angka 6.

e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Himpunan kejadiannya : E = {} (himpunan kosong), sesampai kemudian $ n(E) = 0 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0 $.
Karena nilai peluangnya 0, maka bencana munculnya mata dadu lebih dari 8 tak cukup terjadi alasannya ialah mata dadu paling besar merupakan mata dadu 6.

3). Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.
a). Ikan sanggup hidup di darat. b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah. c). Lumut tumbuh di kawasan gurun.
Penyelesaian :
a). Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sesampai kemudian peluangnya sama dengan 0.
b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan suatu kepastian sesampai kemudian peluangnya sama dengan 1.
c). Lumut tumbuh di kawasan gurun merupakan suatu kemustahilan sesampai kemudian peluangnya sama dengan 0.

4). Tentukan peluang dari bencana :
a). munculnya dua sisi angka pada pelemparan 2 koin,
b). munculnya dua sisi angka dan satu sisi gambar pada pelemparan 3 koin.
Penyelesaian :
a). dua koin, sesampai kemudian $ n(S) = 2^2 = 4 $, yaitu S = {AA, AG, GA, GG}.
Himpunan kejadiannya dua sisi angka : E = {AA}, sesampai kemudian $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka pada pelemparan dua koin sekaligus merupakan $ \frac{1}{4} $.

b). tiga koin, sesampai kemudian $ n(S) = 2^3 = 8 $
Himpunan kejadiannya 2 sisi angka dan 1 gambar : E = {AAG, AGA, GAA}, sesampai kemudian $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka dan 1 gambar pada pelemparan tiga koin sekaligus merupakan $ \frac{3}{8} $.

5). Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil:
a. kelereng merah;
b. kelereng putih;
c. 3 merah dan 1 putih;
Penyelesaian :
*). Ada 6 merah dan 5 putih, totalnya ada 11 kelereng.
Pada masalah pengambilang kelereng, misal yang terambil warna merah dan putih (MP) akan sama dengan termbilnya warna putih dan merah (PM), artinya URUTAN tak diperhatikan sesampai kemudian masalah ini memakai kombinasi.
*). Menentukan anggota ruang sampel :
akan diambil 4 kelereng dari 11 kelereng yang ada,
$ \begin{align} n(S) = C_4^{11} = \frac{11!}{(11-4)!4!} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{11.10.9.8.7!}{7!.(4.3.2.1)} = 11.10.3 \end{align} $

Baca Juga:   Peluang Kejadian Bersyarat

a). terambil semuanya warna merah, artinya kita akan menentukan 4 warna merah dari 6 warna merah yang ada. Misalkan E merupakan mewakili bencana ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{6} = \frac{6!}{(6-4)!4!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6.5.4!}{(2.1).4!} = 3.5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3.5}{11.10.3} = \frac{1}{22} $.
Jadi, peluang terambil semuanya merah merupakan $ \frac{1}{22} $.

b). terambil semuanya warna putih, artinya kita akan menentukan 4 warna putih dari 5 warna putih yang ada. Misalkan E merupakan mewakili bencana ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{5} = \frac{5!}{(5-4)!4!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{11.10.3} = \frac{1}{66} $.
Jadi, peluang terambil semuanya putih merupakan $ \frac{1}{66} $.

c). Misalkan bencana terambilnya 3 merah dan 1 putih merupakan E,
*). terambil 3 merah dari 6 merah yang ada :
$ \begin{align} n(E_1) = C_3^{6} = \frac{6!}{(6-3)!3!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6.5.4.3!}{3! . (3.2.1)} = 5.4 \end{align} $
*). terambil 1 putih dari 5 putih yang ada :
$ \begin{align} n(E_2) = C_1^{5} = \frac{5!}{(5-1)!1!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
*). Karena harus terambil 4 kelereng, maka 3 merah dan 1 putih harus SEKALIGUS terjadi sesampai kemudian memakai hukum persobat semua.
*). Total cara terambil 3 merah dan 1 putih merupakan :
$ n(E) = n(E_1) \times n(E_2) = 5.4 \times 5. $
*). Peluang bencana E :
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5.4.5}{11.10.3} = \frac{10}{33} $.
Jadi, peluang terpilihnya 3 merah dan 1 putih merupakan $ \frac{10}{33} $.

6). Ada 5 orang duduk melingkar pada meja bundar. Jika diantara kelima orang tersebut ada yang berjulukan Wati dan Budi, maka tentukan peluang susunan duduk semoga Wati dan Budi selalu berdampingan?
Penyelesaian :
*). Kasus duduk melingkar berkaitan dengan permutasi siklis.
*). Ada 5 orang duduk melingkar, maka semua susunan yang cukup yaitu :
$ n(S) = (5-1)! = 4! $
*). Harapannya Wati dan Budi selalu berdampingan, misalkan bencana ini merupakan E,
Agar Wati dan Budi selalu berdampingan, kita blok Wati dan Budi menjadi 1 sesampai kemudian kita anggap menjadi satu orang . Artinya kini ada 4 orang duduk melingkar dengan kaya cara $ (4-1)! = 3! \, $ . Disamping itu, Wati dan Budi sanggup ditukar posisinya dengan ada 2 cara.
Total cara semoga Wati dan Budi berdampingan : $ n(E) = 3! \times 2 $ .
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3! . 2}{4!} = \frac{3! . 2}{4 . 3!} = \frac{1}{2} $.
Jadi, peluang semoga Wati dan Budi selalu berdampingan merupakan $ \frac{1}{2} $.

7). Ada 6 pasang suami istri menghadiri pesta dan mereka saling bersalaman. Misalkan E merupakan bencana kayanya salaman kecuali dengan pasangannya sendiri, tentukan peluang bencana E.
Penyelesaian :
*). Menentukan kaya anggota ruang sampel : $ n(S) $,
Untuk masalah salaman, misalkan si A salaman dengan si B akan sama saja dengan si B salaman dengan si A, artinya URUTAN Tidak diperhatikan, sesampai kemudian memakai kombinasi.
Ada 6 pasang suami istri, total orang ada $ 6 \times 2 = 12\, $ orang.
Salaman terjadi antara dua orang, sesampai kemudian kita menentukan 2 orang dari 12 orang yang ada.
$ \begin{align} n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!2!} = \frac{12!}{10!.2!} = \frac{12.11.10!}{10!.(2.1)} = 66 \end{align} $
*). Menentukan $ n(E) $ :
E merupakan bencana salaman kecuali dengan pasangannya, artinya ada 6 salaman yang tak dihitung dari 66 pasangan yang terjadi, sesampai kemudian $ n(E) = 66 – 6 = 60 $.
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{60}{66} = \frac{10}{11} $.
Jadi, peluang bencana E merupakan $ \frac{10}{11} $.

Peluang Komplemen
       Misalkan ada ruang sampel S, E merupakan bencana yang merupakan bab dari ruang sampel, maka E$^c$ juga bab dari ruang sampel. Misalkan pelemparan sebuah dadu, ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}, bencana E merupakan bencana muncul bilangan prima, maka E = {2,3,5}, sesampai kemudian E$^c \, $ = {1,4,6}. Artinya $ n(E) + n(E^c) = n(S) $

Baca Juga:   Peluang Kejadian Bersyarat

Menentukan Peluang komplemennya :
$ \begin{align} n(E) + n(E^c) & = n(S) \, \, \, \, \, \, \text{[bagi dengan } n(S) ] \\ \frac{n(E)}{n(S)} + \frac{n(E^c)}{n(S)} & = \frac{n(S)}{n(S)} \\ P(E) + P(E^c) & = 1 \\ P(E^c) & = 1 – P(E) \end{align} $
Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang bencana E,
$ P(E^c) = \, $ peluang tambahan bencana E atau peluang kebalikan dari E.

Contoh peluang tambahan :
8). Tentukan peluang berikut :
a). Peluang hidup apabila diketahui peluang matinya 0,15
b). Peluang lulus apabila diketahui peluang tak lulusnya 0,71.
Penyelesaian :
a). Misalkan P(E) = peluang mati = 0,15 .
maka P(E$^c$) = peluang kebalikan dari mati yaitu peluang hidup.
$ P(E^c) = 1 – P(E) = 1 – 0,15 = 0,85 $.
Jadi, peluang hidupnya merupakan 0,85.

a). Misalkan P(L) = peluang tak lulus = 0,71 .
maka P(L$^c$) = peluang kebalikan dari tak lulus yaitu peluang lulus.
$ P(L^c) = 1 – P(L) = 1 – 0,71 = 0,29 $.
Jadi, peluang lulusnya merupakan 0,29.

9). Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 hingga 10. Jika diambil sebuah bola, berapakah peluang munculnya:
a. nomor prima,
b. bukan nomor prima.
Penyelesaian :
a). S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, sesampai kemudian $ n(S) = 10 $.
Misalnya munculnya nomor prima merupakan A, maka:
A = {2, 3, 5, 7}, sesampai kemudian $ n(A) = 4 $ .
Peluang bencana A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya nomor prima merupakan $ \frac{2}{5} $.

b). Bukan bilangan prima = $ A^c $, peluangnya $ P(A^c) $
$ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya bukan prima merupakan $ \frac{3}{5} $.

10). Dua buah dadu dilempar sekaligus. Tentukan peluang munculnya jumlah dadu lebih dari 3.
Penyelesaian :
*). Menentukan $ n(S) $ :
ada dua dadu, sesampai kemudian $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Dua dadu yang masing-masing bernomor 1,2,3,4,5, dan 6. Jumlah terkecil dua dadu tersebut merupakan 2, dan jumlah terbesarnya merupakan 12.
*). Harapannya jumlah dadu lebih dari 3, artinya yang diminta merupakan jumlah 4,5,6,7,8,9,10,11, dan jumlah 12.
*). Kita misalkan E merupakan bencana muncul jumlah 2 dan jumlah 3, maka E$^c \, $ merupakan kebalikannya yaitu muncul jumlah 4,5,6,…,12.
*). Kejadian jumlah 2 dan jumlah 3 :
E = {(1,1),(1,2),(2,1)}, sesampai kemudian $ n(E) = 3 $.
Peluang bencana E : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $
*). Peluang komplemennya $ P(E^c) $ :
$ P(E^c) = 1 – P(E) = 1 – \frac{1}{12} = \frac{11}{12} $.
Jadi, peluang munculnya jumlah lebih dari 3 merupakan $ \frac{11}{12} $.

Frekuensi Harapan
       Frekuensi impian dari sejumlah bencana merupakan kayanya bencana dikalikan dengan peluang bencana itu. Misalnya pada percobaan E dilakukan $ n \, $ kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
       $ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) \end{align} $.
Keterangan :
$ F_h(E) = \, $ frekuensi impian terjadinya bencana E.
$ P(E) = \, $ peluang bencana E.
$ n = \, $ kayanya percobaan.

Contoh soal frekuensi impian :
11). Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sekaya 240 kali, tentukan frekuensi impian munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian :
*). kaya percobaan : $ n = 240 $.
*). Menentukan peluang kejadiannya, misalkan kejadiannya merupakan E.
ada 3 koin, sesampai kemudian $ n(S) = 2^3 = 8 $.
E = bencana muncul 2 gambar dan 1 angka :
E = { GGA, GAG, AGG}, sesampai kemudian $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $
*). Menentukan frekuensi impian bencana E :
$ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) = 240 \times \frac{3}{8} = 90 \end{align} $.
Jadi, dari 240 kali percobaan pelemparan 3 uang logam, impian munculnya dua gambar dan satu angka merupakan sekaya 90 kali.

12). Budi menanam 1000 pohon bunga mawar. Jika dalam sebulan peluang mati setiap pohon merupakan 0,23 maka tentukan kayanya impian bungan mawar yang masih hidup dalam sebulan.
Penyelesaian :
*). Menentukan peluang hidupnya,
$ P(hidup) = 1 – P(mati) = 1- 0,23 = 0,77 $ .
*). Menentukan frekuensi harapannya :
$ \begin{align} F_h(hidup) = n \times P(hidup) = 1000 \times 0,77 = 770 \end{align} $.
Jadi, dalam sebulan harapannya masih ada 770 pohon bunga mawar yang masih hidup dari 1000 pohon yang ditanam.