Pengertian Dan Rumus Dasar Untuk Integral Tak Tentu

Posted on

-Integral Tak Tentu. Integral merupakan bentu operasi matematika yang menyatakan kelabikan dari differensial atau turunan sesampai kemudian disebut juga sebagai anti diferensial. Dalam operasi integral terdapat notasi integral dan notasi variabel integrasi. Berdasarkan ada taknya batas untuk variabel integrasi, secara umum integral dibedakan menjadi dua jenis, ialah intgeral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral). Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas pengenalan dasar seputar kedua jenis integral ini. Pada materi berguru ini, akan dibahas bagaimana hukum dan rumus dasar dari integral tak tentu.

A. Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu merupakan bentuk integral yang variabel integrasinya tak terdapat batas sesampai kemudian integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan kaya kecukupan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsi F memuat konstanta real sembarang. Konstanta sembarang ini umumnya disimbolkan dengan abjad c dan menjadi ciri dari hasi integrasi tak tentu.

Mengapa hasil integral tak tentu terdapat kaya kecukupan dan hanya berupa solusi umum? Hasil integral tak tentu disebut demikian lantaran memang tak sanggup dipastikan fungsi mana yang merupakan integral dari suatu integran. Integran merupakan istilah untuk sebuah fungsi yang akan ditarik integralnya. Untu lebih terangnya, mari baca ulasan berikut ini.

Sebagaimana defenisinya, integral intinya merupakan operasi balikan dari turunan (diferensial). Maksudnya, apabila f(x) merupakan turunan dari F(x), maka kita sanggup memilih F(x) dengan cara mengintegralkan f(x). Akan tenamun, pada kenyataannya, dikala f(x) diintegralkan maka akhirnya tak hanya berupa F(x) melainkan mempunyai kandungan suatu tetapan ialah c.

 Integral merupakan bentu operasi matematika yang menyatakan kelabikan dari differensial a PENGERTIAN DAN RUMUS DASAR UNTUK INTEGRAL TAK TENTU

Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah fungsi, katakan F(x) = 3x2. Jika f(x) merupakan turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x2)/dx
⇒ f(x) = 6x

Kemudian diberikan juga fungsi kedua dalam variabel x, contohnya F(x) = 3x2 + 4. Jika f(x) merupakan turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x2 + 4)/dx
⇒ f(x) = 6x

Baca Juga:   Menentukan Akar Dengan Melengkapi Kuadrat Sempurna

Nah, pada kedua proses diferensiasi (menurunkan) di atas, sanggup dilihat bahwa kedua fungsi tersebut menghasilkan turunan yang sama, ialah sama-sama 6x.

Jika berpatokan pada fungsi pertama F(x) = 3x2, maka hasil dari integral 6x merupakan :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x2

Sebaliknya, apabila berpatokan pada fungsi kedua F(x) = 3x2 + 4, maka integral dari 6x merupakan:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x2 + 4

Dari kedua proses integrasi di atas, sanggup kita lihat bahwa integral dari 6x ternyata tak menghasilkan satu tanggapan yang pasti, lantaran sanggup saja jawabannya merupakan 3x2 atau 3x2 + 4. Jawaban dari integral 6x juga sanggup saja fungsi lain contohnya 3x2 + 10, 3x2 – 6, dan sebagainya. Oleh lantaran itu, tanggapan dari integral tak tentu hanya sanggup ditulis sebagai penyelesaian umum dengan menambahkan suatu tetapan integrasi c.

Dengan demikian, apabila f(x) merupakan turunan dari F(x), maka hasil integrasi dari f(x) sanggup ditulis sebagai berikut:

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
∫ = notasi integral tak tentu
f(x) = integran atau fungsi yang akan ditarik integralnya
dx = variabel integrasi
F(x) = fungsi umum penyelesaian
c = tetapan atau konstanta integrasi.

B. Aturan dan Rumus Dasar Integral

Pada dasarnya hasil integral dari suatu fungsi sanggup ditentukan dengan cara menerka proses turunannya. Untuk fungsi yang simpel, cara ini sanggup saja berhasil. Akan tenamun, untuk fungsi yang lebih kompleks tentu saja akan sangat sulit untuk meruntut proses turunannya biar diperoleh integrasinya. Oleh lantaran itu, dalam penyelesaian integral terdapat sedikit hukum dasar yang sanggup dijadikan sebagai patokan untuk menuntaskan problem integral.

#1 Integral Tak Tentu Suatu Konstanta
Diberikan sebuah fungsi F(x) = kx. Jika f(x) merupakan turunan dari F(x), maka f(x) = k. Dengan demikian, integral dari k akan mempunyai kandungan penyelesaian umum ialah kx + c. Jika fungsi yang akan diintegralkan (integran) tak mempunyai kandungan variabel atau hanya berupa konstanta, maka hasil integralnya akan mengikuti rumus dasar berikut ini:

Baca Juga:   Menentukan Panjang Busur Dengan Integral
∫ k dx = kx + c

Keterangan :
k = konstanta atau bilangan tertentu
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil integral dari sedikit bentuk di bawah ini:
(a). ∫ 6 dx      (b). ∫ 8 dy       (c). ∫ 4 dt

Pembahasan :
Sesuai dengan hukum dasar untuk fungsi konstanta, maka diperoleh:
a). ∫ 6 dx = 6x + c
b). ∫ 8 dy = 8y + c
c). ∫ 4 dt = 4t + c

#2 Integral Tak Tentu Fungsi Pangkat
Integral tak tentu dari suatu fungsi pangkat sanggup diartikan sebagai fungsi pangkat lain yang diperoleh dari integran dengan cara menambah pangkatnya dengan 1 dan membagi pernyataan yang dihasilkan dengan pangkat gres tersebut. Dengan kata lain, apabila integran berbentuk fungsi pangkat, maka hasil integralnya mengikuti rumus dasar berikut:

∫ xn dx = 1  xn+1 + c
n + 1

Keterangan :
xn = bilangan atau fungsi pangkat
n = pangkat dari variabel x
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ x4 dx

Pembahasan :
Sesuai dengan rumus dasar untuk fungsi pangkat di atas, n = 4, maka:
⇒ ∫ x4 dx = 1/(4+1) . x4+1 + c
⇒ ∫ x4 dx = 1/5 . x5 + c
⇒ ∫ x4 dx = 1/5 x5 + c

#3 Integral Tak Tentu Konstanta Kali Fungsi
Aturan ketiga ini merupakan perpaduan antara hukum pertama dan hukum kedua. Jika fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) merupakan hasil kali konstanta dan fungsi, maka hasil integralnya sanggup ditentukan dengan memakai rumus dasar berikut ini:

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
∫ k xn dx = k 1  xn+1 + c
n + 1

Keterangan :
k = konstanta
n = pangkat dari variabel x.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut ini : ∫ 4 x3 dx

Pembahasan :
Dari soal diketahui k = 4 dan n = 3, maka sesuai rumus diperoleh:
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 ∫ x3 dx =
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 . 1/(3+1) . x3+1 + c
⇒ ∫ 4 x3 dx = 4 . 1/4 . x4 + c
⇒ ∫ 4 x3 dx = x4 + c

#4 Integral Tak Tentu Penjumlahan Fungsi
Aturan berikutnya merupakan untuk integran yang berbentuk penjumlahan dua fungsi. Misalkan diberikan dua buah fungsi dengan variabel yang sama ialah f(x) dan g(x), maka hasil integral dari penjumlahan fungsi tersebut sanggup diselesaikan dengan mengikuti rumus berikut:

Baca Juga:   Rumus Memilih Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
∫ {f(x) − g(x)} dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx

Keterangan :
f(x) = fungsi pertama dalam variabel x
g(x) = fungsi kedua dalam variabel x.

Contoh : 
Tentukan hasil dari integral tak tentu berikut : ∫ (4x3 + 2x) dx

Pembahasan :
Jika fungsi di atas diuraikan maka diperoleh f(x) = 4x3 dan g(x) = 2x.
⇒ ∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = ∫ 4x3 dx + ∫ 2x dx
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = {4 . 1/(3+1) . x3+1 + c1} + {2 . 1/(2+1) . x1+1 + c2}
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = {4 . 1/4 . x4 + c1} + {2 . 1/2 . x2 + c2}
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = (x4 + c1) + (x2 + c2)
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = x4 + x2 + c1 + c2
⇒  ∫ (4x3 + 2x) dx  = x4 + x2 + c.

#5 Integral Tak Tentu Kebalikan Variabel
Jika integran merupakan bentuk kebalikan dari variabel fungsi (variabel pangkat negatif 1), maka hasil integral dari fugsi tersebut sanggup diperoleh berdasaran hukum dasar berikut ini.

∫ x-1 dx = ln |x| + c

Keterangan :
x = variabel fungsi
ln = logaritma natural
| | = nilai mutlak dari variael x.

Demikianlah pembahasan singkat seputar pengertian dan rumus dasar untuk integral tak tentu. Jik materi berguru ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.