Penghitungan Dan Sifat-Sifat Integral Tertentu

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari jumlah Riemann dan teorema mendasar kalkulus, pada artikel ini kita akan khusus membahas bahan Penghitungan dan Sifat-sifat Integral Tertentu. Sebenarnya untuk cara penghitungan integral tertentu memakai teorema mendasar kalkulus II (TFK II) yang berlaku secara umum untuk semua jenis fungsi $ f(x) $.

         Dalam melaksanakan penghitungan integral tertentu bahwasanya gampang alasannya ialah cukup memasukkan batas atas dan batas bawahnya ke fungsi hasil integralnya. Jadi, tetap penekanannya pada integral Tak tentu. Maka dari itu, ada baiknya kita mempelajari dan menguasai cara mengintegralkan menyerupai integral fungsi aljabar, integral fungsi trigonometri, serta sedikit teknik integral yaitu substitusi aljabar, parsial, substitusi trigonometri, dan membagi penggalan yang sanggup dibaca pada artikel terkait bab selesai artikel ini. Setelah sanggup menghitung hasil bentuk tak tentu, gres kita masukkan batas-batasnya. Silahkan juga baca bahan “Apa Bedanya Integral Tertentu dan Tak Tentu“.

         Selain cara penghitungan integral tertentu, pada artikel ini kita akan bahas sifat-sifat integral tertentu yang sangat penting untuk kita ketahui dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan integral tertentu. Terkadang ada soal-soal yang memang mengharuskan kita memakai sifat-sifat integral tertentu untuk mengerjakannya, sesampai lalu harus kita kuasai dengan baik.

Penghitungan Integral Tertentu
       Untuk menghitung bentuk integral tertentu kita memakai teorema mendasar kalkulus II (TFK II),
Jika $ f $ kontinu pada $ [a, b] $ dan $ F $ antiturunan $ f $ pada $ [a, b]$,
maka berlaku :       $ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) – F(a) $

Contoh soal penghitungan integral tertentu :
1). Hitunglah hasil integral berikut ini :
a). $ \int 3x^2 – 4x + 1 dx $
b). $ \int \limits_0^2 3x^2 – 4x + 1 dx $

Penyelesaian :
a). Bentuk $ \int 3x^2 – 4x + 1 dx \, $ disebut integral tak tentu alasannya ialah tak ada batasnya.
Hasilnya : $ \int 3x^2 – 4x + 1 dx = \frac{3}{2+1}x^{2+1} – \frac{4}{1+1}x^{1+1} + x + c = x^3 – 2x^2 + x + c $.

b). Bentuk $ \int \limits_0^2 3x^2 – 4x + 1 dx \, $ disebut integral tertentu dengan batas bawah $ 0 \, $ dan batas atas $ 2 $.

*). Menghitung karenanya :
$ \begin{align} \int \limits_0^2 3x^2 – 4x + 1 dx & = [x^3 – 2x^2 + x]_0^2 \\ & = F(2) – F(0) \\ & = [2^3 – 2.2^2 + 2] – [0^3 – 2.0^2 + 0] \\ & = [8 – 8 + 2] – [0 – 0 + 0] \\ & = [ 2] – [0 ] \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^2 3x^2 – 4x + 1 dx = 2 $ .

2). Tentukan hasil integral dari
a). $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx $
b). $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx $

Penyelesaian :
a). $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx $
Integral fungsi trigonometri :
$ \int \sin x = -\cos x + c \, $ dan $ \int \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 2x $.
*). Menentukan karenanya :
$ \begin{align} \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx & = [-\cos x + \frac{1}{2} \sin 2x ]_0^{30^\circ} \\ & = [-\cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 2 . 30^\circ ] – [-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin 2. 0 ] \\ & = [-\cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 60^\circ ] – [-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin 0 ] \\ & = [-\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt{3} ] – [- 1 + 0 ] \\ & = [-\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sqrt{3} ] + 1 \\ & = [-\frac{2}{4}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sqrt{3} ] + 1 \\ & = [-\frac{1}{4}\sqrt{3} ] + 1 \\ & = 1 -\frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^{30^\circ} (\sin x + \cos 2x ) dx = 1 -\frac{1}{4}\sqrt{3} $ .

Baca Juga:   Volume Benda Putar Memakai Integral

b). $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx $

*). Integral substitusi aljabar, misalkan $ u = x^2 + 1 \rightarrow u^\prime = 2x $
$ \begin{align} \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx & = \int \limits_0^1 2x\sqrt{ u } \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int 2x\sqrt{ u } \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int 2x\sqrt{ u } \frac{du}{ 2x } \\ & = \int \sqrt{ u } du \\ & = \int u^\frac{1}{2} du \\ & = \frac{2}{3} u^\frac{3}{2} \\ & = [\frac{2}{3} (x^2 + 1) ^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [\frac{2}{3} (1^2 + 1) ^\frac{3}{2} ] – [\frac{2}{3} (0^2 + 1) ^\frac{3}{2} ] \\ & = [\frac{2}{3} (2) ^\frac{3}{2} ] – [\frac{2}{3} ( 1) ^\frac{3}{2} ] \\ & = [\frac{2}{3} 2^1 . (2) ^\frac{1}{2} ] – [\frac{2}{3} ] \\ & = [\frac{2}{3} 2 . \sqrt{2}] – [\frac{2}{3} ] \\ & = \frac{2}{3} ( 2 \sqrt{2} – 1) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^1 2x\sqrt{x^2 + 1 } dx = \frac{2}{3} ( 2 \sqrt{2} – 1) $ .

3). Jika diketahui $ \frac{df(x)}{dx} = g(x) \, $ kontinu pada interval $ p \leq x \leq q \, $ , maka hasil dari $ \int \limits_p^q f(x)g(x) dx $

Penyelesaian :
*). Bentuk $ \frac{df(x)}{dx} = g(x) \, $ artinya $ f^\prime (x) = g(x) $.
Misalkan $ u = f(x) \rightarrow u^\prime = f^\prime (x) = g(x) $
*). Menyelesaikan soalnya dengan substitusi aljabar :
$ \begin{align} \int \limits_p^q f(x)g(x) dx & = \int \limits_p^q u . g(x) \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int u . g(x) \frac{du}{g(x)} \\ & = \int u du \\ & = \frac{1}{2} u^2 + c \\ & = [\frac{1}{2} [f(x)]^2 ]_p^q \\ & = [\frac{1}{2} [f(q)]^2 ] – [\frac{1}{2} [f(p)]^2 ] \\ & = \frac{[f(q)]^2 – [f(p)]^2}{2} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_p^q f(x)g(x) dx = \frac{[f(q)]^2 – [f(p)]^2}{2} $ .

Sifat-sifat Integral Tertentu
       Adapun sifat-sifat integral tertentu yaitu :
1). $ \int \limits_a^b k f(x) dx = k \int \limits_a^b f(x) dx $
2). $ \int \limits_a^b [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
3). $ \int \limits_a^b [ f(x) – g(x) ] dx = \int \limits_a^b f(x) dx – \int \limits_a^b g(x) dx $
4). $ \int \limits_a^b f(x) dx = – \int \limits_b^a f(x) dx $
5). $ \int \limits_a^a f(x) dx = 0 $
6). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx \, , $ dengan $ a < c < b $
7). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx $
8). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx $

Contoh soal sifat-sifat integral tertentu :
4). Tentuk bentuk integral berikut menurut sifat-sifat integral tertentu :
a). $ \int \limits_1^5 3 (x^2- 1) dx $
b). $ \int \limits_1^5 x^3 + 2x dx $
c). $ \int \limits_1^5 x^3 – 2x dx $
d). $ \int \limits_1^5 x^5 + 2x – 1 dx $
e). $ \int \limits_1^1 x^5 + 2x – 1 dx $
f). $ \int \limits_1^9 (x^3 + 3x ) dx $
g). $ \int \limits_1^7 (x^3 + 3x ) dx $
h). $ \int \limits_{1000}^{1007} (x^3 + 3x ) dx $

Baca Juga:   Pembuktian Teorema Mendasar Kalkulus I Dan Ii

Penyelesaian :
a). Sifat (1) : $ \int \limits_1^5 3 (x^2- 1) dx = 3 \int \limits_1^5 (x^2- 1) dx $
b). Sifat (2) : $ \int \limits_1^5 x^3 + 2x dx = \int \limits_1^5 x^3 dx + \int \limits_1^5 2x dx $
c). Sifat (3) : $ \int \limits_1^5 x^3 – 2x dx = \int \limits_1^5 x^3 dx – \int \limits_1^5 2x dx $
d). Sifat (4) : $ \int \limits_1^5 x^5 + 2x – 1 dx = – \int \limits_5^1 x^5 + 2x – 1 dx $
e). Sifat (5) : $ \int \limits_1^1 x^5 + 2x – 1 dx = 0 $
f). Sifat (6) : $ \int \limits_1^9 (x^3 + 3x ) dx = \int \limits_1^5 (x^3 + 3x ) dx + \int \limits_5^9 (x^3 + 3x ) dx $
g). Sifat (7) : $ \int \limits_1^7 (x^3 + 3x ) dx = \int \limits_{1+5}^{7+5} ((x-5)^3 + 3(x-5) ) dx = \int \limits_{6}^{12} ((x-5)^3 + 3(x-5) ) dx $
h). Sifat (8) :
$ \begin{align} \int \limits_{1000}^{1007} (x^3 + 3x ) dx & = \int \limits_{1000-1000}^{1007 -1000} ((x+1000)^3 + 3(x+1000) ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} ((x+1000)^3 + 3(x+1000) ) dx \end{align} $

5). Jika $ \int \limits_1^b (2x – 3) dx = 12 \, $ dengan $ b > 0 \, $ , maka nilai $ b = …. $

Penyelesaian :
$ \begin{align} \int \limits_1^b (2x – 3) dx & = 12 \\ [x^2 – 3x ]_1^b & = 12 \\ [b^2 – 3b ] – [1^2 – 3.1 ] & = 12 \\ [b^2 – 3b ] – [1 – 3 ] & = 12 \\ b^2 – 3b – 10 & = 0 \\ (b +2)(b – 5) & = 0 \\ b = -2 \vee b & = 5 \end{align} $
Karena yang diminta merupakan $ b > 0 \, $ maka yang memenuhi merupakan $ b = 5 $.
Jadi, nilai $ b = 5 $.

6). Diketahui $ \int \limits_0^3 f(x) dx = -4 \, $ dan $ \int \limits_0^9 f(x) dx = 16 \, $ , tentukan nilai $ \int \limits_3^9 f(x) dx $

Penyelesaian :
*). Kita gunakan sifat (6) : $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx $
Kita pecah batas dari 0 hingga 9 menjadi dua bab yaitu 0 hingga 3 dan 3 samapi 9.
$ \begin{align} \int \limits_0^9 f(x) dx & = \int \limits_0^3 f(x) dx + \int \limits_3^9 f(x) dx \\ 16 & = -4 + \int \limits_3^9 f(x) dx \\ \int \limits_3^9 f(x) dx & = 16 + 4 \\ \int \limits_3^9 f(x) dx & = 20 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_3^9 f(x) dx = 20 $

7). Diketahui $ \int \limits_0^2 3f(x) dx = 6 \, $ dan $ \int \limits_4^2 4f(x) dx = 20 \, $ , tentukan nilai $ 5\int \limits_0^4 f(x) dx $

Penyelesaian :
*). Menyederhanakan yang diketahui dengan sifat (1) :
$ \int \limits_0^2 3f(x) dx = 6 \rightarrow 3 \int \limits_0^2 f(x) dx = 6 \rightarrow \int \limits_0^2 f(x) dx = \frac{6}{3} = 2 $
$ \int \limits_4^2 4f(x) dx = 20 \rightarrow 4 \int \limits_4^2 f(x) dx = 20 \rightarrow \int \limits_4^2 f(x) dx = \frac{20}{4} = 5 $
Sifat (4) : $ \int \limits_2^4 f(x) dx = – \int \limits_4^2 f(x) dx = -5 $
*). Kita gunakan sifat (6) : $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^b f(x) dx $
Kita pecah batas dari 0 hingga 4 menjadi dua bab yaitu 0 hingga 2 dan 2 samapi 4.
$ \begin{align} 5\int \limits_0^4 f(x) dx & = 5[ \int \limits_0^2 f(x) dx + \int \limits_2^4 f(x) dx ] \\ & = 5[ 2 + (-5) ] \\ & = 5[ -3 ] \\ & = -15 \end{align} $
Jadi, nilai $ 5\int \limits_0^4 f(x) dx = -15 $

Baca Juga:   Menentukan Persamaan Kurva Dengan Integral

8). Jika diketahui $ \int \limits_0^7 (x + 5) dx = a , \, $ maka nyatakan bentuk $ \int \limits_{1000}^{1007} (2x – 2005) dx \, $ dalam $ a $ .

Penyelesaian :
*). Kita akan mengarahkan pertanyaan yang diketahui dengan sifat (8)
$ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx $
*). Memodifikasi soalnya dengan kurangkan 1000 ada batasnya
$ \begin{align} \int \limits_{1000}^{1007} (2x – 2005) dx & = \int \limits_{1000-1000}^{1007-1000} (2(x+1000) – 2005) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x+2000 – 2005) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x – 5 ) dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2x + (10 – 10) – 5 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} (2x + 10 ) – 10 – 5 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2(x + 5 ) – 15 dx \\ & = \int \limits_{0}^{7} 2(x + 5 ) dx – \int \limits_{0}^{7} 15 dx \\ & = 2 \int \limits_{0}^{7} (x + 5 ) dx – [15x]_0^7 \\ & = 2 a – ([15.7] – [15.0]) \\ & = 2 a – ( 105 – 0 ) \\ & = 2 a – 105 \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \int \limits_{1000}^{1007} (2x – 2005) dx = 2 a – 105 $ .

9). Fungsi kecepatan dari suatu objek merupakan $ V(t) = \left\{ \begin{array}{cc} 3t & \text{ apabila } 0 \leq t \leq 1 \\ 3 & \text{ apabila } 1 \leq t \leq 6 \end{array} \right. $
Anggap objek berada pada titik (0,0) pada ketika $ t = 0 \, $ , carilah posisi objek pada ketika $ t = 5 $ ?

Penyelesaian :
*). Kita tahu bahwa $ V(t) = \frac{ds}{dt} \, $ , sesampai lalu $ s(t) = \int V(t) dt $.
*). Menentukan posisi benda pada ketika $ t = 5 $
$ \begin{align} s & = \int \limits_0^5 V(t) dt \\ & = \int \limits_0^1 3t dt + \int \limits_1^5 3 dt \\ & = [\frac{3}{2}t^2]_0^1 + [3t]_1^5 \\ & = ([\frac{3}{2}.1^2] – [\frac{3}{2}.0^2]) + ([3.5] – [3.1]) \\ & = ([\frac{3}{2}] – [0]) + ([15] – [3]) \\ & = (\frac{3}{2} ) + (12) \\ & = 13\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, posisi objek pada ketika $ t = 5 \, $ merupakan $ 13\frac{1}{2} \, $ satuan.

       Khusus untuk soal nomor 6, nomor 7 dan nomor 8 di atas wajib memakai sifat-sifat integral tertentu. Soal-soal yang melibatkan sifat-sifat integral tertentu memang terlihat lebih menantang terutama bentuk-bentuk menyerupai pola di atas. Dengan kerap berlatih dan teliti, kami yakin teman-teman sanggup menguasai bahan ini dengan baik dan benar.