Penerapan Limit Pada Kekontinuan Fungsi

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah mempelajari “Penerapan Limit pada Laju Perubahan“. Kali ini kita akan mempelajari penerapan limit lainnya yaitu Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik tertentu (misalkan $ x = a$) apabila grafik fungsinya tak terputus di titik tersebut.

Perhatikan grafik fungsi $ f(x) = \frac{x^2 – 1}{x-1} \, $ berikut,

Dari grafik terlihat bahwa untuk titik $ x = 1 \, $ grafiknya terputus, ini artinya fungsi $ f(x) = \frac{x^2 – 1}{x-1} \, $ tak kontinu di titik $ x = 1 . \, $ Dilain pihak, selain titik $ x = 1 \, $ , grafik $ f(x) = \frac{x^2 – 1}{x-1} \, $ tak terputus, sesampai kemudian fungsi tersebut dikatakan kontinu di semua titik selain titik $ x = 1 $ .

Penterangan Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi
       Untuk memilih suatu fungsi apakah kontinu atau tak kontinu di suatu titik tertentu, kita tak cukup selalu memakai grafiknya secara langsung, alasannya yakni akan sulit dalam menggambarnya. Nah, untuk memudahkan dalam mengecek kekontinuan fungsi, kita akan memakai limit.

Fungsi $ f(x) \, $ dikatakan kontinu di titik $ x = a , \, $ apabila memenuhi ketiga syarat berikut,
i). $ f(a) \, $ ada,
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada,
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $

Keterangan :
i). $ f(a) \, $ ada, maksudnya nilai fungsinya terdefinisi di $ x = a \, $ (dapat dihitung).
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada, maksudnya besar limit kiri dan limit kananya merupakan sama.
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ , maksudnya nilai limit dan fungsinya sama.
Untuk limit kiri dan limit kanan, lihat materi “Pengertian Limit Fungsi“.

Contoh :
1). Tunjukkan fungsi $ f(x) = 2x – 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = 2.1 – 1 = 1 $
Nilai limit kiri : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } 2x – 1 = 1 $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } 2x – 1 = 1 $
ii). Artnya nilai limitnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x – 1 = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } 2x – 1 = 1 = f(1) $
Karena saat syarat terpenuhi, maka fungsi $ f(x) = 2x – 1 \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ .

Baca Juga:   Penyelesaian Limit Tak Hingga

2). Apakah fungsi $ f(x) = \frac{x^2 – 1}{x-1} \, $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = \frac{1^2 – 1}{1-1} = \frac{0}{0} \, $ . Karena akhirnya $ \frac{0}{0} \, $ maka nilai fungsinya tak ada atau tak terdefinisi.
Satu syarat tak terpenuhi, maka sanggup disimpulkan bahwa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 – 1}{x-1} \, $ tak kontinu (diskontinu) di titik $ x = 1 $ .

3). Tentukan titik dimana fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 – x – 6 } \, $ tak kontinu. ?
Penyelesaian :
*). Suatu fungsi dikatakan kontinu harus memenuhi ketiga syarat yang ada, apabila salah satu saja tak terpenuhi maka fungsi tersebut sudah dipastikan tak kontinu. Karena fungsinya dalam bentuk pecahan, maka fungsi cuilan tak ada nilai atau tak terdefinisi apabila penyebutnya bernilai 0.
*). Penyebut bernilai 0.
$ x^2 – x – 6 = 0 \rightarrow (x – 3)(x+2) = 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = \frac{1}{x^2 – x – 6 } \, $ tak kontinu pada titik $ x = 3 \, $ dan $ x = -2 $ .

4). Misalkan terdapat fungsi ,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3x+7 & , \text{ untuk } x \leq 4 \\ kx – 1 & , \text{ untuk } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ k \, $ sesampai kemudian $ f(x) \, $ kontinu di $ x = 4 $ . ?
Penyelesaian :
*). Syarat biar fungsi kontinu di $ x = 4 \, $ merupakan $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } f(x) = f(4) \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) = f(4) $ .
*). Nilai fungsi : $ f(4) $
Untuk $ x = 4, \, $ maka fungsinya merupakan $ f(x) = 3x+7 $
Sesampai kemudian nilai fungsinya : $ f(4) = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kiri : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kiri, maka fungsi $ f(x) = 3x + 7 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kanan : untuk $ x = 4 \, $ mendekati dari kanan, maka fungsi $ f(x) = kx – 1 \, $ yang digunakan,
$ \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } kx – 1 = k.4 – 1 = 4k – 1 $
*). Menentukan nilai $ k $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ 19 & = 4k-1 \\ 4k & = 20 \\ k & = 5 \end{align} $
Jadi, biar fungsi $ f(x) \, $ kontinu, maka nilai $ k \, $ merupakan 5.

Baca Juga:   Limit Tak Sampai Fungsi Trigonometri

5). Diketahui fungsi berikut merupakan kontinu,
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} ax+3 & , \text{ untuk } x \leq 2 \\ x^2 + 1 & , \text{ untuk } 2 < x \leq 4 \\ 5 – bx & , \text{ untuk } x > 4 \\ \end{array} \right. $
Tentukan nilai $ a + b \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x) \, $ kecukupan besar tak kontinu di titik $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $ alasannya yakni sebagai batas interval dari ketiga interval yang ada, sesampai kemudian biar fungsi $ f(x) $ kontinu maka kita fokus pada kedua nilai $ x $ tersebut.
*). penyelesaian di titik $ x = 2 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 2^- } ax+3 & = \displaystyle \lim_{x \to 2^+ } x^2 + 1 \\ a.2+3 & = 2^2 + 1 \\ 2a+3 & = 5 \\ 2a & = 2 \\ a & = 1 \end{align} $
*). penyelesaian di titik $ x = 4 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4^- } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } f(x) \\ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } x^2 + 1 & = \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } 5 – bx \\ 4^2 + 1 & = 5-b.4 \\ 17 & = 5-4b \\ 4b & = 5 – 17 \\ 4b & = -12 \\ b & = -3 \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ a + b = 1 + (-3) = -2 $ .
Jadi, nilai $ a + b = -2 $.