Penjumlahan Dan Pengurangan Pada Vektor

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari sedikit bahan dasar perihal vektor menyerupai “pengertian vektor, panjang vektor dan vektor satuan, vektor posisi dan vektor nol, vektor basis, serta kesamaan dua vektor“, nah pada artikel ini kita akan membahas bahan operasi pada vektor, dan operasi pertama yang akan kita bahas merupakan Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor. Sebagaimana yang kita pelajari pada pengertian vektor, vektor sanggup disaapabilan dengan dua cara ialah secara aljabar dan secara geometri. Hal yang sama juga berlaku pada Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor dimana operasinya akan kita bagi menjadi dua ialah ‘Penjumlahan dan Pengurangan vektor secara aljabar’ dan ‘Penjumlahan dan Pengurangan vektor secara geometri’. Secara aljabar, pengerjaannya hampir sama dengan operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks. Nah, yang agak sulit merupakan secara geometri lantaran membutuhkan pemahaman dan imajinasi lebih dalam pengerjaannya. Untuk memudahkan mempelajari bahan Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor ini, sebaiknya teman-teman menguasai dahulu bahan dasar vektor sebelumnya lantaran soal-soalnya biasanya bervariasi.
 

Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Aljabar
       Secara aljabar, penjumlahan dan pengurangan dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan unsur-unsur yang seletak.
$ \spadesuit \, $ vektor di dimensi dua (R$^2$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2) $ dan $ \vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, \, a_2 – b_2) $
$ \clubsuit \, $ vektor di dimensi tiga (R$^3$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2 , \, a_3 + b_3) $ dan
$ \vec{a} – \vec{b} = (a_1 – b_1, \, a_2 – b_2, \, a_3 – b_3) $

Contoh Soal Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Aljabar

1). Diketahui vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{r} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). $ \vec{p} + \vec{q} $
b). $ \vec{p} – \vec{q} $
c). $ \vec{p} + \vec{q} + \vec{r} $
d). $ \vec{p} – \vec{q} – \vec{r} $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ \vec{p} + \vec{q} $
$ \begin{align} \vec{p} + \vec{q} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1) \\ -1 + 0 \\ -3 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
b). Menentukan $ \vec{p} – \vec{q} $
$ \begin{align} \vec{p} – \vec{q} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 – (-1) \\ -1 – 0 \\ -3 – 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ -8 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). Menentukan $ \vec{p} + \vec{q} + \vec{r} $
$ \begin{align} \vec{p} + \vec{q} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1) + (-2) \\ -1 + 0 + 3 \\ -3 + 5 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
d). Menentukan $ \vec{p} – \vec{q} – \vec{r} $
$ \begin{align} \vec{p} – \vec{q} – \vec{r} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 – (-1) – (-2) \\ -1 – 0 – 3 \\ -3 – 5 – (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $

2). Diketahui vektor $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{b} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ -5 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). $ \vec{a} + \vec{b} $
b). panjang vektor $ \vec{a} + \vec{b} $
c). vektor satuan dari $ \vec{a} + \vec{b} $
d). tuliskan $ \vec{a} + \vec{b} $ dalam vektor basis
e). nilai $ |\vec{a}| + |\vec{b}| $
f). nilai $ |\vec{a}| – |\vec{b}| $
Penyelesaian :
a). Menentukan penjumlahan $ \vec{a} + \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + 2 \\ -3 + (-2) \\ 2 + (-5) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $

Baca Juga:   Perbandingan Vektor Pada Ruas Garis

b). panjang vektor $ \vec{a} + \vec{b} $
$ \begin{align} | \vec{a} + \vec{b} | & = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-3)^2} \\ & = \sqrt{9 + 25 + 9} \\ & = \sqrt{43} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{a} + \vec{b} $ merupakan $ \sqrt{43} $.

c). vektor satuan dari $ \vec{a} + \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{e} & = \frac{1}{| \vec{a} + \vec{b} | } (\vec{a} + \vec{b} ) \\ & = \frac{1}{\sqrt{43}} \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{43}} \\ -\frac{5}{\sqrt{43}} \\ -\frac{3}{\sqrt{43}} \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, vektor satuannya merupakan $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{43}} \\ -\frac{5}{\sqrt{43}} \\ -\frac{3}{\sqrt{43}} \end{matrix} \right) $.

d). tuliskan $ \vec{a} + \vec{b} $ dalam vektor basis
Penulisannya merupakan :
$ \vec{a} + \vec{b} = 3\vec{i} -5\vec{j}-\vec{3} $

e). nilai $ |\vec{a}| + |\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}| + |\vec{b}| & = \sqrt{1^2+(-3)^2+2^2} + \sqrt{2^2+(-2)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{1 + 9 + 4} + \sqrt{4 + 4 + 25} \\ & = \sqrt{14} + \sqrt{33} \end{align} $

f). nilai $ |\vec{a}| – |\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}| – |\vec{b}| & = \sqrt{1^2+(-3)^2+2^2} – \sqrt{2^2+(-2)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{1 + 9 + 4} – \sqrt{4 + 4 + 25} \\ & = \sqrt{14} – \sqrt{33} \end{align} $

3). Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{b} =\left( \begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{c}=\left( \begin{matrix} x-1 \\ y-3 \\ z + 1 \end{matrix} \right) $. Jika vektor-vektor tersebut memenuhi $ \vec{a} + \vec{c} = \vec{b} – \vec{a} $ , tentukanlah :
a). vektor $ \vec{c} $,
b). nilai $ x + y + z $
c). panjang vektor $ \vec{c} $
Penyelesaian :
a). vektor $ \vec{c} $,
Menentukan vektor $ \vec{c} $ dengan operasi penjumlahan dan pengurangan vektor
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{c} & = \vec{b} – \vec{a} \\ \vec{c} & = \vec{b} – \vec{a} – \vec{a} \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3-(-1)-(-1) \\ -2-1-1 \\ 1-2-2 \end{matrix} \right) \\ \vec{c} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ y-3 \\ z + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh vektor $ \vec{c} = \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{matrix} \right) $

b). nilai $ x + y + z $
dari kesamaan vektor bab (a), kita peroleh :
$ x-1 = -1 \rightarrow x = 0 $
$ y – 3 = -4 \rightarrow y = -1 $
$ z + 1 = -3 \rightarrow z = – 4 $.
Sesampai lalu nilai
$ x + y + z = 0 + (-1) + (-4) = -5 $.

c). panjang vektor $ \vec{c} $
$ |\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9 } = \sqrt{26} $.

4). Dengan konsep penjumlahan dan pengurangan vektor, tentukan nilai $ x^{-y} + y^x – 16 $ apabila diketahui vektor-vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x-1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} y \\ x – y \end{matrix} \right) $, $ \vec{r} = \left( \begin{matrix} 7 \\ -7 \end{matrix} \right) $ dan memenuhi $ \vec{p} – \vec{q} = \vec{r} + \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ x $ dan $ y $ menurut kesamaan dua vektor :
$ \begin{align} \vec{p} – \vec{q} & = \vec{r} + \vec{q} \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 3 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} y \\ x – y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 \\ -7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} y \\ x – y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 – y \\ 3 – (x – y) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 + y \\ -7 + x – y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 – y \\ -x + y + 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 + y \\ -7 + x – y \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari kesamaan dua vektor di atas kita peroleh :
$ x – 1 – y = 7 + y \rightarrow x – 2y = 8 \, \, $ ….pers(i)
$ -x + y + 3 = -7 + x – y \rightarrow -2x + 2y = -10 \, \, $ ….pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) untuk memilih nilai $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{array}{cc} x – 2y = 8 & \\ -2x + 2y = -10 & + \\ \hline -x = -2 & \\ x = 2 & \end{array} $
Pers(ii) : $ -2x + 2y = -10 \rightarrow -2.2 + 2y = -10 \rightarrow y = -3 $
Kita peroleh nilai $ x = 2 $ dan $ y = -3 $.
*). Menentukan nilai $ x^{-y} + y^x $ :
$ \begin{align} x^{-y} + y^x – 16 & = 2^{-(-3)} + (-3)^2 – 16 \\ & = 2^3 + 3^2 -16 \\ & = 8 + 9 -16 = 1 \end{align} $.
Jadi, nilai $ x^{-y} + y^x – 16 = 1 . \, \heartsuit $

Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Geometri
       Penjumlahan dan pengurangan vektor secara geometri sanggup kita lakukan dengan dua cara ialah dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

Baca Juga:   Perkalian Dot Dua Vektor

$\spadesuit \, $ Penjumlahan dua vektor
$\heartsuit \, $ Aturan Segitiga
       Aturan segitiga merupakan penyusunan vektor pertama sedemikian sesampai lalu ujungnnya bertemu dengan pangkal vektor kedua, hasil penjumlahan kedua vektor merupakan dari pangkal vektor pertama hingga ujung vektor kedua. Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ dengan hasil penjumlahannya merupakan $ \vec{c} $ yang sanggup kita tulis $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} $ menyerupai gambaran gambar berikut ini :

$\heartsuit \, $ Aturan Jajargenjang
       Aturan jajargenjang merupakan penyusunan vektor pertama dan vektor kedua dimana kedua ujungnya bertemu, lalu kita buat vektor $ \vec{a} $ yang sejajar dengan vektor $ \vec{b} $ dan vektor $ \vec{b} $ yang sejajar dengan $ \vec{a} $ yang kita susun sesampai lalu membentuk berdiri datar jajargenjang, hasil penjumlahannya merupakan vektor dari titik pangkal kedua vektor kearah titik sudut yang berhadapan dengan titik pangkal kedua vektor tersebut. Berikut ilustrasinya :

$\clubsuit \, $ Pengurangan dua vektor
       Pengurangan vektor pengerjaannya menyerupai dengan penjumlahan dan yang termudah kita gunakan hukum segitiga. Misalkan vektor $ \vec{a} $ dikurangkan vektor $ \vec{b} $ sanggup kita tulis $ \vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $ dengan $ -\vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $. Berikut ilustrasinya :

Catatan :
*). Untuk memudahkan dalam memilih hasil penjumlahan secara geometri ialah pada pada dasarnya berangkat dari titik pangkal mengikuti arah vektor lain sesampai lalu bertemu di titik ujung vektor yang kita cari hasilnya. Misalkan kita akan mencari vektor $ \vec{AF} $ , artinya kita berjalan dari titik pangkal A mengikuti arah vektor lain sesampai lalu pada kesannya bertemu di titik ujung F. Misalkan diketahui vektor-vektor lain menyerupai gambar berikut ini:

Dari vektor-vektor yang diketahui pada gambar ini, maka vektor $ \vec{AF} $ sanggup kita tentukan dengan penjumlahan dari sedikit vektor berikut :
$ \vec{AF} = \vec{AB} +\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{EF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AB} + \vec{BF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AB} +\vec{BD}+\vec{DF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AB} +\vec{BE}+\vec{EF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AC} +\vec{CE}+\vec{EF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AC} +\vec{CD}+\vec{DF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AC} +\vec{CD}+\vec{DE} + \vec{EF} $.
Hasilnya akan sama untuk memperoleh vektor $ \vec{AF} $.
Namun, teman-teman harus pilih jalur mana yang lebih efektif dan jalur mana yang diketahui untuk memudahkan dalam penghitungannya.

*). Dari operasi penjumlahan vektor dengan hukum segitiga ini maka tolong-menolong bentuk $ \vec{AB} $ bukan eksklusif kita peroleh dari pengurangan antara dua titik, melainkan dari penguangan dua buah vektor posisi ialah :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \vec{AO} + \vec{OB} \\ \vec{AB} & = -\vec{OA} + \vec{OB} \\ \vec{AB} & = \vec{OB} -\vec{OA} \end{align} $

Contoh soal Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Geometri

5). Perhatikan gambar vektor-vektor berikut

Dari gambar tersebut, tentukan hasil dari :
$ \vec{b} + \vec{c} , \, \vec{d} + \vec{e} , \, $ dan $ \vec{b} + \vec{d} + \vec{e} $ !
Penyelesaian :
*). Hasil penjumlahan masing-masing merupakan dari titik awal berangkat hingga titik final berhenti. Sesampai lalu kita peroleh hasil-hasil :
$ \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} $
$ \vec{d} + \vec{e}= \vec{c} $
$ \vec{b} + \vec{d} + \vec{e} = \vec{a} $

6). Tentukan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut menurut gambar berikut ini.

a). $ \vec{b} + \vec{d} $
b). $ \vec{b} + \vec{f} $
c). $ \vec{a} + \vec{e} + \vec{g} $
d). $ \vec{c} + \vec{i} – \vec{h} $
e). $ \vec{a} + \vec{h} – \vec{i} $
Penyelesaian :
*). Hasil penjumlahan dan pengurangan vektor caranya sama ialah dari titik awal berangkat hingga titik final berhenti, hanya saja untuk pengurangan arah vektornya berlawanan dari arah semula. Berikut hasil masing-masing :
a). $ \vec{b} + \vec{d} = \vec{a} $
b). $ \vec{b} + \vec{f} = \vec{c} $
c). $ \vec{a} + \vec{e} + \vec{g} = \vec{c} $
d). $ \vec{c} + \vec{i} – \vec{h} = \vec{a} $
e). $ \vec{a} + \vec{h} – \vec{i} = \vec{c} $

7). Diketahui vektor-vektor :

Gambarlah vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{a} + \vec{b} $
b). $ \vec{b} + \vec{a} $
c). $ \vec{b} + \vec{c} $
d). $ \vec{a} + \vec{c} $
e). $ \vec{a} – \vec{b} $
f). $ \vec{b} – \vec{a} $
g). $ \vec{b} – \vec{c} $
h). $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $
i). $ \vec{a} + \vec{b} – \vec{c} $
j). $ \vec{a} – \vec{b} – \vec{c} $
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan dalam menjumlahkan atau mengurangkan vektor, sebaiknya kita gunakan hukum segitiga. Berikut hasil masing-masing.

Keterangan : Hasilnya merupakan vektor dengan garis warna merah.

8). Jika vektor $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{AC} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) $ serta koordinan titik $ B(1, 0, -2) $, maka tentukan vektor satuan dari $ \vec{BC} $!
Penyelesaian :

Cara I : Dengan definisi vektor,
*). Menentukan koordinat titik A :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{OB} – \vec{OA} & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{OA} & = \vec{OB} – \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 – (-2) \\ 0 – 1 \\ -2 – 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ – 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Koordinat titik $ A(3, -1 , -5 ) $.
*). Menentukan koordinat titik C
$ \begin{align} \vec{AC} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \vec{OC} – \vec{OA} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \vec{OC} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \vec{OA} \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ – 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 3 \\ 3 + (-1) \\ 1 + (-5) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Koordinat titik $ C(2,2,-4) $.
*). Menentukan vektor $ \vec{BC} $ :
$ \vec{BC} = \vec{OC} – \vec{OB} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan vektor satuan dari vektor $ \vec{BC} $ :
$ \begin{align} \vec{e} & = \frac{1}{|\vec{BC}|} \vec{BC} \\ & = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{1 +4 + 4}} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{9}} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, vektor satuan dari $ \vec{BC} $ merupakan $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{matrix} \right) $.

Baca Juga:   Panjang Vektor Dan Vektor Satuan

Cara II : Menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan vektor,
*). Menentukan vektor $ \vec{BA} $ :
Diketahui $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ , sesampai lalu
$ \vec{BA} = -\vec{AB} = -\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan vektor $ \vec{BC} $ dengan operasi penjumlahan vektor :
$ \begin{align} \vec{BC} & = \vec{BA} + \vec{AC} \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1)\\ -1 + 3 \\ -3 + 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh vektor $ \vec{BC} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $ sama dengan cara I di atas. Selanjutnya untuk memilih vektor satuan dari vektor $ \vec{BC} $ itu sama dengan cara I di atas.

9). Pada balok ABCD.EFGH, vetor $ \vec{p} $ mewakili garis AB, vektor $ \vec{q} $ mewakili garis AD dan vektor $ \vec{r} $ mewakili ruas garis AE. Tentukan vektor-vektor yang mewakili ruas garis berikut dalam vektor $ \vec{p} $ , $ \vec{q} $ , dan $ \vec{r} $
a). ruas garis AC,
b). ruas garis BD,
c). ruas garis BG,
d). ruas garis AG,
e). ruas garis HB.
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambaran gambar baloknya,

*). Berikut merupakan pasangan vektor yang sama dengan konsep kesamaan dua vektor :
$ \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG} = \vec{p} $
$ \vec{BC} = \vec{EH} = \vec{FG} = \vec{q} $
$ \vec{BF} = \vec{CG} = \vec{DH} = \vec{r} $
*). Menentukan masing-masing vektor dengan operasi penjumlahan dan pengurangan vektor dan vektor yang sejajar :
a). ruas garis AC,
$ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{p} + \vec{q} $
b). ruas garis BD,
$ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{p} +\vec{q} $
c). ruas garis BG,
$ \vec{BG} = \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{q} + \vec{r} $
d). ruas garis AG,
$ \vec{AG} = \vec{AC} + \vec{CG} = (\vec{p}+\vec{q}) + \vec{r} = \vec{p}+\vec{q} + \vec{r} $
Atau sanggup juga :
$ \vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{p}+\vec{q} + \vec{r} $
e). ruas garis HB.
$ \vec{HB} = \vec{HF} + \vec{FB} = -\vec{BD} + (-\vec{EA}) $
$ = -(-\vec{p} +\vec{q}) + (-\vec{r}) = \vec{p} – \vec{q} – \vec{r} $.
Atau sanggup juga :
$ \vec{HB} = \vec{HE} + \vec{EF} + \vec{FB} = -\vec{q} + \vec{p} – \vec{r} = \vec{p} -\vec{q} – \vec{r} $

       Demikian pembahasan bahan Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Persobat semua Vektor dengan Skalar” dan “sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan vektor“.