Pengertian Komposisi Transformasi Geometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel sebelumnya kita telah membahas artikel transformasi geometri yang terdiri dari sedikit jenis yaitu translasi, dilatasi, rotasi, refleksi, regangan dan gusuran. Hanya saja pada artikel tersebut kita mebahasnya secara sendiri-sendiri, maksudnya hanya terjadi satu kali transformasi yaitu translasi saja satu kali, dilatasi satu kali, dan yang lainnya. Nah, pada artikel ini kita akan mulai mengenal transformasi geometri yang terjadi lebih dari satu kali. Suatu bangkit atau benda dikenakan transformasi lebih dari satu kali kita sebut sebagai Pengertian Komposisi Transformasi Geometri.

         Komposisi Transformasi Geometri merupakan transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali atau sanggup kita sebut sebagai gabungan transformasi. Misalkan suatu titik A dilakukan transformasi pertama yaitu dilatasi menghasilkan bayangan $ A^\prime $, sesudah itu dilanjutkan lagi hasilnya dengan transformasi kedua yaitu pencerminan menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } $, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime} $ , begitu seterusnya.

Simbol Penulisan Komposisi Transformasi Geometri
       Misalkan ada suatu bangkit ditransformasi kita sebut saja $T_1$, dilanjutkan dengan transformasi kedua yaitu $T_2$, hasilnya dilanjutkan lagi ditransformasi ketiga $T_3$, dan dilanjutkan lagi transformasi yang keempat $T_4$, semuanya ini sanggup kita tulis dalam bentuk simbol komposisi transformasi yaitu $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $.

       Ingat, bentuk $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dimulai dari $T_1$ dahulu, kemudian $ T_2$, kemudian $T_3$, dan terakhir $T_4$ (dibalik pengerjaannya).

Contoh Soal Komposisi Transformasi Geometri :
1). Misalkan $T_1$ menyatakan transformasi berupa dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $, dan $ T_2 $ menyatakan trasformasi berupa pencerminan terhadap sumbu X. Tentukan bayangan titik A(1,5) apabila dilakukan komposisi transformasi berupa :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
b). $ T_1 \circ T_2 $.

Penyelesaian :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
Bentuk $ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan $T_1$ dahulu gres dilanjutkan $T_2$.
*). Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Translasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian bayangan titik A oleh $T_1$ merupakan $ A^\prime (4,3) $.
*). Titik $ A^\prime (4,3) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya merupakan $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Refleksi atau pencerminan pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_2$ merupakan $ A^{\prime \prime } (4,-3) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_2 \circ T_1 $ merupakan $ A^{\prime \prime } (4,-3) . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Komposisi Rotasi Sepusat

b). $ T_1 \circ T_2 $.
Bentuk $ T_1 \circ T_2 $ artinya dilakukan $T_2$ dahulu gres dilanjutkan $T_1$.
*). Titik $ A (1,5) $ kita Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya merupakan $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian bayangan titik A oleh $T_2$ merupakan $ A^\prime (1, -5) $.
*). Titik $ A^\prime (1 , -5) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_1$ merupakan $ A^{\prime \prime } (4,-7) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_1 \circ T_2 $ merupakan $ A^{\prime \prime } (4,-7) . \, \heartsuit $.

Catatan :
Hasil bayangan oleh komposisi transformasi $ T_2 \circ T_1 $ tak sama dengan $ T_1 \circ T_2 $, ini terjadi memang alasannya yaitu menurut urutan pengerjaan transformasinya. Penting untuk kita ingat, Urutan pengerjaan Transformasi besar lengan berkuasa pada hasil bayangan akhirnya.

2). Misalkan Persamaan garis $ 2x – 3y = 5 $ ditransformasi berupa dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, kemudian hasilnya dilanjutkan lagi dengan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $. Tentukan simbol komposisi transformasinya dan tentukan bayangan selesai dari persamaan garis tersebut!

Baca Juga:   Translasi Pada Transformasi Geometri

Penyelesaian :
*). Menentukan simbol komposisi transformasinya :
Misalkan :
$T_1 $ menyatakan transformasi yang pertama yaitu dilatasi, dan $T_2$ menyatakan transformasi yang kedua yaitu rotasi, sesampai kemudian simbol komposisi transformasinya merupakan $ T_2 \circ T_1 $.
*). Kita kerjakan $ T_1 $ dahulu : dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, matriksnya $ \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) $.
silahkan baca : Dilatasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita lanjutkan dengan $ T_2 $ : rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $, matriksnya
$ \left( \begin{matrix} \cos \theta & – \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & – \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
silahkan baca : Rotasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bentuk selesai yaitu :
$ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) $
artinya :
$ x^{\prime \prime } = -4y \rightarrow y = – \frac{1}{4} x^{\prime \prime } $
$ y^{\prime \prime } = 4x \rightarrow x = \frac{1}{4} y^{\prime \prime } $.
*). Kita substitusi bentuk terakhir yang kita peroleh ke persamaan awalnya sesampai kemudian kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x – 3y & = 5 \\ 2(\frac{1}{4} y^{\prime \prime } ) – 3(- \frac{1}{4} x^{\prime \prime }) & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2 y^{\prime \prime } + 3 x^{\prime \prime } & = 20 \\ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } & = 20 \\ \end{align} $
sesampai kemudian bayangannya merupakan $ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } = 20 $ atau $ 3 x + 2 y = 20 $.
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ 3 x + 2 y = 20 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Transformasi Geometri Luas Bangkit Datar

       Submateri yang akan kita perlajari yang berkaitan dengan komposisi transformasi geometri yaitu :
*). Komposisi Transformasi dengan Matriks,
*). Komposisi Translasi,
*). Komposisi Pencerminan garis vertikal atau horizontal,
*). Komposisi Pencerminan dua garis sembarang,
*). Komposisi Dilatasi,
*). Komposisi Rotasi sepusat.

       Demikian pembahasan bahan Pengertian Komposisi Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca submateri yang terkait dengan komposisi transformasi dengan mengikuti link di atas atau mengikuti artikel terkait di bab bawah setiap artikel. Semoga bahan ini bermanfaat, Terima Kasih.