Pembahasan Soal Ujian Nasional Persamaan Kuadrat

Posted on
  1. (UN 07) Persamaan kuadrat x2 − 5x + 6 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 − 3 dan x2 − 3 merupakan …..
    A. x2 − 2 = 0
    B. x2 − 2x + 30 = 0
    C. x2 + x = 0
    D. x2 + x − 30 = 0
    E. x2 + x + 30 = 0

    Pembahasan :
    Pertama-tama tinjau persamaan kuadrat yang diketahui pada soal.
    ⇒ x2 − 5x + 6 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -5, dan c = 6

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 =-b
    a
    ⇒ x1 + x2 =-(-5)
    1

    ⇒ x1 + x2 = 5

    Hail kali akar :

    ⇒ x1.x2 =c
    a
    ⇒ x1.x2 =6
    1

    ⇒ x1.x2 = 6

    Selanjutnya, berdaarkan nilai yang kite peroleh di atas, kita tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.

    Jumlah akar :
    ⇒ (x1 − 3) + (x2 − 3) = x1 + x2 − 6
    ⇒ (x1 − 3) + (x2 − 3) = 5 − 6
    ⇒ (x1 − 3) + (x2 − 3) = -1

    Hasil kali :
    ⇒ (x1 − 3).(x2 − 3) = x1.x2 − 3(x1 + x2) + 9
    ⇒ (x1 − 3).(x2 − 3) = 6 − 3(5) + 9
    ⇒ (x1 − 3).(x2 − 3) = 0

    Dengan demikian, persamaan kuadrat barunya merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (-1)x + (0) = 0
    ⇒ x2 + x = 0 

    Cara Mudah :
    Jika akar-akarnya (x1 − n) dan (x2 − n), maka persamaan kuadrat gres sanggup ditentukan dengan rumus simpel berikut ini :
    ⇒ a (x + n)2 + b(x + n) + c = 0

    Sekarang tinjau kembali persamaan kuadrat yang diketahui.
    ⇒ x2 − 5x + 6 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -5, dan c = 6
    Dari x1 − 3 dan x2 − 3 diketahui n = 3.

    Maka persamaan kuadrat yang gres merupakan :
    ⇒ a (x + n)2 + b(x + n) + c = 0
    ⇒ 1(x + 3)2 + (-5)(x + 3) + 6 = 0
    ⇒ x2 + 6x + 9 − 5x − 15 + 6 = 0
    ⇒ x2 + x = 0

    Jawaban : C

  2. (UN 09) Akar-akar persamaan 2x2 − 6x + 2m − 1 = 0 merupakan α dan β. Jika α = 2β, maka nilai m merupakan ….
    A. 3D.  23
    B.  52E. ½
    C.  32

    Pembahasan :
    ⇒ 2x2 − 6x + 2m − 1 = 0
    Dietahui : a = 2, b = -6, c = 2m – 1, dan α = 2β.

    Jumlah akar :

    ⇒ α + β =-b
    a
    ⇒ α + β =-(-6)
    2

    ⇒ α + β = 3
    ⇒ 2β + β = 3
    ⇒ 3β = 3
    ⇒ β = 1 
     
    Hail kali akar :

    ⇒ α.β =c
    a
    ⇒ 2β.β =2m − 1
    2

    ⇒ 4β2 = 2m − 1
    ⇒ 4(1)2 = 2m − 1
    ⇒ 2m − 1  = 4
    ⇒ 2m = 5
    ⇒ m = 52

    Jawaban : B

  3. (UN 09) Jika p dan q akar-akar persamaan x2 − 5x − 1 = 0, maka persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 merupakan ….
    A. x2 + 10x + 11 = 0D. x2 − 12x + 7 = 0
    B. x2 − 10x + 7 = 0E. x2 − 10x − 11 = 0
    C. x2 − 10x + 11 = 0

    Pembahasan :
    ⇒ x2 − 5x − 1 = 0
    Diketahui : a = 1, b = -5, dan c = -1

    Jumlah akar :

    ⇒ p + q =-b
    a
    ⇒ p + q =-(-5)
    1

    ⇒ p + q = 5

    Hail kali akar :

    ⇒ p.q =c
    a
    ⇒ p.q =-1
    1

    ⇒ p.q = -1

    Selanjutnya, berdaarkan nilai yang kite peroleh di atas, kita tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.

    Jumlah akar :
    ⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 2p + 2q + 2
    ⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 2(p + q) + 2
    ⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 2(5) + 2
    ⇒ (2p + 1) + (2q + 1) = 12

    Hasil kali akar :
    ⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1
    ⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 4pq + 2(p + q) + 1
    ⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 4(-1) + 2(5) + 1
    ⇒ (2p + 1).(2q + 1) = 7

    Jadi, persamaan kuadrat gres merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (12)x + (7) = 0
    ⇒ x2 − 12x + 7 = 0

    Jawaban : D

  4. (UN 10) Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 merupakan α dan β. Jika α = β dan α,β positif, maka nilai m merupakan ….
    A. -12D. 8
    B. -6E. 12
    C. 6

    Pembahasan :
    ⇒ 2x2 + mx + 16 = 0
    Dietahui : a = 2, b = m, c = 16, dan α = 2b.

    Jumlah akar :

    ⇒ α + β =-b
    a
    ⇒ 2β + β =-(m)
    2

    ⇒ 3β = -m2
    ⇒ β = -m6
     
    Hail kali akar :

    ⇒ α.β =c
    a
    ⇒ 2β.β =16
    2

    ⇒ β2 = 4
    ⇒ β = 2

    Substitusi nilai β ke persamaan sebelumnya :
    ⇒ β = -m6

    ⇒ 2 = -m6
    ⇒ m = -12

    Jawaban : A

  5. (UN 11) Akar-akar persamaan 3x2 − 12x + 2 = 0 merupakan x1 dan x2. Persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya x1 + 2 dan x2 + 2 merupakan …..
    A. 3x2 − 24x + 38 = 0D. 3x2 − 24x + 24 = 0
    B. 3x2 + 24x + 38 = 0E. 3x2 − 24x − 24 = 0
    C. 3x2 − 24x − 38 = 0

    Pembahasan :
    Pertama-tama tinjau persamaan kuadrat yang diketahui pada soal.
    ⇒ 3x2 − 12x + 2 = 0
    Diketahui : a = 3, b = -12, dan c = 2

    Jumlah akar :

    ⇒ x1 + x2 =-b
    a
    ⇒ x1 + x2 =-(-12)
    3

    ⇒ x1 + x2 = 4

    Hail kali akar :

    ⇒ x1.x2 =c
    a
    ⇒ x1.x2 =2
    3

    Selanjutnya, berdaarkan nilai yang kite peroleh di atas, kita tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.

    Jumlah akar :
    ⇒ (x1 + 2) + (x2 + 2) = x1 + x2 + 4
    ⇒ (x1 + 2) + (x2 + 2) = 4 + 4
    ⇒ (x1 + 2) + (x2 + 2) = 8

    Hasil kali :
    ⇒ (x1 + 2).(x2 + 2) = x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
    ⇒ (x1 + 2).(x2 + 2) = ⅔ + 2(4) + 4
    ⇒ (x1 + 2).(x2 + 2) = 383

    Dengan demikian, persamaan kuadrat barunya merupakan :
    ⇒ x2 − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
    ⇒ x2 − (8)x + (383) = 0
    ⇒ 3x2 − 24x + 38 = 0

    Cara Mudah :
    Jika akar-akarnya (x1 + n) dan (x2 + n), maka persamaan kuadrat gres sanggup ditentukan dengan rumus simpel berikut ini :
    ⇒ a (x − n)2 + b(x − n) + c = 0

    Sekarang tinjau kembali persamaan kuadrat yang diketahui.
    ⇒ 3x2 − 12x + 2 = 0
    Diketahui : a = 31, b = -12, dan c = 2
    Dari x1 + 2 dan x2 + 2 diketahui n = 2.

    Maka persamaan kuadrat yang gres merupakan :
    ⇒ a (x − n)2 + b(x − n) + c = 0
    ⇒ 3 (x − 2)2 + (-12)(x − 2) + 2 = 0
    ⇒ 3(x2 − 4x + 4) − 12x + 24 + 2 = 0
    ⇒ 3x2 − 12x + 12 − 12x + 24 + 2 = 0
    ⇒ 3x2 − 24x + 38 = 0

    Jawaban : A

Baca Juga:   Pembahasan Soal Ujian Nasional Proyeksi Vektor