Pembuktian Dalil Menelaus Dan Ceva Dengan Vektor

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah membahas salah satu aplikasi vektor ialah “menentukan titik berat segitiga“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan aplikasi berikutnya ialah Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor. Sebenarnya dalil Menelaus dan Ceva sudah kita bahas pada artikel lainnya ialah “Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya” dan “Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya“. Pada artikel tersebut, ada tiga cara untuk pembuktian dalil Menelaus ialah memakai kesebangunan segitiga, luas segitiga, dan hukum sinus. Sementara pembuktian Dalil Ceva memakai dua cara ialah dengan konsep luas segitiga dan dengan menerapkan dalil Menelaus. Ternyata untuk membutikan kedua dalil ini, sanggup juga memakai konsep vektor yang akan kita jabarkan pada artikel Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor ini. Hal-hal yang harus kita kuasai terlebih dahulu semoga memudahkan dalam mempelajari Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor ialah “pengertian vektor“, “panjang vektor“, “kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris“, “penjumlahan dan pengurangan vektor“, “persobat semua vektor dengan skalar“, dan “perbandingan vektor“.

Konsep Dalil Menelaus pada Segitiga
       Diberikan sebuah segitiga ABC, titik D terletak pada garis AC dan titik E terletak pada garis BC. Kemudian titik D dan E dihubungkan membentuk garis DE. Garis AB dan DE diperpanjang sesampai lalu keduanya berpotongan di titik F menyerupai nampak pada gambar berikut.

Dalil Menelaus berbunyi :
Titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
apabila dan hanya apabila memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Dalil Menelaus dengan Vektor
*). Kita akan mengambarkan pernyataan dari kiri ke kanan saja ialah
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear), maka memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $.
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear), maka memenuhi $ \, \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} = 1 $.

*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

*). Kita tarik garis proteksi ialah garis AE.
*). Untuk memilih perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan memakai konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh perbandingan vektor :
Misalkan $ \vec{AC} = \vec{q} $ dan $ \vec{AF} = \vec{p} $.
-). Vektor $\vec{AD} $ segaris dengan $ \vec{AC} $ sesampai lalu berlaku kelipatan :
$ \vec{AD} = x\vec{AC} \rightarrow \frac{\vec{AD}}{\vec{AC}} = \frac{x}{1} $ sesampai lalu $ \frac{\vec{AD}}{\vec{DC}} = \frac{x}{1-x} $
-). Dengan cara yang serupa ialah memanfaatkan bentuk segaris (kolinear), kita peroleh perbandingan vektor lainnya :
$ \vec{AB} = y\vec{AF} \rightarrow \frac{\vec{AB}}{\vec{BF}} = \frac{y}{1-y} $
$ \vec{DE} = n\vec{DF} \rightarrow \frac{\vec{DE}}{\vec{EF}} = \frac{n}{1-n} $
$ \vec{BE} = m\vec{BC} \rightarrow \frac{\vec{BE}}{\vec{EC}} = \frac{m}{1-m} $

Baca Juga:   Pengertian Vektor Dan Penulisannya

*). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dengan konsep perbandingan vektor :
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n $
$ \vec{AE} = \frac{n\vec{AF} + (1-n)\vec{AD}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).x\vec{q}}{1} = n\vec{p} + (x – xn) \vec{q} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m $
$ \vec{AE} = \frac{m\vec{AC} + (1-m)\vec{AB}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).y\vec{p}}{1} = m\vec{q} + (y-ym)\vec{p} $.
-). Kedua bentuk vektor $ \vec{AE} $ di atas sama ialah :
$ \vec{AE} = n\vec{p} + (x – xn)\vec{q} \, $ …. (i)
$ \vec{AE} = (y – ym)\vec{p} + m\vec{q} \, $ …. (ii)
Sesampai lalu kita peroleh kesamaan :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = (y – ym) \rightarrow n + ym = y \, $ ….(a)
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = (x – xn) \rightarrow xn + m = x \, $ ….(b)

*). Menentukan $ n , m $ dalam bentuk $ x, y $ dengan menuntaskan pers(a) dan pers(b) :
-). Eliminasi $ m $
$ \begin{array}{c|c|cc} n + ym = y & \times 1 & n + ym = y & \\ xn + m = x & \times y & xyn + ym = xy & – \\ \hline & & n(1 – xy) = y(1 – x) & \\ & & n = \frac{y(1 – x)}{(1 – xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 – n = 1 – \frac{y(1 – x)}{(1 – xy)} = \frac{(1 – xy)}{(1 – xy)} – \frac{y(1 – x)}{(1 – xy)} = \frac{1 – y}{(1 – xy)} $
Sesampai lalu perbandingan :
$ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n = \frac{y(1 – x)}{(1 – xy)} : \frac{1 – y}{(1 – xy)} = y(1-x) : (1 – y) $

-). Eliminasi $ n $
$ \begin{array}{c|c|cc} xn + m = x & \times 1 & xn + m = x & \\ n + ym = y & \times x & xn + xym = xy & – \\ \hline & & m(1 – xy) = x(1 – y) & \\ & & m = \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 – m = 1 – \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} = \frac{1 – xy}{(1 – xy)} – \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} = \frac{1 – x}{(1 – xy)} $
Sesampai lalu perbandingan :
$ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m = \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} : \frac{1 – x}{(1 – xy)}= x(1-y) : (1 – x) $

*). Menentukan perbandingan dalil Menalaus :
-). Bentuk pertama :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} & = \frac{x(1-y)}{(1 – x)}\times \frac{1-x}{x}\times \frac{1}{1-y} = 1 \end{align} $
-). Bentuk Kedua :
$ \begin{align} \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} & = \frac{y(1-x)}{(1-y)}\times \frac{1-y}{y}\times \frac{1}{1-x} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $ dan $ \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} = 1 $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Dalil Ceva dengan Vektor
*). Kita akan mengambarkan pernyataan dari kiri ke kanan saja ialah
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

*). Kita ubah bentuk gambarnya menjadi di atas ini, hal ini kita lakukan lantaran pembuktiannya menyerupai dengan pembuktian dalil Menelaus di atasnya dan semoga kita tak kaya mengubah nama-nama vektornya, sesampai lalu yang akan kita buktikan merupakan
Jika Garis AG, CB, dan FD berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} = 1 $.
atau berlaku juga perbandingan dengan arah berlawanan,
Jika Garis AG, CB, dan FD berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} = 1 $.

*). Untuk memilih perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan memakai konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh perbandingan vektor :
Misalkan $ \vec{AC} = \vec{q} $ dan $ \vec{AF} = \vec{p} $.
-). Vektor $\vec{AD} $ segaris dengan $ \vec{AC} $ sesampai lalu berlaku kelipatan :
$ \vec{AD} = x\vec{AC} \rightarrow \frac{\vec{AD}}{\vec{AC}} = \frac{x}{1} $ sesampai lalu $ \frac{\vec{AD}}{\vec{DC}} = \frac{x}{1-x} $
-). Dengan cara yang serupa ialah memanfaatkan bentuk segaris (kolinear), kita peroleh perbandingan vektor lainnya :
$ \vec{AB} = y\vec{AF} \rightarrow \frac{\vec{AB}}{\vec{BF}} = \frac{y}{1-y} $
$ \vec{DE} = n\vec{DF} \rightarrow \frac{\vec{DE}}{\vec{EF}} = \frac{n}{1-n} $
$ \vec{BE} = m\vec{BC} \rightarrow \frac{\vec{BE}}{\vec{EC}} = \frac{m}{1-m} $
$ \vec{FG} = k\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FG}}{\vec{GC}} = \frac{k}{1-k} $
$ \vec{AE} = z\vec{AG} $

*). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dengan konsep perbandingan vektor :
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n $
$ \vec{AE} = \frac{n\vec{AF} + (1-n)\vec{AD}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).x\vec{q}}{1} = n\vec{p} + (x – xn) \vec{q} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m $
$ \vec{AE} = \frac{m\vec{AC} + (1-m)\vec{AB}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).y\vec{p}}{1} = m\vec{q} + (y-ym)\vec{p} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{FG}:\vec{GC} = k : 1-k $
$ \vec{AG} = \frac{k\vec{AC} + (1-k)\vec{AF}}{k + (1-k)} = \frac{k\vec{q} + (1-k)\vec{p}}{1} = k\vec{q} + (1-k)\vec{p} $.
$ \vec{AE} = z\vec{AG} = z (k\vec{q} + (1-k)\vec{p}) = kz\vec{q} + (1-k)z\vec{p} $.
-). Ketiga bentuk vektor $ \vec{AE} $ di atas sama ialah :
$ \vec{AE} = n\vec{p} + (x – xn)\vec{q} \, $ …. (i)
$ \vec{AE} = (y – ym)\vec{p} + m\vec{q} \, $ …. (ii)
$ \vec{AE} = (1-k)z\vec{p} + kz\vec{q} \, $ …. (iii)
-). Pers(i) dan pers(ii) , kita peroleh kesamaan :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = (y – ym) \rightarrow n + ym = y \, $ ….(a)
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = (x – xn) \rightarrow xn + m = x \, $ ….(b)

Baca Juga:   Sifat Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor

*). Menentukan $ m $ dalam bentuk $ x, y $ dengan menuntaskan pers(a) dan pers(b) dengan eliminasi :
$ \begin{array}{c|c|cc} xn + m = x & \times 1 & xn + m = x & \\ n + ym = y & \times x & xn + xym = xy & – \\ \hline & & m(1 – xy) = x(1 – y) & \\ & & m = \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 – m = 1 – \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} = \frac{1 – xy}{(1 – xy)} – \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} = \frac{1 – x}{(1 – xy)} $

*). Dari pers(ii) dan (iii) serta $ m = \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} $ dan $ 1 – m = \frac{1 – x}{(1 – xy)} $
-). Kita peroleh kesamaan :
$ kz = m \rightarrow z = \frac{m}{k} $
$ (y – ym) = (1-k)z \, $ …..(c)
-). Substitusi $ z = \frac{m}{k} ke bentuk (c) $
$ \begin{align} (y – ym) & = (1-k)z \\ (1 – m)y & = (1-k).\frac{m}{k} \\ (1 – m)yk & = (1-k)m \\ \frac{1 – x}{(1 – xy)} .yk & = (1-k) \frac{x(1 – y)}{(1 – xy)} \\ (1 – x) yk & = (1-k)x(1 – y) \\ \frac{k}{1-k} & = \frac{x(1 – y)}{(1 – x) y} \end{align} $

*). Menentukan perbandingan dalil Ceva :
-). Bentuk pertama :
$ \begin{align} \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} & = \frac{y}{1-y}.\frac{k}{1-k}.\frac{1-x}{x} \\ & = \frac{y}{1-y}.\frac{x(1 – y)}{(1 – x) y} .\frac{1-x}{x} \\ & = 1 \end{align} $
-). Bentuk Kedua :
$ \begin{align} \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} & = \frac{x}{1-x}.\frac{1-k}{k}.\frac{1-y}{y} \\ & = \frac{x}{1-x}.\frac{(1 – x) y}{x(1 – y)}.\frac{1-y}{y} \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} = 1 $ dan $ \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} = 1 $.

Untuk rujukan soal yang berkaitan dengan “dalil Menelaus” dan “dalil Ceva”, silahkan teman-teman baca pada artikel “Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya” dan “Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya“.

       Demikian pembahasan bahan Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA“.