Pembahasan Soal Eksponen Uk 1.1 (Sifat Eksponen) Kurikulum 2013+ Kelas X

Posted on
         Pondok Soal.com – Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.1 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu ihwal sifat-sifat eksponen dengan baik dan benar. Setelah itu gres kita akan sanggup dengan lebih gampang dalam mengerjakannya. Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 ini kami saapabilan dengan cita-cita sanggup membantu teman-teman untuk menjawab soal-soal yang ada pada buku wajib matematika kurikulum 2013 kelas X.

         Untuk Soal-soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X yang akan kita bahas, memang terdiri dari soal-soal yang berdasarkan kami sangat menantang untuk kita kerjakan. Bahkan berdasarkan kami, sedikit soal yang ada merupakan soal-soal setingkat olimpiade, sesampai lalu tak gampang bagi kita untuk mengerjakannya. Semoga pembahasan yang ada pada artikel ini sanggup membantu kita semua, dan sanggup menambah wawasan dalam mempelajari dan memperdalam bahan eksponen.

         Untuk memudahkan mempelajari Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X ini, sebaiknya teman-teman mempelajari dahulu baik-baik bahan eksponen, menyerupai : bentuk umum eksponen, sifat-sifat eksponen, persamaan eksponen, pertaksamaan eksponen dan lainnya yang terkait dengan eksponen (perpangkatan).

         Berikut soal dan pembahasan soal eksponen UK 1.1 kurikulum 2013 kelas X.

Soal no. 1
Sederhanakan hasil operasi bilangan berpangkat berikut :
a. $ 2^5 \times 2^9 \times 2^{12} = 2^{5+9+12} = 2^{26} $
$\begin{align} \text{b. } 2^5 \times 3^6 \times 4^6 & = 2^5 \times 3^6 \times (2^2)^6 \\ & = 2^5 \times 3^6 \times 2^{12} \\ & = 2^{5+12} \times 3^6 = 2^{17} \times 3^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{12^2} & = \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{(3\times 4)^2} \\ & = \frac{2^5 \times 3^5 \times \not{4}^2 }{ 3^2 \times \not{4}^2} \\ & = 2^5 \times 3^{5-2} = 2^5 \times 3^3 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } \frac{(-5)^6 \times 25^2}{125} & = \frac{(-1 \times 5)^6 \times (5^2)^2}{5^3} \\ & = \frac{(-1)^6 \times (5)^6 \times 5^4}{5^3} \\ & = 1 \times 5^{6+4-3} = 5^7 \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(42)^3} & = \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(3 \times 7 \times 2)^3} \\ & = \frac{3^7 \times \not{7}^3 \times 2}{3^3 \times \not{7}^3 \times 2^3} \\ & = 3^{7-3} \times 2^{1-3} = 3^4 \times 2^{-2} = \frac{3^4}{2^2} \end{align} $

Soal no. 2

Dengan memakai sifat bilangan berpangkat, simpelkanlah bentuk berikut.
$\begin{align} \text{a. } 2x^3 \times 7x^4 \times (3x)^2 & = 2x^3 \times 7x^4 \times 3^2 \times x^2 \\ & = (2 \times 7 \times 9) \times x^{3+4+2} = 126x^9 \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } \left( \frac{-2p}{q} \right)^3 \times (-q)^4 \times \frac{2}{5}p^2 & = \frac{(-2p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{(-2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^{3+1}}{5} \times q^{4-3} \times p^{3+2} \\ & = – \frac{2^4}{5} \times q \times p^5 = – \frac{2^4}{5} q p^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } y^5 \times (x\times y)^3 \left( \frac{1}{x^2 \times y} \right) & = y^5 \times x^3 \times y^3 \times \frac{1}{x^2 \times y} \\ & = y^{5+3-1} \times x^{3-2} = y^7x \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & (a\times b \times c)^4 \times \frac{3}{(b \times c)^3} \times \frac{b^3}{27a^5} \\ & = a^4 \times b^4 \times c^4 \times \frac{3}{b^3 \times c^3} \times \frac{b^3}{3^3 \times a^5} \\ & = 3^{1-3} \times a^{4-5} \times b^{4-3+3} \times c^{4-3} \\ & = 3^{-2} \times a^{-1} \times b^4 \times c^1 = \frac{b^4c}{9a} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{-4a^3\times 2b^5}{\left( \frac{8a}{b} \right)} & = -\not{4}a^3\times \not{2}b^5 \times \frac{b}{\not{8}a} \\ & = -a^3\times b^5 \times \frac{b}{a} \\ & = – a^{3-1} \times b^{5+1} = -a^2b^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (4y)^2 & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times 4^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (2^2)^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2\not{x}}{3\not{y}^2}\times \frac{5}{3\not{x}} \times 2^4 \not{y}^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2}{3}\times \frac{5}{3} \times 2^4 \\ & = \frac{2^5\times 5}{3^2x^2y} \end{align} $
$\begin{align} \text{g. } & (-a \times b)^3 \times \left( \frac{-b}{2a} \right)^4 \times \left( \frac{3a}{b} \right)^5 \\ & = (-a)^3 \times (b)^3 \times \frac{(-b)^4}{(2a)^4} \times \frac{(3a)^5}{(b)^5} \\ & = -(a)^3 \times b^3 \times \frac{b^4}{2^4a^4} \times \frac{3^5a^5}{b^5} \\ & = – \frac{3^5}{2^4} \times a^{3-4+5} \times b^{3 + 4 – 5} \\ & = – \frac{3^5}{2^4} a^4 \times b^2 \end{align} $
$\begin{align} \text{h. } & \left( \frac{24a^3\times b^8}{6a^5 \times b} \right) \times \left( \frac{4b^3 \times a}{2a^3} \right)^2 \\ & = \left( 4 \times a^{3-5} \times b^{8-1} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{1-3} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{-2} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2^2 \times b^6 \times a^{-4} \right) \\ & = 2^{2+2} \times a^{-2 + (-4)} \times b^{7 + 6} \\ & = 2^4 \times a^{-6} \times b^{13} = \frac{2^4 b^{13}}{a^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{i. } & \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) : \left( \frac{12x(3y)^2}{9x^2y} \right)^2 \\ & = \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x(3y)^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{12x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x\times 3^2y^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{3 \times 2^2 \times x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ x^2y}{3\times 2^2 \times x\times y^2} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x}{3\times 2^2 \times y} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x^2}{3^2\times 2^4 \times y^2} \right) \\ & = \frac{x^3}{3y^2} \end{align} $
$\begin{align} \text{j. } & \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) : \left( \frac{2pqr^3}{-12(qr)^2} \right) \\ & = \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) \times \left( \frac{-12(qr)^2}{2pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{-(p)^3\times q^2 \times r^3}{-3p^6q^3} \right) \times \left( \frac{-6q^2r^2}{pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{3-6} \times q^{2-3} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^{2-1} \times r^{2-3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{-3} \times q^{-1} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^1 \times r^{-1} \right) \\ & = -2 \times p^{-3 + (-1)} \times q^{-1+1} \times r^{3 + (-1)} \\ & = -2 \times p^{-4} \times r^2 = -\frac{2r^2}{p^4} \end{align} $

Soal no. 3

Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.
$\begin{align} \text{a. } \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{6} \right)^2 & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{2}{6} \right)^2 \\ & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{2^4}{3^4} \times \frac{1}{3^2} \\ & = \frac{2^4}{3^{4+2}} = \frac{2^4}{3^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } & (-5)^3 \times \left( \frac{1}{15} \right)^2 \times \left( \frac{10}{3} \right)^4 \times \left( \frac{9}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \left( \frac{1}{3\times 5} \right)^2 \times \left( \frac{2 \times 5}{3} \right)^4 \times \left( \frac{3^2}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \frac{1}{3^2 \times 5^2} \times \frac{2^4 \times 5^4}{3^4} \times \frac{3^{10}}{5^5} \\ & = -5^{3+4-2-5} \times 3^{10-2-4} \times 2^4 = – 5^0 \times 3^4 \times 2^4 = – 3^4 \times 2^4 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } & \frac{3x^2 \times y^3}{24x} \times (2y)^2 \, ; \, \, \text{untuk } x = 2 \, \text{ dan } y = 3 \\ & = \frac{x \times y^3}{8} \times 2^2y^2 = \frac{1}{2} \times x\times y^5 \\ & = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^5 = 3^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & \frac{\left( \frac{2}{3} x\right)^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) (-y)^3}{xy^2} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{3} \\ & = \frac{ \frac{2^2}{3^2} x^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) -(y)^3}{xy^2} \\ & = – \frac{1}{3}xy = – \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = – \frac{1}{18} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } & \frac{3p^2 \times (-3)^4}{(-2p)^2 \times (-3q)^2} \times 4\left( \frac{q}{p} \right)^2 \, ; \, \text{untuk } p = 4 \, \text{ dan } q = 6 \\ & = \frac{3p^2 \times 3^4}{2^2p^2 \times 3^2q^2} \times 4\left( \frac{q^2}{p^2} \right) \\ & = \frac{3^2}{p^2} = \frac{9}{4^2} = \frac{9}{16} \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } & \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} – y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{2} \\ & \text{ Menggunakan sifat : } (p+q)(p-q) = p^2 – q^2 \\ & = \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} – y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( x^\frac{3}{2} \right)^2 – \left( y^{-\frac{3}{2}} \right)^2 \right) \frac{1}{x} \times y}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 – y^{-3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 – \frac{1}{y^3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 – \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^3} \right) \frac{\left( \frac{1}{2} \right)}{\left( \frac{1}{2} \right)}}{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)} + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} – 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 2 + 4 \right)} = \frac{\left( \frac{1}{8} – 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} – 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \times \frac{8}{8} = \frac{1-64}{2 + 48} = – \frac{63}{50} \end{align} $

Soal no. 4

Hitunglah : $ \begin{align} \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+…} \end{align}$
Penyelesaian :
Untuk menuntaskan soal ini, kita perlu memodifikasi penyebutnya.
$ \begin{align} & \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+…} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+…)+(2^{-4} – 2^{-4} + 4^{-4} – 4^{-4} + 6^{-4}-6^{-4} + …)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+…)+(2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4}+ …) – (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4} +…)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+5^{-4}+6^{-4}+ 7^{-4}+…)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ …)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ …)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…)- 2^{-4}(1^{-4} + 2^{-4} + 3^{-4} +4^{-4}+ …)} \\ & \text{pembilang dan penyebut dibagi dengan } \, (1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+…) \\ & = \frac{1}{1- 2^{-4}\times 1} \\ & = \frac{1}{1- \frac{1}{2^4}} = \frac{1}{1-\frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{15}{16}} = \frac{16}{15} \end{align} $

Soal no. 5

Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} – a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} – a^\frac{2}{3}b} \end{align}$
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Untuk menuntaskan soal ini, kita memakai sifat pemfaktoran :
$ p^2 – q^2 = (p+q)(p-q) $
Artinya jikalau pangkatnya satu, maka menjadi :
$ p – q = (p^\frac{1}{2} + q^\frac{1}{2} )(p^\frac{1}{2} – q^\frac{1}{2} ) $
Sesampai lalu bentuk : $ a – b = (a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} – b^\frac{1}{2} ) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} & \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} – a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} – a^\frac{2}{3}b} \\ & = \frac{(a\times a^\frac{2}{3}b^\frac{1}{2} – a^\frac{2}{3}(b\times b^\frac{1}{2})}{(a^\frac{1}{2} \times a^\frac{2}{3})b^\frac{1}{2} – a^\frac{2}{3}(b^\frac{1}{2} \times b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2} (a-b)}{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2}(a^\frac{1}{2} – b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a-b)}{(a^\frac{1}{2} – b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} – b^\frac{1}{2} )}{(a^\frac{1}{2} – b^\frac{1}{2})} \\ & = a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, bentuk simpelnya merupakan $ a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} . \heartsuit $

Soal no. 6

Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan berikut

Soal no. 7

Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \end{align}$
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menuntaskan soal ini, kita memakai sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m . a^n = a^{m+n} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \\ & = \frac{(2^{2n+4})-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n} \times 2^2 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 2^4)-4 \times 2^{2n}}{2^{n+n} \times 4 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 16)-4 \times 2^{2n}}{2^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{\not{2}^{2n} (16-4)}{\not{2}^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{(16-4)}{ 4 } = \frac{12}{4} = 3 \end{align} $
Jadi, hasilnya merupakan 3. $ \heartsuit $

Soal no. 8

      Misalkan kau diminta menghitung $ 7^{64}. \, $ Berapa kaya persobat semua yang kau lakukan untuk mendapat nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang diantara sobat semua merupakan yang sanggup mencari hasilnya dengan melaksanakan persobat semua sesedikit cukup. Coba tulisnkan mekanisme mengalikan yang paling sedikit persobat semuanya untuk menghitung $ 7^{64}. \, $ Apakah mekanisme tersebut sanggup dipergunakan untuk pangkat kasatmata berapapun?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Bentuk $ 7^{64} \, $ dengan $ n = 64 $
Untuk memilih kayanya cara persobat semua minimum (sesedikit cukup), pangkatnya kita jabarkan.
$ n = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 6 $
$ 7^{64} = (((((7^2)^2)^2)^2)^2)^2 $
Banyaknya cara persobat semua sesedikit cukup :
ada $(2+2+2+2+2+2)-6 = 6 \, $ persobat semua.
$\spadesuit \, $ Prosedurnya :
Hasilnya kita misalkan dalam bentuk aljabar alasannya ialah sangat besar.
$7^2 = 7 \times 7 = a \, $ ada 1 persobat semua
$ [7^2]^2 = a \times a = b \, $ ada 1 persobat semua
$ [(7^2)^2]^2 = b \times b = c \, $ ada 1 persobat semua
$ [((7^2)^2)^2]^2 = c \times c = d \, $ ada 1 persobat semua
$ [(((7^2)^2)^2)^2]^2 = d \times d = e \, $ ada 1 persobat semua
$ [((((7^2)^2)^2)^2)^2]^2 = e \times e = f \, $ ada 1 persobat semua
Artinya kaya persobat semua sekaya $ 1 + 1+1+1+1+1 = 6 \, $ kali untuk memperoleh hasilnya (hasil risikonya merupakan $ f \, $) .
Jadi, bentuk $ 7^{64}, \, $ kayanya persobat semua (sesedikit cukup) ada 6 persobat semua.
Prosedur ini berlaku untuk pangkat lingkaran kasatmata berapapun.
Baca Juga:   Grafik Fungsi Eksponen Dan Logaritma

Untuk penterangan kompleks ihwal melaksanakan persobat semua sesedikit cukup, eksklusif saja klik “Cara Melakukan Banyak Persobat semua Sesedikit Mungkin” .

Soal no. 9

Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ tanpa menghitung tuntas!
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Perhatikan sifat perpangkatan angka 7 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^1 & 7 \\ 7^2 & 9 \\ 7^3 & 3 \\ 7^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^5 & 7 \\ 7^6 & 9 \\ 7^7 & 3 \\ 7^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 7 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada ketika periode keempat.
Misalkan, satuan dari $ 7^{21} = ….?$
$ 7^{21} = 7^{4\times 5 + 1} = 7^{4 \times 5} \times 7^1 = (7^4)^5 \times 7^1 $
Satuan $ 7^{21} = (\text{satuan } 7^4)^5 \times \text{satuan } 7^1 = (1)^5 \times 7 = 7 $
artinya satuan $ 7^{21} \, $ merupakan 7.
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
Satuan dari : $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} $
*). $ 7^{1234} = 7^{4\times 308 + 2 } = 7^{4 \times 308} \times 7^2 = (7^4)^{308} \times 7^2 $
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{308} \times \text{satuan } 7^2 = (1)^{308} \times 9 = 9 $
*). $ 7^{2341} = 7^{4\times 585 + 1 } = 7^{4 \times 585} \times 7^1 = (7^4)^{585} \times 7^1 $
Satuan $ 7^{2341} = (\text{satuan } 7^4)^{585} \times \text{satuan } 7^1 = (1)^{585} \times 7 = 7 $
*). $ 7^{3412} = 7^{4\times 853} = 7^{4 \times 853} = (7^4)^{853}$
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{853} = (1)^{853} = 1 $
*). $ 7^{4123} = 7^{4\times 1030 + 3 } = 7^{4 \times 1030} \times 7^3 = (7^4)^{1030} \times 7^3 $
Satuan $ 7^{4123} = (\text{satuan } 7^4)^{1030} \times \text{satuan } 7^3 = (1)^{1030} \times 3 = 3 $
Sesampai lalu diperoleh :
$\begin{align} & \text{satuan } 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \\ & = \text{satuan } 7^{1234} + \text{satuan } 7^{2341} + \text{satuan } 7^{3412} + \text{satuan } 7^{4123} \\ & = \text{satuan } (9 + 7 + 1 + 3) \\ & = \text{satuan } (20) \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ merupakan 0. $ \heartsuit$

Soal no. 10

Tentukan angka satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 6 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 6^1 & 6 \\ 6^2 & 6 \\ 6^3 & 6 \\ 6^4 & 6 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 6 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 6.
Sesampai lalu diperoleh :
Satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ merupakan 6.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 2 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^1 & 2 \\ 2^2 & 4 \\ 2^3 & 8 \\ 2^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^5 & 2 \\ 2^6 & 4 \\ 2^7 & 8 \\ 2^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 2 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada ketika periode keempat.
Sesampai lalu diperoleh :
$ \left((2)^{26} \right)^{62} = 2^{26 \times 62} = 2^{1612} = 2^{4\times 403} = (2^4)^{403} $
Satuan $ \left((2)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 2^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 \, $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 3 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^1 & 3 \\ 3^2 & 9 \\ 3^3 & 7 \\ 3^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^5 & 3 \\ 3^6 & 9 \\ 3^7 & 7 \\ 3^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 3 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada ketika periode keempat.
Sesampai lalu diperoleh :
$ \left((3)^{26} \right)^{62} = 3^{26 \times 62} = 3^{1612} = 3^{4\times 403} = (3^4)^{403} $
Satuan $ \left((3)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 3^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 4 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^1 & 4 \\ 4^2 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^3 & 4 \\ 4^4 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 4 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada ketika periode kedua.
Sesampai lalu diperoleh :
$ \left((4)^{26} \right)^{62} = 4^{26 \times 62} = 4^{1612} = 4^{4\times 403} = (4^4)^{403} $
Satuan $ \left((4)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 4^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 5 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 5^1 & 5 \\ 5^2 & 5 \\ 5^3 & 5 \\ 5^4 & 5 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 5 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 5.
Sesampai lalu diperoleh :
Satuan dari $ \left((5)^{26} \right)^{62} \, $ merupakan 5.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 8 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^1 & 8 \\ 8^2 & 4 \\ 8^3 & 2 \\ 8^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^5 & 8 \\ 8^6 & 4 \\ 8^7 & 2 \\ 8^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 8 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada ketika periode keempat.
Sesampai lalu diperoleh :
$ \left((8)^{26} \right)^{62} = 8^{26 \times 62} = 8^{1612} = 8^{4\times 403} = (8^4)^{403} $
Satuan $ \left((8)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 8^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 9 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^1 & 9 \\ 9^2 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^3 & 9 \\ 9^4 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 9 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada ketika periode kedua.
Sesampai lalu diperoleh :
$ \left((9)^{26} \right)^{62} = 9^{26 \times 62} = 9^{1612} = 9^{4\times 403} = (9^4)^{403} $
Satuan $ \left((9)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 9^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $

Soal no. 11

Tunjukkan bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + … + 2001^{2001} \, $ merupakan kelipatan 13.
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menunjukkan kelipatan 13, maka harus terbentuk
$ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + … + 2001^{2001} = 13\times k \, $ ….pers(i)
dengan $ k \, $ merupakan bilangan lingkaran positif.
$\clubsuit \,$ Pemfaktoran yang dipakai :
$ a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} – a^{n-2}b+a^{n-3}b^2 – … – b^{n-1}) $
dengan $ n \, $ merupakan bilangan ganjil.
Bilangan 2002 dan 1001 merupakan kelipatan 13 :
$ 2002 = 13 \times 154 = 13 \times p \, $ dan $ 1001 = 13 \times 77 = 13 \times q $
$\clubsuit \,$ Memodifikasi soal menjadi kelipatan 13
$ \begin{align} & 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + … + 2001^{2001} \\ & = (1^{2001}+2001^{2001}) + (2^{2001}+2000^{2001}) + …\\ & +(1000^{2001} + 1002^{2001}) + 1001^{2001} \\ & = (1+2001)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + …-2001^{2000})+ \\ & + (2+2000)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + …-2000^{2000})+… +1001^{2001} \\ & = (2002)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + …-2001^{2000})+ \\ & + (2002)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + …-2000^{2000})+…+1001^{2001} \\ & = (2002)(k_1)+ (2002)(k_2)+…+(13 \times q)^{2001} \\ & = (13\times p)(k_1)+ (13\times p)(k_2)+…+(13)(13^{2000}) \times (q)^{2001} \\ & = (13)(pk_1)+ (13)(pk_2)+…+(13 )(n) \\ & = 13 (pk_1 + pk_2 + …+n) \\ & = 13 \times k \end{align} $
Berdasarkan pers(i), terbukti bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + … + 2001^{2001} \, $ merupakan kelipatan 13.
Disini, kita memisalkan semua aljabar yang ada menyerupai $ p,q, k_1,k_2,…,n,k \, $ merupakan suatu bilangan lingkaran kasatmata tertentu.
Jadi, terbukti yang diinginkan. $ \heartsuit $

Soal no. 12

Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \begin{align} \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \end{align} $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen
$ (ab)^n = a^n \times b^n ; \, \, \, $ dan $ a^{m+n} = a^m \times a^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$ \begin{align} & \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}((5\times 2)^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}((3\times 2)^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}(5^{2013}\times 2^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(3^{2010} \times 2^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008} \times 5^{2012} \times 2^{2011}(5^{1}\times 2^{2} + 1 )}{5^{2012} \times 3^{2009} \times 2^{2008}(3^{1} \times 2^{2} + 1) } \\ & = \frac{2^{3}(5\times 4 + 1 )}{ 3^{1} (3 \times 4 + 1) } \\ & = \frac{8\times (21 )}{ 3 \times (13) } \\ & = \frac{8\times (7 )}{ 13 } = \frac{56}{13} \end{align} $
Jadi, nilainya merupakan $ \frac{56}{13} . \heartsuit $