Penerapan Matriks Pada Spl

Posted on

         Pondok Soal.comPenerapan matriks pada SPL (Sistem Persamaan Linear) merupakan suatu aplikasi matriks untuk menuntaskan suatu bentuk Sistem persamaan Linear dengan memakai konsep invers dan determinan. Agar sanggup menguasai bahan ini, kita harus menguasai bahan wacana determinan dan invers matriks dengan baik serta harus menguasai sifat determinan dan invers. Berikut penterangan lebih kompleksnya

         Penerapan matriks pada SPL (Sistem Persamaan Linear) sangat cocok apabila kita aplikasikan pribadi pada komputer. Hal ini lantaran penghitungan memakai matriks akan sistematis ialah metode invers dan metode determinan (Cramer). Memang untuk sistem persamaan linear yang terdiri dari dua variabel atau tiga variabel, penyelesaian dengan teknik substitusi-eliminasi akan mudah, tenamun apabila sudah melibatkan empat variabel atau lebih, maka dengan penerapan matriks pada SPL akan lebih cocok dikombinasikan dengan komputerisasi.

         Penerapan matriks pada sistem persamaan linear (SPL) membutuhkan ketelitian dalam penghitungan lantaran akan melibatkan kaya sekali angka-angka yang akan kita bentuk menjadi suatu bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan linear (SPL) yang ada. Metode matriks pada SPL terkadang sangat kita butuhkan lantaran memang ada jenis soal tertentu yang mengharuskan atau diketahui dalam bentuk matriks sesampai lalu ingin tak ingin harus kita selesaikan dengan metode matriks. Dengan kaya berlatih soal-soal, niscaya kita akan sanggup dengan lancar untuk menguasai bahan ini.

Mengubah SPL menjadi bentuk matriks
         Sistem persamaan linear (SPL) harus diubah dahulu dalam bentuk persamaan matriks, sesudah itu gres kita menerapkan konsep matriks ialah invers dan determinan.
Sistem persamaan dua variabel $ x \, $ dan $ y $ :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal(matriks koefisien)
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil(matriks konstanta)

Sistem persamaan tiga variabel $ x, \, y \, $ dan $ z $:
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil

Baca Juga:   Operasi Baris Elementer (Obe) Dan Penerapannya

Penerapan invers pada SPL
         Untuk menerapkan invers dalam menuntaskan SPL, kita memakai sifat invers ialah :
                           $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
dengan $ A \, $ sebagai matriks awal, $ B \, $ sebagai matriks variabel, $ C \, $ sebagai matriks hasil, dan $ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks $ A. $

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang memenuhi sistem persamaan linear (SPL) dengan memakai konsep invers matriks
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} x – y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dahulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
kita misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right), \, $ dan $ C = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
Menentukan matriks B :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ AB & = C \\ B & = A^{-1}C \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ memilih inversnya} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1.1 – 2.(-1)} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ mengalikan matriksnya} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{3} \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{3} \\ \frac{-3}{3} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, solusi SPLnya merupakan $ x = 1 \, $ dan $ y = -1 $

2). Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan konsep invers matriks
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} 3y + 2z = 1 \\ x + y = 2 \\ 4x -2y -z = 3 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dahulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
kita misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right), \, $ dan $ C = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
invers matriks A menurut artikel ” Determinan dan Invers Matriks ” merupakan
$ A^{-1} = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
untuk cara memilih invers matriks A ini, pribadi saja lihat artikel ” Determinan dan Invers Matriks
Menentukan matriks B :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -9 \\ -9 \\ 9 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, solusi SPLnya merupakan $ x = 1, \, y = 1 \, $ dan $ z = -1 $

Penerapan determinan pada SPL
         Penerapan determinan matriks pada penyelesaian SPL kerap dikenal dengan nama cara “Cramer”
*). Penyelesaian SPL dua variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} \Rightarrow $ $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
         Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} \, $ dan $ y = \frac{D_y}{D} $
keterangan :
$ D \, $ merupakan determinan matriks awal ialah $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ merupakan determinan matriks dengan mengmengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil ialah $ D_x = \left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ merupakan determinan matriks dengan mengmengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil ialah $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| $

Baca Juga:   Determinan Dan Invers Matriks

*). Penyelesaian SPL tiga variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} \Rightarrow \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
         Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} , \, y = \frac{D_y}{D} \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} $
keterangan :
$ D \, $ merupakan determinan matriks awal ialah $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ merupakan determinan matriks dengan mengmengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil ialah $ D_x = \left| \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ merupakan determinan matriks dengan mengmengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil ialah $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_z \, $ merupakan determinan matriks dengan mengmengganti kolom $ z \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil ialah $ D_z = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{matrix} \right| $

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang memenuhi sistem persamaan linear (SPL) dengan memakai konsep determinan matriks (cara cramer)
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} x – y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dahulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
$ D = \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| = 1.1 – (-1) . 2 = 3 $
$ D_x = \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| = 2.1 – (-1) . 1 = 3 $
$ D_y = \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| = 1.1 – 2 . 1 = -3 $
Solusinya :
$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{3}{3} = 1 \, $ dan $ x = \frac{D_y}{D} = \frac{-3}{3} = -1 $
Jadi, solusi SPLnya merupakan $ x = 1 \, $ dan $ y = -1 $

Baca Juga:   Penerapan Invers Matriks Pada Arahan Sandi Rahasia

2). Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan cara cramer
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} 3y + 2z = 1 \\ x + y = 2 \\ 4x -2y -z = 3 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dahulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $

$ \begin{align} D_x & = \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \end{matrix} \right| = -9 \\ D_y & = \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{matrix} \right| -9 \\ D_z & = \left| \begin{matrix} 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{matrix} \right| = 9 \end{align} $
Solusinya :
$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-9}{-9} = 1, \, y = \frac{D_y}{D} = \frac{-9}{-9} = 1 \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} = \frac{9}{-9} = -1 $
Jadi, solusi SPLnya merupakan $ x = 1, \, y = 1 \, $ dan $ z = -1 $

         Ada cara lain untuk menuntaskan SPL ialah teknik substitusi dan eliminasi. Selain itu juga ada cara lain lagi ialah memakai cara “Operasi Baris Elementer (OBE)” pada matriks yang lebih dikenal dengan nama Eliminasi Gauss-Jordan. Untuk bahan OBE sanggup anda baca pada artikel ” Operasi Baris Elementer dan penerapannya ” .