Pembuktian Rumus Cepat Luas Kawasan Berkaitan Integral

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah mempelajari bahan Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral yang sanggup membantu kita dalam menuntaskan soal-soal yang berkaitan dengan luas tempat di bawah suatu kurva dengan cepat. Hanya saja cara cepat ini bersifat terbatas untuk jenis-jenis soal tertentu dan tak berlaku untuk semua tipe soal. Rumus Cepat yang dipakai ada tiga pada artikel tersebut yang semuanya akan kita buktikan.

         Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral secara langsung. Sebagai siswa/siswi yang terdapat kemampuan berpikir kritis, maka kita tak sanggup percaya begitu saja dengan rumus cepat tersebut, yang walaupun dikala kita menggunakannya dalam menuntaskan soal-soal yang sesuai terdapat hasil yang sama dengan memakai konsep dasarnya. Ada tiga rumus cepat yang akan kita buktikan sesuai yang ada pada bahan “Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral”.

         Untuk memudahkan dalam memahami bahan Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral, sebaiknya teman-teman pelajari dahulu bahan integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar , Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral , dan rumus operasi akar-akar pada persamaan kuadrat. Kedua bahan ini (integral dan operasi akar-akar) akan kita gunakan untuk mengambarkan rumus diskriminan dan rumus kedua. Sedangkan untuk pembuktian rumus ketiga akan pribadi berkaitan dengan integral dan fungsi kuadrat (grafiknya).

Pembuktian Rumus Cepat Pertama
Rumus Diskriminan
       Dari bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ sanggup dihitung dengan cara $ D = b^2 – 4ac $.
Luas Daerah Arsiran $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $

Pembuktian :
*). Sesuai syaratnya, rumus ini hanya berlaku untuk tempat yang hanya dibatasi oleh dua kurva saja yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis.
*). Pertama, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan parabola $ y = a_2x^2 + b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk memilih titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = a_2x^2 + b_2x + c_2 \\ (a_1-a_2)x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 – a_2, b = b_1 – b_2, c= c_1 – c_2 $.
sesampai kemudian persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Kedua, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan garis $ y = b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk memilih titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = + b_2x + c_2 \\ a_1x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 , b = b_1 – b_2, c= c_1 – c_2 $.
sesampai kemudian persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Dari kedua bentuk di atas, pada dasarnya terbentuk persamaan $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang juga merupakan titik potong kedua kurva masing-masing tempat menyerupai gambar berikut ini.

*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \, x_1 . x_2 = \frac{c}{a} , \, x_2 – x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
$ x_2^2 – x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1) = \frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a} $
$ x_2^3 – x_1^3 = (x_2-x_1)^3 + 3x_1x_2(x_2-x_1) = (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} $
*). Menghitung luas dengan integral
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{x_1}^{x_2} y_1 – y_2 dx \\ & = \int \limits_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) dx \\ & = [\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx]_{x_1}^{x_2} \\ & = [\frac{a}{3}x_2^3 + \frac{b}{2}x_2^2 + cx_2] – [\frac{a}{3}x_1^3 + \frac{b}{2}x_1^2 + cx_1] \\ & = \frac{a}{3}(x_2^3 – x_1^3) + \frac{b}{2}(x_2^2 – x_1^2) + c(x_2 – x_1) \\ & = \frac{a}{3}[ (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{a}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a^2} + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{1}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a} + 3c \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D}{a} + 3c ] + \frac{b}{2}[ \frac{(-b)}{a}] + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D+3ac}{a} ] – \frac{b^2}{2a} + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2}{6}[ \frac{D+3ac}{a} ] – \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D+6ac}{6a} – \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D – 3b^2 + 12ac}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D – 3(b^2 – 4ac)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D – 3(D)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{-D}{6a} \right) \\ & = \frac{-D\sqrt{D}}{6a^2} \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \end{align} $
Jadi, terbukti rumusnya yaitu Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $.

Pembuktian Rumus Cepat Kedua
Rumus Pengurangan titik potong
       Misalkan kedua kurva menyerupai gambar di atas (syarat dua kurvanya menyerupai pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ , maka luas tempat yang diarsir sanggup ditentukan dengan rumus : $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.

Pembuktian :
*). Untuk mengambarkan rumus kedua ini, kita akan gunakan rumus pertama dan operasi akar.
Dari bentuk $ x_2 – x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a } $
kita peroleh :
$ \sqrt{D} = a(x_2 – x_1 ) \, $ dan $ D = a^2(x_2 – x_1)^2 $
*). Menentukan luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ & = \frac{a^2(x_2 – x_1)^2 . a(x_2 – x_1 ) }{6a^2} \\ & = \frac{a(x_2 – x_1)^3}{6} \\ & = \frac{a}{6} (x_2 – x_1)^3 \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{a}{6} |x_1-x_2|^3 \end{align} $
Jadi, terbukti rumus cepat kedua ini.

Pembuktian Rumus Cepat Ketiga
       Syarat rumus ini sanggup dipakai hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan tempat yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :

Dari gambar, luas tempat A dan B apabila digabungkan membentuk persegi panjang. Perbandingan luas A dan B merupakan 2 : 1. Sesampai kemudian luas A atau B Yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.

Baca Juga:   Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Pembuktian :
*). Kita akan gunakan bentuk fungsi kuadrat yang paling simpel yaitu $ y = ax^2 \, $ , alasannya yaitu bentuk fungsi kuadrat yang lain yaitu $ y = ax^2 + bx + c \, $ diperoleh dari menggeser bentuk $ y = ax^2 \, $ dan tak akan merubah luasan darah yang terbentuk. Perhatikan gambar berikut ini,

*). Menghitung luas masing-masing :
Luas tempat A dibatasi oleh kurva $ y = ak^2 \, $ dan $ y = ax^2 $ dengan interval 0 hingga $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \int \limits_0^k (ak^2 – ax^2) dx \\ & = [ak^2x – \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ak^2 . k – \frac{a}{3}.k^3] – [ak^2.0 – \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ak^3 – \frac{a}{3}k^3] – [0] \\ & = \frac{2}{3}ak^3 \end{align} $
Luas tempat B dibatasi oleh kurva $ y = ax^2 $ dengan interval 0 hingga $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas B } & = \int \limits_0^k ax^2 dx \\ & = [ \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ \frac{a}{3}.k^3] – [ \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ \frac{a}{3}k^3] – [0] \\ & = \frac{1}{3}ak^3 \end{align} $
*). Perbandingan luas A dan B
$\begin{align} \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{\frac{2}{3}ak^3}{\frac{1}{3}ak^3} \\ \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Karena perbandingan luas A dan B merupakan 2 : 1, artinya apabila luas A dan B digabung akan membentuk sebuah persegi panjang, sesampai kemudian luas masing-masing apabila dikaitkan dengan luas persegi panjang yang ada yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Jadi, terbukti luas yang diinginkan.