Pengenalan Matriks

Posted on

         Pondok Soal.comMatriks merupakan salah satu materi wajib yang dipelajari oleh siswa di tingkat SMA. Materi matriks ini berdasarkan admin cukup mudah, hanya saja butuh kesabaran dan ketelitian dalam melaksanakan penghitungan pada matriks. Pada pengenalan matriks ini kita akan mempelajari sedikit materi adalah :

Isi Materi matriks :

         Materi Pengenalan Matriks ini hanya membahas hingga kesamaan dua matriks, artinya sub materi menyerupai operasi hitung, determinan dan invers, serta penerapan matriks akan kita bahas pada artikel lainnya. Pengenalan matriks ini sangat penting bagi kita dalam mempelajari matriks secara matematis sebagai pendahuluan untuk pengetahuan kita wacana matriks.

         Matriks secara umum akan melibatkan angka-angka atau aljabar yang disusun dalam entri-entri tertentu (letaknya pada baris dan kolom ke-$(i,j)$ ). Dalam mempelajari matriks, kita harus teliti lantaran apabila salah satu unsur saja maka akan mengakibatkan kesalahan pada komponen yang lainnya. Ini akan memaksa kita untuk melaksanakan penghitungan ulang, dan tentu itu akan sangat membutuhkan waktu yang tak sedikit.

         Berikut penterangan masing-masing,

Definisi Matriks
       Matriks merupakan susunan bilangan yang diatur berdasarkan hukum baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.

Biasanya pelabelan suatu matriks dinyatakan dengan abjad kapital, contohnya A, B, C, D, …, dan seterusnya. Misalkan berikut ada matriks A,

keterangan : $a_{ij} \, $ bilangan real, menyatakan elemen matriks pada baris ke-$i \, $ dan kolom ke-$j, \, i = 1,2,3,…,m; \, j = 1,2,3,…,n. $
$A_{m \times n} \, $ : $ \, m \, $ menyatakan kaya baris matriks A dan $ \, n \, $ menyatakan kaya kolom matriks A.

Ordo Matriks
       Ordo (ukuran) matriks menyatakan ukuran kayanya baris dan kolom suatu matriks, yang biasanya dinotasikan dengan $ m \times n \, $ (baris $ \times \, $ kolom) , dimana $ m \, $ menyatakan kaya baris dan $ n \, $ menyatakan kaya kolom.

tumpuan – tumpuan matriks,

Contoh 1

Berikut tumpuan matriks
a). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 7 & 5 \end{matrix} \right) $
Matriks $ A \, $ berordo $ 2 \times 3 \, $ artinya kaya baris ada 2 dan kolom ada 3.
nilai elemen baris 1 kolom 1 merupakan 3 ($a_{11}=3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 merupakan -1 ($a_{12}=-1$)
nilai elemen baris 1 kolom 3 merupakan 0 ($a_{13}=-1$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 merupakan 1 ($a_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 merupakan 7 ($a_{22}=7$)
nilai elemen baris 2 kolom 3 merupakan 5 ($a_{23}=5$)

b). Matriks $ P = \left[ \begin{matrix} -3 & 4 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right] $
Matriks $ P \, $ berordo $ 2 \times 2 \, $ artinya kaya baris ada 2 dan kolom ada 2.
nilai elemen baris 1 kolom 1 merupakan -3 ($p_{11}=-3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 merupakan 4 ($p_{12}=4$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 merupakan 1 ($p_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 merupakan 6 ($p_{22}=6$)

Baca Juga:   Sifat- Sifat Determinan Dan Invers Matriks

Contoh 2

Tentukan matriks $ 2 \times 2 \, $ , dengan $ B = [b_{ij}] \, $ yang memenuhi kondisi $ b_{ij} = j^{(i+1)} $ !
Penyelesaian : Misalkan matriksnya yaitu
Matriks $ B_{2 \times 2 } = \left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right] $
Dengan kondisi $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai elemennya dengan $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$ b_{11} = 1^{(1+1)} = 1^2 = 1 $
$ b_{12} = 2^{(1+1)} = 2^2 = 4 $
$ b_{21} = 1^{(2+1)} = 1^3 = 1 $
$ b_{22} = 2^{(2+1)} = 2^3 = 8 $
Jadi, matriks yang dimaksud merupakan $ B = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 1 & 8 \end{matrix} \right] $

         Berikut sedikit jenis matriks yang dimaksud

a). Matriks Baris
         Matriks baris merupakan matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo matriks menyerupai ini, $ 1 \times n, \, $ dengan $ n \, $ kaya kolomnya.

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 0 & -10 & 3 & 15 \end{matrix} \right] \, $

b). Matriks Kolom
         Matriks kolom merupakan matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom berordo $ m \times 1, \, $ dengan $ m \, $ kaya barisnya.

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} -7 \\ 2 \\ 21 \end{matrix} \right] \, $

c). Matriks Persegi (bujur sangkar)
         Matriks persegi merupakan matriks yang memiliki kaya baris dan kolom sama. Matriks ini terdapat ordo $ n \times n. $

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 51 & 3 \\ 31 & 100 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \\ 9 & 10 & 12 \end{matrix} \right] \, $
catatan :
*). Pada matriks ada istilah diagonal utama (primer) dan diagonal samping (sekunder) menyerupai matriks berikut ini,

*). Pada matriks persegi ada istilah “Trace”. Trace dari matriks merupakan jumlahan elemen-elemen diagonal utama
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 7 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 1 \\ 9 & 10 & 12 \end{matrix} \right] \, $
Trace(A) = 1 + 5 = 6, dan Trace(B) = 7 + 6 + 12 = 35.

d). Matriks Segitiga
         Matriks segitiga merupakan matriks bujur kandang yang elemen-elemen di bawah atau di atas elemen diagonal utama bernilai nol. Jika yang bernilai nol merupakan elemen-elemen di bawah elemen diagonal utama maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tak disyaratkan bahwa elemen diagonal utama harus bernilai tak nol.

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 9 \end{matrix} \right] \, $

e). Matriks Diagonal
         Matriks diagonal merupakan matriks persegi dengan pola semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama.

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \, $

f). Matriks skalar
         Matriks skalar merupakan matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai sama.

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right] \, $

g). Matriks Identitas
         Jika suatu matriks persegi semua elemen diagonal utamanya merupakan 1 dan unsur yang lainnya semua nol disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai $ I \, $ berordo $ n \times n. $

Contohnya : $ I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] , \, I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \, $ dan $ I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \, $

h). Matriks Nol
         Jika semua elemen suatu matriks semuanya bernilai nol disebut matriks nol.

Contohnya : $ O = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] , \, O = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \, $ dan $ O = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \, $

i). Matriks Simetri
         Matriks A disebut simetris apabila dan hanya apabila $ A = A^t $
(matriksnya sama dengan transposenya)

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, $ trasposenya : $ A^t = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] $
ini berarti matriks A merupakan matriks simetri.

j). Matriks Ortogonal
         Matriks A orthogonal apabila dan hanya apabila $ A^t = A^{-1} $
$ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks A, untuk materi invers matriks sanggup anda baca artikel “Determinan dan Invers Matriks”

Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] , \, $ trasposenya : $ A^t = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] , \, $ inversnya : $ A^{-1} = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] $

Baca Juga:   Penerapan Matriks Pada Spl

lantaran $A^t = A^{-1} , \, $ maka matriks A merupakan matriks ortogonal.

         Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Dengan adanya transpose maka ordo matriksnya juga berubah, misalkan awalnya ordo matriks $ m \times n \, $ dan sesudah di transpose ordo berubah menjadi $ n \times m $ .
         Untuk simbol transpose biasanya memakai pangkat $ t \, $ atau $ T \, $ . Misalkan ada matriks A, transpose matriks A merupakan $ A^t \, $ atau $ A^T . \, $ Jika tak memakai abjad $ t \, $ , biasanya akan diberikan keterangan bahwa yang digunakan tersebut merupakan melambangkan transpose, misalkan $ \overline{A} \, $ atau $ A^\prime $ .

Contohnya :
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 6 & 9 \end{matrix} \right]_{2 \times 3}, \, $ transposenya $ \, A^t = \left[ \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \\ 2 & 9 \end{matrix} \right]_{3 \times 2} \, $
$ B = \left[ \begin{matrix} -4 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2}, \, $ transposenya $ \, B^t = \left[ \begin{matrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2} \, $
$ C = \left[ \begin{matrix} 2 & 7 & 8 \end{matrix} \right]_{1 \times 3}, \, $ transposenya $ \, C^t = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 8 \end{matrix} \right]_{3 \times 1} \, $

Sifat – sifat transpose matriks
1). $( A^t)^t = A $
2). $ (A + B)^t = A^t + B^t $
3). $ (A – B)^t = A^t – B^t $
4). $ (AB)^t = B^tA^t $
5). $ (kA)^t = k(A)^t $

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), apabila dan hanya apabila:
i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B sama, $a_{ij} = b_{ij} \, $ (untuk semua nilai $ i \, $ dan $ j \, $).

Contoh 3

Diantara matriks – matriks berikut, manakah yang sama !
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, C = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 9 \end{matrix} \right] $
$ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, Q = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, R = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 9 \end{matrix} \right] $
Penyelesaian :
Matriks yang sama merupakan $ A = Q \, $ dan $ B = P $

Contoh 4

Diketahui matriks – matriks
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y – 1 \\ 3x + z – 2 \end{matrix} \right) $
Jika $ A^t = B , \, $ maka tentukan nilai $ x + y + z $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Menentukan transposenya :
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) \Rightarrow A^t = \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x, y, z $
$ \begin{align} A^t & = B \\ \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y – 1 \\ 3x + z – 2 & 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Diperoleh persamaan :
$ 2x + 4 = 6 \rightarrow 2x = 6- 4 \rightarrow 2x = 2 \rightarrow x = 1 $
$ y – 1 = 3 \rightarrow y = 4 $
$ 3x + z – 2 = 2 \rightarrow 3.1 + z – 2 = 2 \rightarrow z = 1 $
sesampai lalu nilai $ x + y + z = 1 + 4 + 1 = 6 $

         Pada Pengenalan matriks ini kita hanya mempelajari materi dasarnya saja. Meskipun demikian, pengenalan matriks ini sangat penting bagi kita, terutama bagi pemula yang ingin menguasai materi matriks dengan gampang dan benar. Soal-soal Matriks biasanya kerap keluar untuk ujian nasional inginpun untuk tes seleksi masuk akademi tinggi. Jadi, matriks ini sanggup kita sasaran untuk mendulang nilai lantaran materinya gampang , hanya saja butuh ketelitian lebih untuk mengerjakan soal-soalnya. Dengan kaya berlatih baik teori inginpun soalnya, kita niscaya akan dapat.