Peluruhan Dalam Matematika

Posted on

         Pondok Soal.com – Apa sih yang dimaksud dengan peluruhan khususnya dalam matematika? Sebenarnya peluruhan dalam matematika konsepnya menyerupai dengan “pertumbuhan dalam matematika” yang telah kita bahas sebelumnya, bedanya merupakan untuk pertumbuhan semakin meningkat setipa periode berikutnya, lagikan peluruhan akan selalu menurun setiap periode berikutnya. Dapat kita simpulkan, Peluruhan dalam Matematika merupakan perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati inginpun benda hidup) yang semakin usang semakin menurun jumlahnya (semakin sedikit) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Penurunan pada peluruhan dalam matematika biasanya mengikuti pola tertentu yaitu “barisan dan deret aritmatika” atau “barisan dan deret geometri“.

       Bagaimana dengan peluruhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk peluruhan ini biasanya memakai pola atau barisan geometri. Misalkan peluruhan suatu objek suatu daerah setiap tahunnya menurun sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %) dari periode sebelumnya, dan kaya objek di awal sekaya $ A_0 \, $ serta kaya objek sehabis $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka sanggup kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
sehabis tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 – i \times A_0 = A_0(1 – i) $
sehabis tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 – i \times A_1 = A_1(1 – i) = A_0(1 – i)(1-i) = A_0(1-i)^2 $
sehabis tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 – i \times A_2 = A_2(1 – i) = A_0(1 – i)^2(1-i) = A_0(1-i)^3 $
dan seterusnya hingga
sehabis tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} – i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 – i) = A_0(1 – i)^{n-1}(1-i) = A_0(1-i)^n $

Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 – i)^n \, $ bersama-sama menyerupai dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 – i $. Nah untuk pangkatnya mengapa berbeda? hal ini terjadi alasannya yaitu pada kasus peluruhan kita eksklusif menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang bersama-sama sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan peluruhan sehabis tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1-i)^1 = A_0(1-i) $.

Contoh soal pertumbuhan :
1). Sebuah industri rumah tangga yang gres beroperasi tahun 2012 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Dengan berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan
a. Harga mesin pada tahun ke-2014.
b. Harga mesin pada tahun ke-2020.

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
a). Menentukan harga mesin pada tahun 2014 :
Tahun 2014 artinya dua tahun sehabis tahun 2012, sesampai kemudian $ n = 2 $
atau $ n = 2014 – 2012 = 2 $
harga mesin tahun 2014 = $ A_2 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_2 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^2 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^2 \\ & = 100.000.000 \times ( 0,9801) \\ & = 98.010.000 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2014 merupakan Rp98.010.000,00.
b). Menentukan harga mesin pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 8 tahun sehabis tahun 2012, sesampai kemudian $ n = 8 $
atau $ n = 2020 – 2012 = 8 $
harga mesin tahun 2020 = $ A_8 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_8 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^8 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^8 \\ & = 100.000.000 \times ( 0, 922744694) \\ & = 92.274.469,40 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2020 merupakan Rp92.274.469,40.

2). Ketika lagi menyidik seorang bayi yang menderita benjol telinga, dokter mendiagnosis bahwa cukup terdapat 1.000.000 basil yang menginfeksi. Selanjutnya dukungan penisilin yang diresepkan dokter sanggup membunuh 5% basil setiap 4 jam. Tentukan kaya basil sehabis 12 jam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000.000 \, $ dan $ i = 5\% = 0,05 $
peluruhan terjadi setiap 4 jam, sesampai kemudian selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{12}{4} = 3 $.
*). Menentukan kaya basil sehabis 12 jam ($A_{3}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_3 & = 1.000.000 \times (1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000 \times (0,95)^3 \\ & = 1 .000.000 \times ( 0, 857375) \\ & = 857.375 \end{align} $
Jadi, kaya basil sehabis 12 jam merupakan 857.375 bakteri.

Baca Juga:   Pengertian Bunga Dalam Matematika Keuangan

3). Suatu materi radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami rekasi kimia sesampai kemudian ukurannya menyusut 10% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran materi radioaktif tersebut sehabis 2 hari?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100 \, $ dan $ i = 10\% = 0,1 $
peluruhan terjadi setiap 12 jam, sesampai kemudian selama 2 hari = 48 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{48}{12} = 4 $.
*). Menentukan ukuran materi radioaktif tersebut sehabis 2 hari ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_4 & = 100 \times (1-0,1)^4 \\ & = 100 \times (0,9 )^4 \\ & = 100 \times (0,6561) \\ & = 65,61 \end{align} $
Jadi, ukuran materi radioaktif tersebut sehabis 2 hari merupakan 65,61 gram.

4). Seekor sapi terinveksi suatu virus yang memenonaktifkan. Setelah dilakukan investigasi oleh dokter hewan, ternyata terdapat 1000 virus didalam badan sapi tersebut. Agar sanggup menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang bisa membunuh sepertiga dari virus yang ada setiap 2 jam. Tentukan sisa virus sehabis 8 jam?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1000 \, $ dan $ r = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $
(rasio virus yang masih hidup).
peluruhan terjadi setiap 2 jam, sesampai kemudian selama 8 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{8}{2} = 4 $.
*). Menentukan sisa virus sehabis 8 jam ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_4 & = 1000 \times (\frac{2}{3})^4 \\ & = 1000 \times \frac{16}{81} \\ & = 197,53086 \\ & = 198 \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, sisa virus sehabis 8 jam merupakan 198 virus.

         Demikian pembahasan materi Peluruhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga pembahasan soal-soal bunga, pertumbuhan dan peluruhan yang ada di buku kurikulum 2013.