Pengertian Limit Fungsi

Posted on

         Pondok Soal.com – Dalam kehidupan sehari-hari, kerapkali kita mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Messi hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 110 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit. Pada artikel ini kita akan mempelajari Pengertian Limit Fungsi. Limit Fungsi yang dimaksud merupakan “limit fungsi aljabar” dan “limit fungsi trigonometri” yang akan dibahas pada artikel lainnya. Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Berikut merupakan notasi limit.

Definisi/Pengertian Limit Fungsi
       Berikut definisi/pengertian dari limit fungsi :
Misalkan $ f $ sebuah fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ apabila dan hanya apabila $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $ .

Cara Membaca notasi limit fungsi :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $ .

Penyelesaian limit fungsi
       Untuk memilih nilai limit suatu fungsi, ada sedikit cara :
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan

Pada artikel Pengertian limit fungsi ini, kita akan memakai metode numerik saja. Metode numerik maksudnya suatu metode penghitungan limit dengan cara substitusi dari ruas kiri dan ruas kanan dengan sedikit angka yang kita daftar dalam bentuk tabel. Hanya saja cara ini kurang efektif lantaran akan memakan waktu yang lebih usang untuk membuat suatu tabel.

Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi $ f(x) = x + 1 \, $ untuk $ x \, $ mendekati 2?
Penyelesaian :
*). Bentuk soal sanggup ditulis : $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x + 1) = … ? $
*). Dengan metode numerik, kita pilih nilai $ x \, $ yang mendekati 2 dari kiri dan kanan kemudian kita substitusi ke fungsi $ (x + 1) $ , karenanya terlihat pada tabel berikut.

*). Dari tabel di atas, terlihat bahwa dari ruas kiri 2, nilai fungsinya mendekati 2,999 . Dan dari ruas kanan 2, nilai fungsinya mendekati 3,001. Ini artinya nilai limit fungsi $ f(x) = x+1 \, $ untuk $ x $ mendekati 2 merupakan 3. Sesampai kemudian nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x + 1) = 3 $ .
*). Berikut grafik beserta nilai limitnya.

Syarat suatu Fungsi Mempunyai Limit di titik tertentu
       Suatu limit dikatakan ada apabila limit tersebut terdapat limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri merupakan pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan merupakan pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .
Artinya, apabila nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .
Baca Juga:   Penyelesaian Limit Fungsi Trigonometri

Berikut deskripsi ada taknya limit suatu fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati $ c $ .

Dari gambar grafik di atas,
*). Gambar A : memiliki limit lantaran limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar B : tak memiliki limit lantaran limit kiri tak sama dengan limit kanan.
*). Gambar C : memiliki limit lantaran limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar D : tak memiliki limit lantaran limit kiri tak sama dengan limit kanan.

Contoh :
2). Apakah fungsi berikut ini memiliki limit atau tak :
$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{apabila} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{apabila} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1.?
penyelesaian :
*). Keterangan fungsi :
Jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $
Jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $
*). Tabel pendekatan dari kiri dan dari kanan untuk $ x \, $ mendekati 1.

*). Analisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel.
Limit Kiri : dari kiri mendekati satu, nilai limitnya mendekati 0,998 = 1 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-} } f(x) = 1 $
Limit Kanan : dari kanan mendekati satu, nilai limitnya mendekati 2,001 = 2 atau $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = 2 $
Karnena nilai limit kiri dan kananya tak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{apabila} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{apabila} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tak memiliki limit.
*). Grafik fungsi $ f(x) $ untuk $ x \, $ mendekati 1.

Jadi, fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{apabila} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{apabila} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tak memiliki limit.