Penerapan Trigonometri Pada Segitiga : Hukum Sinus, Hukum Cosinus, Luas Segitiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Salah satu penggunaan trigonometri merupakan menghitung besarnya sudut pada segitiga, menghitung panjang sisi-sisi segitga, dan luas segitiga. Kali ini kita mempelajari bahan Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Prasyarat bahan yang harus dikuasai sebelum mempelajari bahan ini merupakan “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“, “Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran“, dan “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“.

Aturan Sinus
Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus ialah :
  $ \begin{align} \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} \frac{\sin \angle A }{a} = \frac{\sin \angle B}{b} = \frac{\sin \angle C}{c} \end{align} $

Pembuktian Rumus hukum sinus :

*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC, $ \sin A = \frac{CD}{AC} \rightarrow CD = AC \sin A \rightarrow CD_1 = b \sin A $
Segitiga BDC, $ \sin B = \frac{CD}{BC} \rightarrow CD = BC \sin B \rightarrow CD_2 = a \sin B $
Dari panjang CD,
diperoleh $ CD_1 = CD_2 \rightarrow b \sin A = a \sin B \rightarrow \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} $
persamaan (i) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} $

*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB, $ \sin A = \frac{EB}{AB} \rightarrow EB = AB \sin A \rightarrow EB_1 = c \sin A $
Segitiga CEB, $ \sin C = \frac{EB}{CB} \rightarrow EB = CB \sin C \rightarrow EB_2 = a \sin C $
Dari panjang EB,
diperoleh $ EB_1 = EB_2 \rightarrow c \sin A = a \sin C \rightarrow \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C} $
persamaan (ii) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C} $

Dari pers(i) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} $ dan pers(ii) : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{c}{\sin \angle C} $
Diperoleh : $ \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} $
Jadi, terbukti rumus hukum sinusnya.

Contoh :
1). Tentukan panjang AC pada segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk hukum sinusnya :
$ \begin{align} \frac{AC}{\sin B} & = \frac{BC}{\sin A} \\ \frac{AC}{\sin 60^\circ} & = \frac{4}{\sin 45^\circ} \\ \frac{AC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} & = \frac{4}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \frac{AC}{\sqrt{3}} & = \frac{4}{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{3} }{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{3} }{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ AC & = \frac{4 \sqrt{6} }{2} \\ AC & = 2 \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, panjang $ AC = 2 \sqrt{6} $ .

2). Tentukan panjang AC pada segitiga ABC berikut.

Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya sudut $ y^\circ $ :
$ \begin{align} \frac{\sin C }{AB} & = \frac{\sin A}{BC} \\ \frac{\sin y^\circ }{8} & = \frac{\sin 45^\circ}{8\sqrt{2}} \\ \frac{\sin y^\circ }{1} & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \sin y^\circ & = \frac{1}{2} \\ y^\circ & = 30^\circ \end{align} $
*). Menentukan besarnya sudut $ x^\circ $
$ \begin{align} \text{jumlah sudut segitiga ABC } & = 180^\circ \\ A + B + C & = 180^\circ \\ 45^\circ + x^\circ + 30^\circ & = 180^\circ \\ x^\circ & = 105^\circ \end{align} $
*). Menentukan panjang AC dengan hukum sinus
$ \begin{align} \frac{AC}{\sin B } & = \frac{AB}{\sin C} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = \frac{8}{\sin 30^\circ} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = \frac{8}{\frac{1}{2}} \\ \frac{AC}{\sin 105^\circ } & = 16 \\ AC & = 16 \sin 105^\circ \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ AC & = 16 \times 0,9659 \\ AC & = 15,4548 \end{align} $
Jadi, panjang AC = 15,4548 .

Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan cosinus ialah :
$ \begin{align} a^2 & = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \\ b^2 & = a^2 + c^2 – 2ac \cos B \\ c^2 & = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \end{align} $

Baca Juga:   Menentukan Panjang Sisi Segitiga Hukum Cosinus

Pembuktian Rumus hukum Cosinus :

Panjang $ AD = x , \, $ maka panjang $ BD = c -x , \, $ dengan $ AB = c $.
*). Perhatikan segitiga ADC,
$ \cos A = \frac{AD}{AC} \rightarrow \cos A = \frac{x}{b} \rightarrow x = b \cos A \, \, $ …pers(i)
Pythagoras : $ CD^2 = AC^2 – AD^2 \rightarrow CD^2 = b^2 – x^2 \, $ ….pers(ii)
*). Perhatikan segitiga BDC,
Pythagoras : $ CD^2 = BC^2 – BD^2 \rightarrow CD^2 = a^2 – (c-x)^2 \, $ ….pers(iii)
*). Pers (i) dan pers(ii), panjang CD sama :
$ \begin{align} CD^2 & = CD^2 \\ b^2 – x^2 & = a^2 – (c-x)^2 \\ b^2 – x^2 & = a^2 – (c^2 – 2cx + x^2) \\ b^2 – x^2 & = a^2 – c^2 + 2cx – x^2 \\ a^2 & = b^2 + c^2 – 2cx \, \, \, \, \, \text{[ substitusi pers(i) ]} \\ a^2 & = b^2 + c^2 – 2c. b \cos A \\ a^2 & = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \end{align} $
Diperoleh hukum cosinus pertama : $ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A $ .

Untuk pembuktian dua hukum cosinus lainnya, cara hampir sama dengan pembuktian hukum cosinus pertama di atas.

Contoh :
3). Tentukan panjang sisi BC pada segitiga berikut!

Penyelesaian :
Berdasarkan hukum cosinus sudut A :
$ \begin{align} BC^2 & = AC^2 + AB^2 – 2.AC.AB. \cos A \\ BC^2 & = 5^2 + 8^2 – 2.5.8. \cos 60^\circ \\ BC^2 & = 25 + 64 – 80. \frac{1}{2} \\ BC^2 & = 89 – 40 \\ BC^2 & = 49 \\ BC & = \sqrt{49} \\ BC & = 7 \end{align} $
Jadi, panjang BC = 7.

4). Tentukan panjang BD sari gambar berikut!

Penyelesaian :
*). Perhatikan segitiga ABC, memilih BC dengan hukum sinus
$ \begin{align} \frac{BC}{\sin A} & = \frac{AB}{\sin C} \\ \frac{BC}{\sin 60^\circ} & = \frac{2\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} \\ \frac{BC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} & = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ \frac{BC}{\sqrt{3}} & = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2\sqrt{6} . \sqrt{3} }{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2\sqrt{18} }{\sqrt{2}} \\ BC & = \frac{2 . 3\sqrt{2} }{\sqrt{2}} \\ BC & = 6 \end{align} $
Diperoleh BC = 6.
*). Perhatikan segitiga BCD, memilih BD dengan hukum cosinus
$ \begin{align} BD^2 & = BC^2 + DC^2 – 2.BC.DC. \cos \angle BCD \\ BD^2 & = 6^2 + 7^2 – 2.6.7. \cos 60^\circ \\ BD^2 & = 36 + 49 – 2.6.7. \frac{1}{2} \\ BD^2 & = 36 + 49 – 42 \\ BD^2 & = 43 \\ BD & = \sqrt{43} \end{align} $
Jadi, panjang $ BD = \sqrt{43} $

Baca Juga:   Rumus Trigonometri Untuk Sudut Ganda

5). Tentukan panjang sisi-sisi segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Aturan cosinus pada sudut P
$ \begin{align} QR^2 & = PR^2 + PQ^2 – 2.PR.PQ . \cos P \\ (2\sqrt{x+2})^2 & = (x-1)^2 + (x+1)^2 – 2.(x-1).(x+1) . \cos 60^\circ \\ 4(x+2) & = (x^2 -2x + 1) + (x^2+2x+1) – 2.(x^2 – 1) . \frac{1}{2} \\ 4x + 8 & = (2x^2+2) – (x^2 – 1) \\ x^2 -4x -5 & = 0 \\ (x+1)(x-5) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 5 \end{align} $
Karena panjang segitiga selalu positif, maka yang memenuhi merupakan $ x = 5 $
Sesampai kemudian, panjang sisi-sisi segitiga merupakan :
$ x-1, \, x+1, \, 2\sqrt{x+2} \rightarrow 4, \, 6, \, 2\sqrt{7} $
Jadi, sisi-sisi segitiga merupakan $ 4, \, 6, \, $ dan $ \, 2\sqrt{7} $

Luas Segitiga dengan Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,

Rumus Luas Segitiga yang melibatkan sudutnya merupakan :
Luas segitiga ABC $ \, = \frac{1}{2}.b.c. \sin A $
Luas segitiga ABC $ \, = \frac{1}{2}.a.c. \sin B $
Luas segitiga ABC $ \, = \frac{1}{2}.a.b. \sin C $
Rumus luas di atas menawarkan hasil yang sama, tergantung sudut yang diketahui.

Pembuktian Rumus Luas segitiga
Perhatikan segitiga ADC : $ \sin A = \frac{t}{b} \rightarrow t = b \sin A $
Luas segitiga ABC :
$ \begin{align} \text{ Luas segitiga ABC } & = \frac{1}{2} \times \text{ ganjal } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2} \times c \times t \\ & = \frac{1}{2} \times c \times b \sin A \\ & = \frac{1}{2} c b \sin A \end{align} $
Makara terbukti rumus luas pertama, rumus luas segitiga berikutnya juga pembuktiannya seolah-olah dengan di atas.

Contoh :
6). Tentukan luas segitiga ABC berikut!

Penyelesaian :
$ \begin{align} \text{ Luas ABC } = \frac{1}{2}AC.AB.\sin A = \frac{1}{2}.6.8 . \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.6.8 . \frac{1}{2} = 12 \end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC merupakan 12 satuan luas.

Luas Segitiga Diketahui ketiga sisinya
Untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya, rumusnya disebut rumus Heron. Perhatikan segitiga berikut.

Luas segitiga ABC merupakan $ \begin{align} L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align} $
dengan $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2} \times \text{ (keliling segitiga ABC)} $

Pembuktian Rumus Heron :
*). Pada segitiga ABC berlaku hukum Cosinus sudut A
$ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} \, $ ….pers(i)
*). Bentuk pemfaktoran : $ P^2 – Q^2 = (P+Q)(P-Q) $
*). Identitas Trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 – \cos ^2 A $
*). Menentukan bentuk $ \sin A \, $ dari pers(i), pemfaktoran, dan identitas
Serta misalkan : $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $
$ \begin{align} \sin ^2 A & = 1 – \cos ^2 A \\ \sin ^2 A & = (1 – \cos A )(1 + \cos A ) \\ & = \left(1 – \frac{b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} \right) \left(1 + \frac{b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{2bc – b^2 – c^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{-(b-c)^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2}{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{ a^2 -(b-c)^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2 }{2bc} \right) \\ & = \left( \frac{ (a-b+c)(a+b-c) }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c-a)(b+c+a) }{2bc} \right) \\ & = \frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{4b^2c^2} \\ & = \frac{ (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{4b^2c^2} \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{ 4(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{2.2.2.2.b^2c^2} \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c-a}{2} \right) \left( \frac{a+c-b}{2} \right) \left( \frac{a+b-c}{2} \right) \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c+a – 2a}{2} \right) \left( \frac{a+c+b-2b}{2} \right) \left( \frac{a+b+c-2c}{2} \right) \\ & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{b+c+a}{2}-a \right) \left( \frac{a+c+b}{2} -b \right) \left( \frac{a+b+c}{2} -c \right) \\ \sin ^2 A & = \frac{4}{b^2c^2}. \left( s \right) \left( s-a \right) \left( s -b \right) \left( s -c \right) \\ \sin A & = \sqrt{ \frac{4}{b^2c^2}. \left( s \right) \left( s-a \right) \left( s -b \right) \left( s -c \right) } \\ \sin A & = \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align} $
*). Luas segitiga ABC memakai sudut A :
$ \begin{align} L & = \frac{1}{2}.AB.AC. \sin A \\ & = \frac{1}{2}.c.b. \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ & = \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiganya.

Baca Juga:   Rumus Trigonometri Untuk Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Contoh :
7). Tentukan luas segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ s $ :
diketahui nilai $ a = 6, \, b = 4, \, c = 8 $
$ s = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2}(6 + 4 + 8 ) = 9 $
*). Luas segitiga memakai rumus Heron.
$ \begin{align} L & = \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ L & = \sqrt{ 9. (9-6)(9-4)(9-8) } \\ L & = \sqrt{ 9. 3.5.1 } \\ L & = 3\sqrt{ 15 } \end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC merupakan $ 3\sqrt{ 15 } \, $ satuan luas.

Silahkan juga baca artikel penerapan trigonometri pada berdiri datar segi-n beraturan pada artikel berjudul :”Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan