Pengertian Vektor Dan Penulisannya

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan mempelajari bahan Pengertian Vektor dan Penulisannya . “Materi vektor” merupakan salah satu bahan yang dipelajari dalam pelajaran Matematika dan pelajaran Fisika. Untuk Matematika, vektor mulai dipelajari pada jenjang SMA. Nah, pada Pondok Soal.com ini, kita akan mempelajari bahan vektor secara Matemenonaktifkanya. Pengertian Veketor secara Fisika merupakan besaran yang memiliki besar dan arah. Besaran yang hanya terdapat besar saja disebut skalar. Sementara Pengertian Vektor secara Matematika merupakan ruas garis berarah yang panjangnya merupakan jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya merupakan arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya. Perhitungan vektor secara Matematika merupakan perpaduan antara aljabar dan geometri namun penekanannya lebih kaya ke aljabarnya dari pada geometrinya. Salah satu tumpuan vektor dalam kehidupan sehari-hari merupakan terjadi pada olahraga lempar lembing ibarat pada gambar berikut ini.

         Pernahkah sobat semua melihat lembing yang meluncur di udara dikala dilempar oleh atlet lempar lembing? Lembing tersebut meluncur dengan kecepatan dan arah tertentu sesuai dengan harapan sang atlet. Dalam matematika, lembing yang meluncur ini mewakili sebuah vektor, yaitu ruas garis berarah atau secara Fisika yaitu suatu besaran yang terdapat besar dan arah. Dari tumpuan ini, sanggup kita simpulkan bahwa vektor baik secara Matematika inginpun Fisika sebetulnya sama, hanya saja penitikberatan yang akan dibahas saja yang berbeda pada masing-masing pelajaran tersebut. Dan apabila ditinjau dari Pengertian Vektornya juga terdapat kesamaan makna.

         Lalu bagaimana dengan Penulisan vektornya? Sebuah vektor merupakan sebuah garis berarah yang terdapat titik pangkal (titik asal) dan titik ujung (titik terminal). Vektor yang pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B diberi lambang dengan “$\vec{AB}$”. Panjang vektor $\vec{AB}$ ini dilambangkan dengan $|\vec{AB}|$. Selain cara di atas, sebuah vektor sanggup pula ditulis menggunakan:
*). abjad kecil yang dicetak tebal ibarat a,b,c, dan sebagainya. Misalkan vektor $\vec{AB}$ ditulis sebagai vektor p.
*). abjad kecil yang di atas abjad itu dibubuhi tanda panah. Misalkan vektor $\vec{AB}$ ditulis sebagai vektor $ \vec{p} $.

       Penulisan vektor dengan memakai lambang panah di atas lebih kerap digunakan, alasannya yaitu mnggunakan goresan pena tangan, vektor yang dibubuhi tanda panah lebih gampang dituliskan daripada yang dicetak tebal. Namun teman-teman bebas menentukan cara penulisan vektor tersebut.

Penulisan vektor secara aljabar
       Secara aljabar, vektor $ \vec{a} $ sanggup ditulis dalam bentuk matriks baris, atau matriks kolom, atau dalam vektor basis $ \vec{i}, \vec{j}$ , dan $ \vec{k} $. Jika diketahui koordinat titik pangkal dan titik ujung sebuah vektor, maka penulisannya sanggup kita tinjau dari dua hal yaitu :
1). Ruang dimensi Dua (R$^2$)
       Dalam runga dimensi dua, vektor dituliskan dalam dua komponen yaitu searah sumbu X dan searah sumbu Y. Misalkan vektor $ \vec{a} $ terdapat komponen $ a_1 $ searah sumbu X dan $ a_2 $ searah sumbu Y, maka vektor $ \vec{a} $ sanggup kita tulis menjadi :
$ \vec{a} = ( a_1, \, a_2 ) $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix} \right) $ atau $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} $.

Baca Juga:   Sifat Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor

2). Ruang dimensi Tiga (R$^3$)
       Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan yaitu sumbu X (arah depan atau belakang), sumbu Y (arah kanan atau kiri), dan sumbu Z (arah atas atau bawah). Misalkan vektor $ \vec{a} $ terdapat komponen $ a_1 $ searah sumbu X, $ a_2 $ searah sumbu Y, dan $ a_3 $ searah sumbu Z, maka vektor $ \vec{a} $ sanggup kita tulis menjadi :
$ \vec{a} = ( a_1, \, a_2 , \, a_3) $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix} \right) $ atau $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $.

Cara menentukan vektor secara aljabar
       Misalkan diketahui koordinat titik A dan titik B, maka vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BA} $ sanggup ditentukan dengan cara :
$ \vec{AB} = B – A $ dan $ \vec{BA} = A – B $
(Ujung dikurangkan pangkalnya).

       Misalkan titik $ A (a_1, a_2) $ dan $ B(b_1, b_2) $ pada ruang dimensi dua, maka
$ \vec{AB} = B – A = ( b_1 – a_1 , \, b_2 – a_2) $ dan
$ \vec{BA} = A – B = (a_1-b_1, \, a_2-b_2) $

       Misalkan titik $ A (a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2,b_3) $ pada ruang dimensi dua, maka
$ \vec{AB} = B – A = ( b_1 – a_1 , \, b_2 – a_2, \, b_3 – a_3) $ dan
$ \vec{BA} = A – B = (a_1-b_1, \, a_2-b_2, \, a_3 – b_3) $

Contoh Soal Pengertian Vektor dan Penulisannya :

1). Pada ruang dimensi Dua, segitiga ABC terdapat koordinat titik sudut masing-masing yaitu $ A(1,2) $ , $ B(-3,1) $ dan $ C(-2,-3) $. Tentukan vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BC} $ , dan vektor $ \vec{AC} $!
Penyelesaian :
*). Sesuai cara menentukan vektor secara aljabar yaitu titik ujung dikurangkan titik pangkalnya, maka kita peroleh :
$ \vec{AB} = B – A = ( -3 – 1 , \, 1 – 2) = ( -4, \, -1) $
$ \vec{BC} = C – B = ( -2-(-3) , \, -3 – 1) = ( 1, \, -4) $
$ \vec{AC} = C – A = ( -2-1 , \, -3 – 2) = ( -3, \, -5) $

Baca Juga:   Sifat Operasi Perkalian Dot Dan Perkalian Silang

2). Diketahui titik $ P(0,-1,3) $ dan $ Q(2,3,-1) $. Tentukan vektor $ \vec{PQ} $ dan $ \vec{QP} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ dan $ \vec{QP} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = Q – P = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 – 0 \\ 3 – (-1) \\ -1 – 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{matrix} \right) \\ \vec{QP} & = P – Q = \left( \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 – 2 \\ -1 – 3 \\ 3-(-1) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 4 \end{matrix} \right) \end{align} $

3). Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(2,0,1), B(-1,3,2), dan C(4,2,-5). Tentukan :
a). Vektor $ \vec{p} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B
b). Vektor $ \vec{q} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C
c). Vektor $ \vec{r} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C
Penyelesaian :
a). Vektor $ \vec{p} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka
$ \vec{p} = \vec{AB} = B – A = (-1-2, \, 3-0, \, 2-1) = (-3, \, 3, \, 1) $

b). Vektor $ \vec{q} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka
$ \vec{q} = \vec{BC} = C – B = (4-(-1), \, 2 – 3, \, -5-2) = (5, \, -1, \, -7) $

c). Vektor $ \vec{r} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka
$ \vec{r} = \vec{AC} = C – A = (4-2, \, 2-0, \, -5-1) = (2, \, 2, \, -6) $

4). Gambarkan vektor $ \vec{u} = (3 , \, 2) $ dan $ \vec{v} = (1, \, 3, \, 2) $ pada bidang koordinat Cartesius!
Penyelesaian :
*). Gambar vektor $ \vec{u} = (3 , \, 2) $ pada dimensi dua (R$^2$) dengan pangkal sentra koordinat :

*). Gambar vektor $ \vec{v} = (1, \, 3, \, 2) $ pada dimensi tiga (R$^3$) dengan pangkal sentra koordinat :

Catatan :
Untuk penulisan vektornya terserah teman-teman, apakah dalam bentuk matriks baris atau matriks kolom atau dalam vektor basis.

Baca Juga:   Vektor Basis Normal Standar

       Demikian pembahasan bahan Pengertian Vektor dan Penulisannya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Panjang Vektor dan Vektor Satuan “.