Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.com Pembuktian Rumus Pesamaan Garis Singgung Lingkaran merupakan penterangan seputar asal-usul rumus persamaan garis singgung. Namun sebelumnya, coba baca dahulu bahan “persamaan lingkaran” dan “Pesamaan Garis Singgung Lingkaran“. Sementara untuk menyusun persamaan garis, silahkan baca bahan “Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus” dan “Hubungan Dua Garis Lurus“.

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $

Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,

*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah bulat yang berpusat di $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ x^2 + y^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA merupakan $ m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = – 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = – \frac{x_1}{y_1} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = – \frac{x_1}{y_1} $ .
$ \begin{align} (y – y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y – y_1 ) & = – \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y – y_1 ) & = – x_1 ( x- x_1) \\ y_1y – y_1^2 & = – x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke bulat : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , diperoleh : $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung bulat yang berpusat di titik $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada bulat $ x^2 + y^2 = r^2 $ merupakan $ x_1 x + y_1y = r^2 $ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align} $

Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,

*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah bulat yang berpusat di $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA merupakan $ m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = – 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = – \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = – \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
$ \begin{align} (y – y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y – y_1 ) & = – \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y – y_1 ) & = – (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y – y_1^2 – by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 – ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y – by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke bulat : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ , diperoleh :
$ \begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 – 2ax_1 + a^2 + y_1^2 – 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 – a^2 + 2by_1 – b^2 \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 – a^2 + 2by_1 – b^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y – by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y – by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 – a^2 + 2by_1 – b^2 \\ (x_1x -ax – ax_1 + a^2) + (y_1y – by – by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 – b)(y -b) & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung bulat yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada bulat $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ merupakan $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 – b)(y -b) = r^2 $ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan $ a = -\frac{A}{2}, b = – \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 – r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align} $

Pembuktian :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 – b)(y -b) = r^2 \, $ dan substitusikan bentuk $ a = -\frac{A}{2}, b = – \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 – r^2 $
*). Penjabaran bentuk $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 – b)(y -b) = r^2 $
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 – b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax – ax_1 + a^2) + (y_1y – by – by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y – a(x_1 + x) – b(y_1+y) + a^2 + b^2 – r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y – (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) – (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung bulat yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada bulat $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ merupakan $ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 $ .

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke bulat : $ x^2 + y^2 = r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + (mx+n)^2 & = r^2 \\ x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 & = r^2 \\ (m^2+1)x^2 + 2mnx + n^2 – r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2mn , \, c & = n^2 – r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung bulat : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ (2mn)^2 – 4.(m^2 + 1) . (n^2 – r^2 ) & = 0 \\ 4m^2n^2 – 4(n^2 + m^2n^2 – r^2 – m^2r^2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2n^2 – n^2 – m^2n^2 + r^2 + m^2r^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ n^2 & = r^2 + m^2r^2 \\ n^2 & = r^2 (1 + m^2) \\ n & = \pm \sqrt{ r^2 (1 + m^2) } \\ n & = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya merupakan $ y = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} $

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ atau $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y – b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke bulat : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-a)^2 + (mx + n -b)^2 = r^2 \\ x^2 -2ax + a^2 + m^2x^2 + 2m(n-b)x + (n-b)^2 – r^2 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + [2m(n-b) – 2a ]x + (n-b)^2 + a^2 – r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = [2m(n-b) – 2a ] , \, c & = (n-b)^2 + a^2 – r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung bulat : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ [2m(n-b) – 2a ]^2 – 4.(m^2 + 1) . ((n-b)^2 + a^2 – r^2 ) & = 0 \\ (b-am-n)^2 & = r^2(1+m^2) \\ b – am – n & = \pm \sqrt{r^2(1+m^2)} \\ b – am – n & = \pm r \sqrt{1+m^2} \\ n & = b – am \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = b – am \pm r \sqrt{1+m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + b – am \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y – b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya merupakan $ y – b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} $