Peluang Insiden Saling Lepas Dan Saling Bebas

Posted on

         Pondok Soal.com – Kejadian pada percobaan ada dua ialah kejadian simpel dan kejadian beragam yang telah dibahas sebelumnya pada bahan “Peluang Kejadian Secara Umum”. Untuk artikel kali ini, kita akan membahas peluang kejadian majemuk ialah Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas. Namun sebelum membahas bahan Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas kita akan membahas peluang adonan dua kejadian. Untuk memudahkan dalam memahami bahan ini, sebaiknya kuasai dahulu teori “peluang kejadian secara umum” dahulu.

Peluang Gabungan Dua Kejadian
       Dengan memakai sifat-sifat adonan dua himpunan kita akan sanggup memilih peluang adonan dua kejadian. Berdasarkan teori “himpunan”, kayanya anggota adonan himpunan A dan B yang disimbolkan $ A \cup B \, $ ialah
$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A\cap B) \, $, dengan $ A \cap B \, $ menyatakan irisan dua himpunan A dan B.

Menentukan Peluang adonan dua kejadian : $ P(A \cup B) $
$ \begin{align} n(A \cup B) & = n(A) + n(B) – n(A\cap B) \, \, \, \text{[bagi dg } n(S) ] \\ \frac{ n(A \cup B) }{n(S)} & = \frac{n(A) }{n(S)} + \frac{n(B) }{n(S)} – \frac{ n(A\cap B)}{n(S)} \\ P(A \cup B) & = P(A) + P(B) – P(A\cap B) \end{align} $
Jadi, rumus peluang gabungannya merupakan
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B) $ .

Keterangan :
$ P(A \cup B) = \, $ peluang adonan kejadian A dan B,
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ P(B) = \, $ peluang kejadian B ,
$ P(A \cap B) = \, $ peluang irisan kejadian A dan B.
Hasil irisan dua himpunan merupakan anggota himpunan yang sama dari kedua himpunan tersebut.

Contoh soal peluang adonan dua kejadian :
1). Sebuah dadu sisi enam dilempar sekali, berapakah peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap atau angka prima?
Penyelesaian :
*). Ruang sampelanya merupakan S = {1,2,3,4,5,6}, dengan $ n(S) = 6 $.
*). Misalkan A kejadian muncul mata dadu genap dan B kejadian muncul mata dadu prima,
A = {2,4,6}, B = {2,3,5}, dan $ A \cap B = \{ 2 \} $
Sesampai lalu $ n(A) = 3, \, n(B) = 3, \, n(A \cap B) = 1 $.
*). Gambar diagram Vennnya,

*). Menentukan peluang : $ P(A), \, P(B), \, P(A \cap B) $
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} \\ P(B) & = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6} \\ P(A \cap B) & = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{6} \end{align} $.
*). Menentukan peluang gabungannya
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) – P(A\cap B) \\ & = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} – \frac{1}{6} \\ & = \frac{5}{6} \end{align} $.
Jadi, peluang adonan kejadian A dan B merupakan $ \frac{5}{6} $.

2). Dalam satu set kartu bridge ada 52 kartu terdiri atas 13 kartu sekop warna hitam, 13 kartu keriting warna hitam, 13 kartu hati warna merah, dan 13 kartu wajik warna merah. Setiap jenis teridiri atas kartu bernomor 2,3,4,5, …,10, Jack(J), Queen(Q), King(K), dan As (A). Jika diambil satu kartu dari satu set kartu bridge, berapakah peluang kejadian yang terambil satu kartu berwarna hitam atau satu kartu K.?
Penyelesaian :
*). Jumlah kartu berwarna hitam ada 26 buah, ialah sekop dan keriting. Misalkan A kejadian munculnya kartu warna hitam, maka
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} $
*). Misalkan B merupakan kejadian munculnya kartu K, dan terdapat 4 kartu K, sesampai lalu peluangnya
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} $
*). Banyaknya irisan kartu berwarna hitam dan katu K ada 2 ialah kartu K sekop dan K keriting, sesampai lalu peluangnya :
$ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} $
*). Menentukan peluang gabungannya
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) – P(A\cap B) \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{13} – \frac{1}{26} \\ & = \frac{7}{13} \end{align} $.
Jadi, peluang terambil satu kartu berwarna hitam atau satu kartu K merupakan $ \frac{7}{13} $.

Peluang Kejadian Saling Lepas atau Saling Asing
       Kejadian A dan B dikatakan Saling Lepas apabila irisan keduanya merupakan himpunan kosong ($A \cap B = {}$). Jika A dan B merupakan kejadian saling lepas dalam ruang sampel S, maka peluang kejadian $ A \cup B \, $ merupakan
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) \end{align} $.

Contoh soal kejadian saling lepas :
3). Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A merupakan kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B merupakan kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil.
a. Selidiki apakah kejadian A dan B saling asing.
b. Tentukan peluan kejadian A atau B.
Penyelesaian :
*). Menentukan himpunan masing-masing kejadian :
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , $ n(S) = 10 $.
Kejadian A : A = {2,4,6,8,10} , $ n(A) = 5 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{10} $
Kejadian B : B = {3,5,7} , $ n(B) = 3 $
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{10} $
a). Ternyata kejadian A dan B tak terdapat irisan ($A \cap B = {}$) . Artinya kejadian A dan B merupakan kejadian saling lepas.
b). Menentukan peluang $ A \cup B $ ,
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) \\ & = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} \\ & = \frac{8}{10} \\ & = \frac{4}{5} \end{align} $.
Jadi, peluang terambil kartu genap atau prima ganjil merupakan $ \frac{4}{5} $.

Baca Juga:   Peluang Kejadian Bersyarat

4). Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan Ingatlah kejadian A merupakan muncul kartu berwarna merah dan kejadian B merupakan kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah kejadian A dan B saling lepas?
Penyelesaian :
Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam maksudnya irisannya tak ada alasannya tak ada kartu yang berwarna hitam sekaligus warna merah. Jadi, kejadian A dan B saling lepas.

Peluang Kejadian Saling Bebas
       Kejadian A dan kejadian B dikatakan dua kejadian saling bebas apabila kejadian A tak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian B tak dipengaruhi oleh kejadian A.

       Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku :
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $
Sebaliknya, apabila $ \begin{align} P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \end{align} \, $ , maka kejadian A dan kejadian B tak saling bebas.

Contoh soal kejadian saling bebas :
5). Dua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali secara serentak. Misalkan A merupakan kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3, dan B merupakan kejadian munculnya mata dadu kedua angka 5. Apakah kejadian A dan kejadian B saling bebas?
Penyelesaian :
*). Menentukan anggota himpunan masing-masing :
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}, $ n(A) = 6 $
B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)} , $ n(B) = 6 $
$ A \cap B \, $ = {(3,5)} , , $ n(A \cap B ) = 1 $
*). Menentukan peluang masing-masing :
Ada dua dadu dilempar, sesampai lalu $ n(S) = 6^2 = 36 $.
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
$ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{36} $
*). Apakah berlaku $ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $
Mari kita cek :
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ \frac{1}{36} & = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ \frac{1}{36} & = \frac{1}{36} \end{align} $
Karena berlaku $ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $, maka kejadian A dan B saling bebas.

Baca Juga:   Peluang Bencana Secara Umum

6). Ada dua kota yang masing-masing memuat bola berwarna merah dan putih. Kotak I memuat 5 Merah dan 4 Putih, serta Kotak II memuat 6 Merah dan 3 Putih. Jika masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus, tentukan peluang terambilnya 1 merah dan 1 putih pada kotak I dan 2 Merah pada kotak II.
Penyelesaian :
*). Kejadian antara kotak A dan Kotak B merupakan kejadian saling bebas alasannya tak saling mempengaruhi.
*). Misal A merupakan kejadian pada kotak I ialah terambil 1M dan 1P,
akan diambil 2 bola sekaligus dari kotak I yang terdiri dari 9 bola,
$ n(S) = C_2^9 = \frac{9!}{7!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.(2.1)} = 36 $
Terpilih 1 merah dari 5 Merah dan 1 putih dari 4 putih,
$ n(A) = C_1^5 \times C_1^4 = 5 \times 4 = 20 $
Peluangnya : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} $
*). Misal B merupakan kejadian pada kotak II ialah terambil 2M,
akan diambil 2 bola sekaligus dari kotak II yang terdiri dari 9 bola,
$ n(S) = C_2^9 = \frac{9!}{7!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.(2.1)} = 36 $
Terpilih 2 merah dari 6 Merah,
$ n(B) = C_2^6 = \frac{6!}{4!.2!} = \frac{6.5.4!}{4!.(2.1)} = 15 $
Peluangnya : $ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} $
*. Menentukan peluang kejadian A dan B : $ P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = \frac{5}{9} \times \frac{5}{12} \\ & = \frac{25}{108} \end{align} $
Jadi, peluang kejadian A dan kejadian B merupakan $ \frac{25}{108} $.

7). Dua dadu sisi enam dilempar secara serentak sekali. Kejadian A merupakan kejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama, lagikan kejadian B merupakan kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu sama dengan 8. Apakah kejadian A dan kejadian B saling bebas?
Penyelesaian :
*). Dua dadu dilempar, $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Menentukan peluang masing-maisng :
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}, $ n(A) = 6 $.
Peluangnya : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
B = {(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)}, $ n(B) = 5 $.
Peluangnya : $ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{5}{36} $
Sesampai lalu : $ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{216} $
$ A \cap B \, $ = {(3,5)}, $ n(B) = 1 $.
Peluangnya : $ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} $
*). Cek apakah saling bebas atau tak.
Dari haisil perhitungan di atas,
$ P(A \cap B) = \frac{1}{6} \, $ dan $ \, P(A) \times P(B) = \frac{5}{216} $
Artinya $ P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \, $ ,
Sesampai lalu kejadian A dan B tak saling bebas.

Baca Juga:   Peluang Kejadian Bersyarat

8). Misalkan A dan B merupakan kejadian saling bebas, tenamun tak saling lepas. Jika $ P(A) = \frac{1}{2} \, $ dan $ \, P(A \cup B) = \frac{3}{4}, \, $ hitunglah peluang kejadian B.
Penyelesaian :
*). Misalkan besarknya peluang $ P(B) = c $,
*). A dan B kejadian saling bebas, sesampai lalu :
Peluang : $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times c = \frac{1}{2}c $.
*). Kejadian A dan B tak saling lepas, sesampai lalu :
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \\ \frac{3}{4} & = \frac{1}{2} + c – \frac{1}{2}c \\ \frac{3}{4} & = \frac{2}{4} + \frac{1}{2}c \\ \frac{1}{4} & = \frac{1}{2}c \\ c & = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, peluang B merupakan $ P(B) = c = \frac{1}{2} $.

9). Misalkan A dan B merupakan kejadian saling bebas. Jika $ P(A) = \frac{1}{3} \, $ dan $ P(B) = \frac{2}{3} $, tentukanlah :
a). $ P(A \cap B) $ ,
b). $ P(A \cup B) $ ,
c). $ P(A^c \cap B^c) $ ,
c). $ P(A^c \cup B^c) $.
Penyelesaian :
a). $ P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{9} \end{align} $

b). $ P(A \cup B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \\ & = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} – \frac{2}{9} \\ & = 1 – \frac{2}{9} \\ & = \frac{7}{9} \end{align} $

c). $ P(A^c \cap B^c) $ ,
Bentuk pelengkap :
$ (A \cap B)^c = (A^c \cup B^c ) $
$ (A \cup B)^c = (A^c \cap B^c ) $
Kita memakai peluang pelengkap : $ P(A^c) = 1 – P(A) $
Sesampai lalu : $ P(A^c \cap B^c) = P(A \cup B)^c = 1 – P(A \cup B) = 1 – \frac{7}{9} = \frac{2}{9} $

c). $ P(A^c \cup B^c) $.
$ P(A^c \cup B^c) = P(A \cap B)^c = 1 – P(A \cap B) = 1 – \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $