Penerapan Limit Pada Laju Perubahan

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan pelajari Penerapan Limit pada Laju Perubahan. Fungsi yang dipakai biasanya fungsi aljabar, sesampai lalu untuk memudahkan silahkan baca materi “Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar“.

Penterangan Penerapan Limit pada Laju Perubahan
       Misalkan $ y $ merupakan suatu besaran yang bergantung pada besaran lain $ x $ . Sesampai kemudian, $ y $ merupakan fungsi dari $ x $ dan sanggup kita tuliskan $ y = f(x) . \, $ Jika $ x $ berubah dari $ x = c $ hingga $ x = c + h , \, $ maka perubahan $ x $ merupakan
$ \Delta x = (c+h) – c = h \, \, $ ($ \Delta x \, $ dibaca “delta $ x $ ” )
dan perubahan $ y $ merupakan $ \Delta y = f(c+h) – f(c) $ .

       Hasil bagi perubahannya : $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \, $ disebut rerata laju perubahan $ y $ terhadap $ x $ sepanjang interval $[c, c+h] $ , dan ditafsirkan sebagai kemiringan tali busur PQ pada gambar berikut,

       Kita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil $[c, c+h] $ , sesampai lalu $ h \, $ mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat $ y $ terhadap $ x $ ketika $ x = c , \, $ yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ di $ P(c,f(c)) $ :
Laju perubahan sesaat $ = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) – f(c)}{h} $

Contoh :
Suhu sebuah tungku pembuatan kristal dipergunakan dalam penelitian untuk memilih bagaimana cara terbaik untuk membuat kristal yang dipergunakan dalam komponen elektronik untuk pesawat ulang-alik. Untuk pembuatan kristal yang baik, suhu harus dikendalikan secara akurat dengan menyesuaikan daya masukan. Hubungan suhu dan daya masukan mengikuti fungsi $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 \, $ dengan $ T $ merupakan suhu dalam $ ^\circ $C, dan $ w $ merupakan daya masukan dalam watt.
a). Berapakah laju perubahan suhu terhadap daya masukan $ w $ ? Apa satuannya?
b). Jika daya yang tersedia merupakan 1000 watt, kapan laju perubahan terbesar dan kapan laju perubahan terkecil?
Penyelesaian :
*). Diketahui fungsi : $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 $
*). Menentukan $ T(w+h) $
$ \begin{align} T(w+h) & = 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 \\ & = 0,1(w^2 + 2wh+h^2) + 2,155w + 2,155h + 20 \\ & = 0,1w^2 + 0,2wh + 0,1h^2 + 2,155w + 2,155h + 20 \end{align} $
*). Menentukan $ \frac{T(w+h) – T(w)}{h} $
$ \begin{align} \frac{T(w+h) – T(w)}{h} & = \frac{( 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 ) – (0,1w^2 + 2,155w + 20)}{h} \\ & = \frac{ 0,2wh + 2,155h + 0,1h^2 }{h} \\ & = 0,2w + 2,155 + 0,1h \end{align} $
*). Menentukan laju perubahan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) – f(c)}{h} $
$ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) – f(c)}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } 0,2w + 2,155 + 0,1h = 0,2w + 2,155 $
Jadi, laju perubahannya merupakan $ 0,2w + 2,155 \, $ dengan satuan $ ^\circ $C/watt.

Baca Juga:   Penyelesaian Limit Tak Hingga

b). Daya yang tersedia 1000 watt. Dari fungsi laju perubahan ( Laju $ = 0,2w + 2,155$), maka laju perubahan terbesar terjadi ketika $ w = 1000 \, $ dan terkecil pada ketika $ w = 0 . \, $
Laju perubahan terbesar $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(1000) + 2,155 = 202,155 \, ^\circ $C/watt.
Laju perubahan terkecil $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(0) + 2,155 = 2,155 \, ^\circ $C/watt.