Pembahasan Soal Eksponen Uk 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013+ Kelas X

Posted on

         Pondok Soal.com – Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.2 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu perihal sifat-sifat eksponen dan sifat bentuk akar. Setelah itu gres kita akan sanggup dengan lebih gampang dalam mengerjakannya.

         Pembahasan Soal Eksponen UK 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013 Kelas X ini khusus membahas soal-soal yang berkaitan eksklusif dengan bentuk akar yang merupakan bab dari materi eksponen (perpangkatan). Pada materi bentuk akar, hal fundamental yang harus kita kuasai merupakan sifat-sifat dan operasinya. Selain itu juga ada yang namanya “bentuk akar dalam akar” yang tentu akan sangat seru dari segi teori dan juga aplikasinya. Pembahasan UK 1.2 ini kita saapabilan untuk memudahkan dan menjadi materi alternatif untuk penyelesaian soal-soalnya yang terdapat pada buku matematika wajib kelas X kurikulum 2013.

         Soal-soal Eksponen UK 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013 Kelas X yang ada pada buku K13 berdasarkan kami tipenya sangat menantang dan bahkan ada yang selevel soal olimpiade. Tentu kaya siswa akan kesulitan untuk menjawab soal-soal tersebut, apalagi soal-soal tantangannya. Semoga dengan adanya pembahasan ini, akan sanggup membantu kita semua dalam mengerjakan soal-soalnya, dan sanggup menjadi koreksi kita bersama apabila ada kesalahan dalam pembahasannya.

         Berikut soal dan pembahasan soal eksponen UK 1.2 kurikulum 2013 kelas X.

Soal no. 1

Jika $ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = a+b\sqrt{6}, \, $ tentukan nilai $ a + b \, $ !
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Kita akan memodifikasi ruas kiri (RKi) menjadi bentuk ruas kanan (RKa) dengan merasionalkan penyebut RKi.
$ \begin{align} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}& = a+b\sqrt{6} \\ \frac{2 + 3 – 2\sqrt{6}}{2-3} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{5 – 2\sqrt{6}}{-1} & = a+b\sqrt{6} \\ -5 + 2\sqrt{6} & = a+b\sqrt{6} \end{align} $
artinya nilai $ a = -5 \, $ dan $ b = 2 $
Sesampai kemudian nilai $ a + b = -5 + 2 = -3 $
Jadi, nilai $ a+b = -3 . \heartsuit $

Soal no. 2

Sederhanakanlah bentuk akar berikut!
$\clubsuit \,$ Untuk menuntaskan soalnya, kita memakai bentuk akar dalam akar berikut :
$\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} \, $ atau
$\sqrt{(a+b) – 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}-\sqrt{b} $
serta $ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2\times b} $
a). $ \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} $
$ \begin{align} \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} & = \sqrt{19 + 2 \times 4\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{19 + 2 \times \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{(16+3) + 2 \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{16} + \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3} \end{align} $
b). $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $
$ \begin{align} \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} & = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} + \sqrt{2} \end{align} $
c). $ \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} $
$ \begin{align} \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} & = \sqrt{43 + 2 \times 6\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{43 + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{(36+7) + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{36} + \sqrt{7} = 6 + \sqrt{7} \end{align} $
d). $ \sqrt{21 – 4\sqrt{5}} $
$ \begin{align} \sqrt{21 – 4\sqrt{5}} & = \sqrt{21 – 2 \times 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{21 – 2 \sqrt{4\times 5}} \\ & = \sqrt{21 – 2 \sqrt{20}} \\ & = \sqrt{(20 + 1) – 2 \sqrt{20 \times 1}} \\ & = \sqrt{20} – \sqrt{1} = \sqrt{20} – 1 = 2\sqrt{5} – 1 \end{align} $
e). $ \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 – 6\sqrt{2}} $
$ \begin{align} & \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 – 6\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \times 4\sqrt{2}} + \sqrt{11 – 2 \times 3\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{11 – 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = \sqrt{(16+2) + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{(9+2) – 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = (4 + \sqrt{2}) + (3 – \sqrt{2}) \\ & = (\sqrt{16} + \sqrt{2}) + (\sqrt{9} – \sqrt{2}) \\ & = 4 + 3 = 7 \end{align} $
f). $ \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} $
$ \begin{align} \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\times 3\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 2\times 6\sqrt{3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{21 + 2\sqrt{36\times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{6 \times 6 \times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{12 \times 9}}} \\ & = \frac{3-(\sqrt{9}+\sqrt{5})}{\sqrt{12} + \sqrt{9}} \\ & = \frac{3-(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \times \frac{2\sqrt{3} – 3}{2\sqrt{3} – 3} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{12 – 9} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{3} \end{align} $

Soal Tantangan
Soal no. 1

Tentukan nilai dari :
Penyelesaian : Sifat : $ \sqrt[n]{a} = b \rightarrow a = b^n $
$\spadesuit \, $ Untuk menuntaskan soal tantangan nomor 1 ini, kita memakai permisalan.
a). $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{…}}}}}}} $
misalkan $ x = \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{…}}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 \underbrace{\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{…}}}}}}_{\text{sama dengan } x} }} \\ x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 x }} \\ x^3 & = 2\sqrt{3 x } \\ (x^3)^2 & = (2\sqrt{3 x }^2 \\ x^6 & = 4\times 3 x \\ x^6 – 12x & = 0 \\ x(x^5 – 12 ) & = 0 \\ x = 0 \vee x^5 & = 12 \rightarrow x = \sqrt[5]{12} \end{align} $
Karena nilai $ x \, $ tak cukup sama dengan nol, sesampai kemudian yang memenuhi merupakan $ x = \sqrt[5]{12} $
Jadi, nilai $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{…}}}}}}} = \sqrt[5]{12} . \heartsuit $

Baca Juga:   Grafik Fungsi Eksponen Dan Logaritma

b). $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{…}}}}}} $
misalkan $ y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{…}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} y & = \sqrt{2 + \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{…}}}}}}_{\text{sama dengan } y} } \\ y & = \sqrt{2 + y } \\ y^2 & = 2 + y \\ y^2 – y – 2 & = 0 \\ (y+1)(y-2) & = 0 \\ y = -1 \vee y = 2 \end{align} $
Karena nilai $ y \, $ faktual (hasil akar genap selalu positif), sesampai kemudian yang memenuhi merupakan $ y = 2 $
Jadi, nilai $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{…}}}}}} = 2 . \heartsuit $

c). $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{…}}}}}} $
Kita hitung dahulu bentuk akarnya : $ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{…}}}}} $
$\clubsuit \,$ Rumus Cardano (Cardano’s Formula) :
Penyelesaian dari persamaan $ x^3 + px + q = 0 \, $ merupakan
$\begin{align} x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} – \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \end{align} $
misalkan $ z = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{…}}}}} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ z $
$\begin{align} z & = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{…}}}}} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{ \underbrace{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{…}}}}_{\text{sama dengan } z} }} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{z}} \\ z^2 & = 1 + \frac{1}{z} \\ z^3 & = z + 1 \\ z^3 & – z – 1 = 0 \\ p & =-1 , \, q = -1 \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} – \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2}+ \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2} – \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} – \sqrt{\frac{23}{108}}} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan akibatnya
gunakan : $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 – xy + y^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p})^2 – (\sqrt[3]{p})(\sqrt[3]{q}) + (\sqrt[3]{q})^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p^2}) + (\sqrt[3]{q^2}) ) – (\sqrt[3]{pq}) $
Substitusi nilai $ z \, $ ke soalnya dan rasionalkan.
$\begin{align} & 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{…}}}}}} \\ & = 1 + \frac{1}{z} \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} – \sqrt{\frac{23}{108}}}} \\ & \text{Misalkan : } p = \frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} } , \, q = \frac{1}{2} – \sqrt{\frac{23}{108} } \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} – \sqrt{\frac{23}{108}}}} \times \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} – \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} – \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} – \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }})^3 + (\sqrt[3]{\frac{1}{2} – \sqrt{\frac{23}{108}}})^3} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} – \frac{\sqrt{69}}{18}} – \frac{1}{3}}{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }) + (\frac{1}{2} – \sqrt{\frac{23}{108}})} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} – \frac{\sqrt{69}}{18}} – \frac{1}{3}}{1} \\ & = 1 + \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} – \frac{\sqrt{69}}{18}} – \frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} – \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{…}}}}}} = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} – \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} . \heartsuit $

Baca Juga:   Pembahasan Soal Eksponen Uk 1.1 (Sifat Eksponen) Kurikulum 2013+ Kelas X

Soal no. 2

Jika $a , \, b \, $ bilangan orisinil dengan $ a \leq b \, $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} \, $ merupakan bilangan rasional, tentukan pasangan $(a,b)$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Agar $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} \, $ bilangan rasional, maka pembilang atau penyebutnya harus merupakan kelipatan dari salah satunya. Karena $ a \leq b \, $ , maka $ \sqrt{4} +\sqrt{b} \, $ merupakan kelipatan dari $ \sqrt{3} + \sqrt{a}. \, $ Misalkan $ m \, $ bilangan asli, sanggup dituliskan hubungannya :
$ \begin{align} \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} & = \frac{1}{m} \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m(\sqrt{3}+\sqrt{a}) \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m\sqrt{3}+m\sqrt{a} \end{align}$
Karena $ \sqrt{4} = 2 \, $ bilangan rasional, dan $ \sqrt{3} \, $ niscaya bilangan irrasional, maka pasangan yang cukup merupakan :
$\sqrt{b} = m\sqrt{3} \, $ dan $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} $
$\clubsuit \,$ Dari $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} \rightarrow 4 = m^2 . a \rightarrow a = \frac{4}{m^2} $
dan $ a \, $ bilangan asli, maka yang memenuhi merupakan $ m = 1 \, $ atau $ m = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dari nilai $ m $
*). Untuk $ m = 1 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{1^2} = 4 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 1.\sqrt{3} \rightarrow b = 3 $
Tidak memenuhi alasannya yaitu nilai $ a = 4 \geq b = 3 $
*). Untuk $ m = 2 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{2^2} = 1 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 2.\sqrt{3} \rightarrow b = 12 $
memenuhi alasannya yaitu nilai $ a = 1 \leq b = 12 $
Jadi, pasangan $(a,b)\, $ yang memenuhi merupakan $ (a,b)=(1,12). \heartsuit$

Soal no. 3

Nyatakan $ b \, $ dalam $ a \, $ dan $ c \, $ dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b\sqrt{c}}}{\sqrt{c\sqrt[3]{a}}} = abc $ !
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \, $ dan $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ serta $ (ab)^n = a^n.b^n $
$\spadesuit \, $ Pangkatkan 6 kedua ruas :
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{b\sqrt{c}}}{\sqrt{c\sqrt[3]{a}}} & = abc \\ \sqrt[3]{b\sqrt{c}} & = abc . \sqrt{c\sqrt[3]{a}} \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} & = abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \, \, \, \, \text{ (pangkatkan 6)} \\ \left[ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} \right]^6 & = \left[abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \right]^6 \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{6}{3} & = (abc)^6 . (ca^\frac{1}{3})^\frac{6}{2} \\ (bc^\frac{1}{2})^2 & = a^6b^6c^6 . (ca^\frac{1}{3})^3 \\ b^2 c & = a^6b^6c^6 . c^3 a \\ \frac{b^6}{b^2} & = \frac{c}{a^6c^6c^3a} \\ b^{6-2} & = \frac{1}{a^{6+1}.c^{6+3-1}} \\ b^4 & = \frac{1}{a^7.c^8} \\ b & = \left( \frac{1}{a^7.c^8} \right)^\frac{1}{4} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^\frac{8}{4}} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ b = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} . \heartsuit$

Soal no. 4

Sederhanakanlah bentuk $ \sqrt[4]{49 – 20\sqrt{6}} $ !
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) – 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} – \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \sqrt[4]{49 – 20\sqrt{6}} & = \sqrt[2]{\sqrt[2]{49 – 2 \times 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49 – 2\sqrt{100\times 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24) – 2\sqrt{25.24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25} – \sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5 – 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) – 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} – \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sqrt[4]{49 – 20\sqrt{6}} = \sqrt{3} – \sqrt{2} . \heartsuit$

Soal no. 5

Tentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dari
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + … + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} = \sqrt{a} – \sqrt{b} $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Kita akan menyederhanakan RKi(Ruas Kiri) menjadi bentuk RKa(Ruas Kanan) dengan merasionalkan penyebutnya :
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{2} – \sqrt{3}}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} – \sqrt{3}}{2-3} = – \sqrt{2} + \sqrt{3} $
$ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} . \frac{\sqrt{3} – \sqrt{4}}{\sqrt{3} – \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3} – \sqrt{4}}{3-4} = – \sqrt{3} + \sqrt{4} $
dan seterusnya hingga merasionalkan bentuk $ \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} $
Sesampai kemudian diperoleh :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + … + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} & = \sqrt{a} – \sqrt{b} \\ (- \sqrt{2} + \sqrt{3}) + (- \sqrt{3} + \sqrt{4}) + (- \sqrt{4} + \sqrt{5}) + …+ (- \sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001})& = \sqrt{a} – \sqrt{b} \\ – \sqrt{2} + \sqrt{1.000.001} & = \sqrt{a} – \sqrt{b} \\ \sqrt{1.000.001} – \sqrt{2} & = \sqrt{a} – \sqrt{b} \end{align}$
Diperoleh nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 $
Jadi, nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 . \heartsuit $

Soal no. 6

Hitunglah : $ \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 – 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 – 10\sqrt{7}} $
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} & \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 – 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 – 10\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{54 + 2 \times 7\sqrt{5}} + \sqrt{12 – 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 – 2\times 5\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{(49+5) + 2 \sqrt{49\times 5}} + \sqrt{(7+5) – 2\sqrt{7\times 5}} + \sqrt{32 – 2\sqrt{25\times 7}} \\ & = (\sqrt{49} + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} – \sqrt{5}) + (\sqrt{25} – \sqrt{7}) \\ & = (7 + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} – \sqrt{5}) + (5 – \sqrt{7}) \\ & = 7 + 5 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 – 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 – 10\sqrt{7}} = 12 . \heartsuit$

Soal no. 7

Jika $ (3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) = (4^x – 3^y ), \, $ tentukan nilai $ x – y . $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan sifat : $ (p-q)(p+q) = p^2 – q^2 $
Misalkan : $ (4-3)(4+3) = 4^2 – 3^2 \, $ dan $ (4^2 – 3^2 ) (4^2 + 3^2 ) = 4^4 – 3^4 $
$\spadesuit \, $ Untuk menuntaskan soal, kita kalikan (4-3) pada ruas kiri, ini tak mengubah nilai alasannya yaitu hasil dari 4 – 3 = 1, dan kalikan dari bab yang paling kiri.
$ \begin{align} (3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ (4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ (4-3)(4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ [4^2-3^2](4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ [4^4-3^4](4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ [4^8-3^8](4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ [4^{16}-3^{16}](4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ [4^{32}-3^{32}](4^{32}+3^{32}) & = (4^x – 3^y ) \\ (4^{64}-3^{64}) & = (4^x – 3^y ) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 64 \, $ dan $ y = 64 $
sesampai kemudian nilai $ x – y = 64 – 64 = 0 $
Jadi, nilai $ x – y = 0 . \heartsuit$