Pembuktian Teorema Mendasar Kalkulus I Dan Ii

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah mempelajari materi Teorema Fundamental Kalkulus pada Integral yang disertai dengan sedikit pola soal. Teorema Fundamental Kalkulus yang disingkat TFK ini merupakan materi khusus dalam integral yang mempermudah kita untuk menghitung bentuk integral tertentu. Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus I dan II.

         Sebagai seorang pelajar yang berfikir logis, tentunya teman semua tak percaya begitu saja dengan suatu pernyataan. Pernyataan tersebut harus dibuktikan terlebih dahulu gres dipercaya kebenarannya. Sekarang, marilah kita buktikan kebenaran dari teorema mendasar kalkulus I dan II . Beberapa konsep yang akan kita butuhkan untuk menandakan TFK I dan TFK II yakni sifat penambahan interval pada integral tentu, definisi turunan fungsi, dan teorema apit.

         Teori-teori yang akan kita gunakan dalam pembuktian teorema mendasar kalkulus I yakni : Sifat penambahan interval pada integral tentu : Jika $ f $ merupakan fungsi yang terintegralkan pada interval yang memuat $ a, b$, dan $ c $, maka $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $ . Definisi turunan fungsi: turunan pertama fungsi $ F(x) \, $ sanggup ditulis : $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $. dan Teorema Apit : Jika terdapat bentuk $ k \leq f(x) \leq k , \, $ maka $ f(x) = k $ .

Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus I
$ \spadesuit \, $ Teorema Fundamental Kalkulus I (TFK I)
       Jika $ f $ kontinu pada $[a, b] $ dan $ x $ sebarang titik di $ (a, b)$,
maka berlaku :       $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $.

*). Bukti Teorema Fundamental Kalkulus I
Didefinisikan $ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt , \, $ maka bentuk
$ \begin{align} F(x+h) & = \int \limits_a^{x+h} f(t) dt \\ & = \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \, \, \, \, \, \text{….pers(1)} \end{align} $
dengan $ h \, $ merupakan bilangan real positif.
*). Kita kurangkan bentuk $ F(h+h) $ dengan $ F(x) $,
$ \begin{align} F(x+h) – F(x) & = \left( \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \right) – \left( \int \limits_a^x f(t) dt \right) \\ F(x+h) – F(x) & = \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \end{align} $
*). Misalkan :
$ m = \, $ nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x \, $ di $ [a,b]$
$ M = \, $ nilai maksimum fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x \, $ di $ [a,b]$
Sebagaimana gambar (1) di bawah ini.

*). Menentukan luas masing-masing tempat menurut gambar di atas :
Daerah A : Luas A = $ p \times l = m \times h $
Daerah C : Luas C = $ p \times l = M \times h $
Daerah B : Luas B = luas dibawah kurva $ y = f(t) \, $ = $ \int \limits_x^{x+h} f(t) dt = F(x+h) – F(x) $
*). Menentukan korelasi ketiga luas :
$ \begin{align} \text{Luas A } \leq \, & \text{ Luas B } \leq \text{ Luas C} \\ m\times h \leq \, & F(x+h) – F(x) \leq M \times h \, \, \, \, \, \text{(bagi } h ) \\ \frac{m\times h}{h} \leq \, & \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \leq \frac{M \times h }{h} \\ m \leq \, & \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \leq M \, \, \, \, \, \text{(beri limit)} \\ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \end{align} $
*). Dari gambar (1) di atas, apabila nilai $ h \, $ semakin kecil atau mendekati nol maka kita peroleh $ \displaystyle \lim_{h \to 0} m = \displaystyle \lim_{h \to 0} M = f(x) $ . Sesampai lalu bentuk $ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \, $ menjadi $ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \leq f(x) $ .
*). Berdasarkan teorema apit, maka dari bentuk $ f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} \leq f(x) \, $ kita peroleh nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} = f(x) $.
*). Berdasarkan definisi turunan fungsi dan bentuk $ F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :
Definisi turunan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x) $
*). Penyelesaian final pembuktian :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} & = f(x) \\ \frac{d}{dx}F(x) & = f(x) \, \ , \, \, \, \, \, \text{ (substitusi } F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt ) \\ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt & = f(x) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $

Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus II
$ \spadesuit \, $ Teorema Fundamental Kalkulus II (TFK II)
       Jika $ f $ kontinu pada $ [a, b] $ dan $ F $ antiturunan $ f $ pada $ [a, b]$,
maka berlaku :       $ \int \limits_a^b f(x) dx = F(b) – F(a) $

*). Untuk menandakan TFK II, kita akan memakai TFK I : $ f(x) = \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt $.
Misalkan $ g(x) \, $ merupakan antiturunan atau integral dari fungsi $ f \, $ , maka sanggup kita tulis $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ . Dan misalkan juga $ F(x) \, $ merupakan antiturunan lain dari fungsi $ f $ , $ F(x) $ dan $ g(x) $ hanya dibedakan oleh suatu konstanta $ C $ , sesampai lalu sanggup dinyatakan sebagai: $ F(x) = g(x) + C $.
*). Dari bentuk $ F(x) = g(x) + C \, $ dan $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :
$ F(a) = g(a) + C \, $ dan $ \, F(b) = g(b) + C $.
$ g(a) = \int \limits_a^a f(t) dt = 0 \, $ dan $ \, g(b) = \int \limits_a^b f(t) dt $.
*). Kita kurangkan bentuk $ F(b) \, $ dan $ F(a) $ :
$\begin{align} F(b) – F(a) & = (g(b) + C) – (g(a) + C) \\ & = g(b) + C – g(a) – C \\ & = g(b) – g(a) \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt – 0 \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt \end{align} $
Jadi, terbukti $ \int \limits_a^b f(t) dt = F(b) – F(a) $.

Baca Juga:   Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Dilengkapi Contoh

         Dari pembuktian kedua teorema di atas, terlihat bahwa butuh analisa yang lebih untuk memahami pembuktian teorema mendasar kalkulus I dan II. Untuk tingkat SMA, saran kami yang terpenting merupakan penggunaannya dalam mengerjakan sebuah soal. Untuk pembuktiannya, sebaiknya tak perlu didalami, kecuali untuk keperluan yang sangat penting, semisal untuk pengajar atau untuk tingkat kuliah. Sebenarnya teorema mendasar kalkulus I dan II ini sebelumnya dipelajari saat tingkat kuliah saja, namun untuk kurikulum 2013 dimunculkan teorinya yang tentu secara pembuktian akan sulit dipahami bagi siswa/siswi.