Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

Posted on

         Pondok Soal.com – Salah satu bahan yang kita pelajari dalam matematika keuangan merupakan bahan “angsuran”. Sebenarnya bahan angsuran ini sudah kita bahas dalam Pondok Soal.com ini, silahkan baca artikelnya di “Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan“. Rumus angsurannya juga sudah ada pada artikel tersebut yang dikompleksi dengan cara menemukan rumus angsurannya. Terus, apa yang ingin kita buktikan lagi pada artikel Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini? Dalam klasifikasi untuk menemukan rumus angsuran, terdapat bentuk $ b_n – b_{n+1} = a_n.i $ yang mana belum kita berikan penterangan mengapa kesannya menyerupai itu. Akhirnya teman-teman yang bahagia dengan proses inovasi rumus angsurannya niscaya membacanya secara detail dan hanya terkendala atau resah bentuk $ b_n – b_{n+1} = a_n.i $ dapatnya darimana!. Dan kami sebagai penulis juga gres sadar dengan hal itu, terimakasih bagi teman-teman yang ingin menanyakannya. Dalam Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, akan kami jabarkan cara menemukan bentuk $ b_n – b_{n+1} = a_n.i $ , dimana penjabarannya cukup panjang sesampai lalu kami buatkan dalam artikel khusus ini.

         Untuk memudahkan dalam memahami Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu bahan “anuitas dan angsuran“, dan “Sisa Pinjaman pada Anuitas “. Langsung saja kita bahas salah satu cara dalam pembuktian rumus angsuran berikut ini.

Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ sanggup dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

$\spadesuit \, $ Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran
       Jika suatu dukungan sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n – b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n – b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sesampai lalu dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ … & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran adalah :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Baca Juga:   Penyusutan Nilai Barang

Fokus kita kini merupakan bagaimana cara memperoleh bentuk $ b_n – b_{n+1} = a_n.i $
Berikut langkah-langkah dalam pembuktiannya :

Langkah (1). Membuktikan $ S_{n-1} – S_n = a_n $ :
       Sisa dukungan sesudah membayar angsuran sedikit kali sanggup kita hitung sebagai berikut. Misalkan kita meminjam uang sebesar M yang akan kita lunasi dengan sistem anuitas, maka sisa dukungan persekian kali mengangsur merupakan :
$ \begin{align} S_1 & = M – a_1 \\ S_2 & = M – (a_1 + a_2) \\ S_3 & = M – (a_1 + a_2+a_3) \\ .. & ……………. \\ S_{n-1} & = M – (a_1 + a_2+a_3 + … + a_{n-1}) \\ S_{n} & = M – (a_1 + a_2+a_3 + … + a_{n-1} + a_n) \end{align} $
Sesampai lalu :
$ \begin{align} & S_{n-1} – S_n \\ & = [M – (a_1 + a_2+a_3 + … + a_{n-1})] – [M – (a_1 + a_2+a_3 + … + a_{n-1} + a_n)] \\ & = [M – a_1 – a_2 -a_3 – … – a_{n-1}] – [M – a_1 – a_2-a_3 – … – a_{n-1} – a_n] \\ & = a_n \end{align} $
Keterangan : $ S_n = \, $ sisa dukungan sesudah $ n $ kali mengangsur (membayar).
jadi, terbukti $ S_{n-1} – S_n = a_n $

Langkah (2). Membuktikan $ b_n = i.S_{n-1} $
       Besarnya bunga $(b)$ yang kita bayarkan pada setiap periode bergantung dari sisa pinjaman. Misalkan dukungan sebesar M akan kita lunasi secara anuitas dengan persentase bunga $ i $, maka besar bunga per periode sanggup kita hitung menjadi :
$ \begin{align} b_1 & = i.M \\ b_2 & = i. S_1 \\ b_3 & = i. S_2 \\ b_4 & = i. S_3 \\ .. & …… \\ b_n & = i.S_{n-1} \\ b_{n+1} & = i.S_n \end{align} $
Kita peroleh : $ b_n = i.S_{n-1} $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $
Keterangan : $ b_n = \, $ bunga yang kita bayarkan dalam pembayaran angsuran yang ke-$n$

Baca Juga:   Anuitas Dan Angsuran Matematika Keuangan

Langkah (3). Membuktikan $ b_n – b_{n+1} = a_n.i $
       Dari langkah (1) dan (2) kita telah memperoleh :
$ S_{n-1} – S_n = a_n , \, b_n = i.S_{n-1} , \, $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $ ,
Sesampai lalu :
$ \begin{align} b_n – b_{n+1} & = i.S_{n-1} – i.S_n \\ & = i. (S_{n-1} – S_n ) \\ & = i.a_n = a_n.i \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ b_n – b_{n+1} = a_n.i $ untuk mekompleksi Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran pada bab yang paling atas di artikel ini.

         Demikian Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran . Semoga sanggup bermanfaat bagi kita semua. Terima kasih untuk kunjungannya ke Pondok Soal.com ini. Jika ada kritik dan saran atau cukup ada cara lain yang lebih praktis, mohon share di Pondok Soal.com ini dengan mengisi komentar di kolom komentar di setiap simpulan artikel atau eksklusif mengirim email ke email Pondok Soal.com. Terima kasih.