Penyelesaian Latihan 2.2 Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Kelas Vii Kurikulum 2013+

Posted on

         Pondok Soal.com – Matematika Sekolah Menengah Pertama : Halow teman-teman, mari kita lanjutkan pembahasan Latihan 2.2 yang ada pada buku kelas VII kurikulum 2013 dengan judul artikelnya merupakan Penyelesaian Latihan 2.2 Persamaan dan Pertaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013. Materi dasar yang harus dikuasai untuk menjawab dan memahami pembahasan soal-soal latihan 2.2 ini kita harus menguasai bahan “pernyataan dan kalimat terbuka”, “persamaan linear satu variabel“, “pertaksamaan linear satu variabel“, dan “soal dongeng persamaan dan pertaksamaan linear satu variabel“. Pada latihan 2.2 ini ada 10 soal yang akan kita selesaikan.

Soal 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.
a). $ 24 m = 12 $,
b). $ 3z + 11 = -28 $,
c). $ 25 + 4y = 6y + 15 $,
d). $ -4x – 15 = 1 – 8x $,
e). $ \frac{6}{a} + 2 = 4 $.
Penyelesaian :
a). $ 24 m = 12 $,
$ \begin{align} 24 m & = 12 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 24)} \\ \frac{24 m}{24} & = \frac{12}{24} \\ m & = \frac{1}{2} \end{align} $

b). $ 3z + 11 = -28 $,
$ \begin{align} 3z + 11 & = -28 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 11)} \\ 3z + 11 – 11 & = -28 – 11 \\ 3z & = -39 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3z}{3} & = \frac{-39}{3} \\ z & = -13 \end{align} $

c). $ 25 + 4y = 6y + 15 $,
$ \begin{align} 25 + 4y & = 6y + 15 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 25)} \\ 25 + 4y – 25 & = 6y + 15 – 25 \\ 4y & = 6y – 10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 6y) \\ 4y – 6y & = 6y – 10 – 6y \\ -2y & = -10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -2)} \\ \frac{-2y}{-2} & = \frac{-10}{-2} \\ y & = 5 \end{align} $

d). $ -4x – 15 = 1 – 8x $,
$ \begin{align} -4x – 15 & = 1 – 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 15)} \\ -4x – 15 + 15 & = 1 – 8x + 15 \\ -4x & = 16 – 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } 8x) \\ -4x + 8x & = 16 – 8x + 8x \\ 4x & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x }{4} & = \frac{16}{4} \\ x & = 4 \end{align} $

e). $ \frac{6}{a} + 2 = 4 $.
$ \begin{align} \frac{6}{a} + 2 & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ \frac{6}{a} + 2 – 2 & = 4 – 2 \\ \frac{6}{a} & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } a) \\ \frac{6}{a} \times a & = 2 \times a \\ 6 & = 2 a \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{ 6}{2} & = \frac{2 a }{2} \\ 3 & = a \end{align} $

Soal 2.
Jika $ x \, $ merupakan bilangan asli, tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.
a). $ 6x + 5 = 26 – x $ ,
b). $ 2 – 4x = 3 $ ,
c). $ x – 12 = 2x + 36 $ ,
d). $ -5x – 4x = 1 – 8x $ ,
e). $ 2 + \frac{x}{4} = 5 $ .
Penyelesaian :
*). Bilangan orisinil merupakan bilangan yang dimulai dari 1,
secara detail himpunan bilangan orisinil : $ \{1,2,3,4,5,…\}. $
*). Nilai $ x \, $ harus bab dari himpunan bilangan orisinil di atas, apabila tak maka dianggap tak memiliki penyelesaian.

a). $ 6x + 5 = 26 – x $ ,
$ \begin{align} 6x + 5 & = 26 – x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 5)} \\ 6x + 5 – 5 & = 26 – x – 5 \\ 6x & = 21 – x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } x) \\ 7x & = 21 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 7)} \\ \frac{7x}{7} & = \frac{21}{7} \\ x & = 3 \end{align} $
Sesampai lalu himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ 3 \} $.

Baca Juga:   Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

b). $ 2 – 4x = 3 $ ,
$ \begin{align} 2 – 4x & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 – 4x – 2 & = 3 – 2 \\ -4x & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -4)} \\ \frac{-4x}{-4} & = \frac{1}{-4} \\ x & = -\frac{1}{4} \end{align} $
Karena nilai $ x = -\frac{1}{4} , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sesampai lalu himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

c). $ x – 12 = 2x + 36 $ ,
$ \begin{align} x – 12 & = 2x + 36 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 12)} \\ x – 12 + 12 & = 2x + 36 + 12 \\ x & = 2x + 48 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ x – 2x & = 2x + 48 – 2x \\ -x & = 48 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -1)} \\ x & = – 48 \end{align} $
Karena nilai $ x = -48 , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sesampai lalu himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

d). $ -5x – 4x = 1 – 8x $ ,
$ \begin{align} -5x – 4x & = 1 – 8x \\ -9x & = 1 – 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } 8x) \\ -9x + 8x & = 1 – 8x + 8x \\ -x & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -1)} \\ x & = -1 \end{align} $
Karena nilai $ x = -1 , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sesampai lalu himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

e). $ 2 + \frac{x}{4} = 5 $ .
$ \begin{align} 2 + \frac{x}{4} & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 + \frac{x}{4} – 2 & = 5 – 2 \\ \frac{x}{4} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 4)} \\ \frac{x}{4} \times 4 & = 3 \times 4 \\ x & = 12 \end{align} $
Sesampai lalu himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ 12 \} $.

Soal 3.
Selesaikan persamaan linear berikut.
a). $ 2 – \frac{2}{3}x = 4 $ ,
b). $ \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) = 0 $ ,
c). $ \frac{2x – 3}{3} + \frac{4x+4}{2} = 2x + 3 $ .
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan penyelesaian persamaan linear bentuk pecahan, maka hilangkan penyebutnya terlebih dahulu dengan mengalikan KPK dari semua penyebut yang ada.

a). $ 2 – \frac{2}{3}x = 4 $ ,
$ \begin{align} 2 – \frac{2}{3}x & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 – \frac{2}{3}x – 2 & = 4 – 2 \\ – \frac{2}{3}x & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -3)} \\ – \frac{2}{3}x \times (-3) & = 2 \times (-3) \\ 2x & = -6 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x }{2} & = \frac{-6}{2} \\ x & = -3 \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x = -3 $.

b). $ \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) = 0 $ ,
*). Penyebutnya merupakan 4 dan 2 dengan KPK 4, sesampai lalu dikalikan 4.
$ \begin{align} \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) & = 0 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} & \\ 4 \times \left( \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) \right) & = 0 \times 4 \\ 4 \times \left( \frac{3}{4}(x+3) + 4 \times \frac{1}{2}(x-1) \right) & = 0 \\ 3(x+3) + 2(x-1) & = 0 \\ 3x + 9 + 2x – 2 & = 0 \\ 5x + 7 & = 0 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 7)} & \\ 5x + 7 – 7 & = 0 – 7 \\ 5x & = – 7 \\ \text{(kedua ruas dibagikan 5)} & \\ \frac{5x }{5} & = \frac{ – 7}{5} \\ x & = -\frac{ 7}{5} \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x = -\frac{ 7}{5} $.

Baca Juga:   Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka Dan Kalimat Tertutup

c). $ \frac{2x – 3}{3} + \frac{4x+4}{2} = 2x + 3 $ .
*). Penyebutnya merupakan 3 dan 2 dengan KPK 6, sesampai lalu dikalikan 6.
$ \begin{align} \frac{2x – 3}{3} + \frac{4x+4}{2} & = 2x + 3 \\ \text{(kedua ruas dikalikan 6)} & \\ 6 \times \left( \frac{2x – 3}{3} + \frac{4x+4}{2} \right) & = 6 \times (2x + 3 ) \\ 2(2x – 3) + 3(4x+4) & = 12x + 18 \\ 4x – 6 + 12x + 12 & = 12x + 18 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan } 12x) & \\ 4x – 6 + 12 & = 18 \\ 4x + 6 & = 18 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 6)} & \\ 4x + 6 – 6 & = 18 – 6 \\ 4x & = 12 \\ \text{(kedua ruas dibagi 4)} & \\ \frac{4x }{4} & = \frac{ 12 }{4} \\ x & = 3 \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x = 3 $.

Soal 4.
Jika $ 3x + 12 = 7x – 8 , \, $ tentukanlah nilai dari $ \, x + 2 $ .
Penyelesaian :
$ \begin{align} 3x + 12 & = 7x – 8 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 12)} \\ 3x + 12 – 12 & = 7x – 8 – 12 \\ 3x & = 7x – 20 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 7x) \\ 3x – 7x & = 7x – 20 – 7x \\ -4x & = -20 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -4)} \\ \frac{-4x}{-4} & = \frac{-20}{-4} \\ x & = 5 \end{align} $
kita peroleh penyelesaiannya merupakan $ x = 5 $.
Sesampai lalu nilai $ x + 2 = 5 + 2 = 7 $.
Jadi, nilai $ x + 2 = 7 $.
Soal 5.
Seorang ayah berumur 28 tahun dikala anaknya lahir. Berapakah umur anak itu dikala jumlah umur mereka 48 tahun?
Penyelesaian :
*). Misalkan umur anaknya $ x \, $ tahun.
Sesampai lalu umur ayahnya : $ x + 28 $.
*). Jumlah umur mereka 48 tahun,
Menyusun persamaan linear satu variabel dan menyelesaikannya :
$ \begin{align} \text{umur ayah} + \text{umur anak} & = 48 \\ (x + 28) + x & = 48 \\ 2x + 28 & = 48 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 28)} & \\ 2x + 28 – 28 & = 48 – 28 \\ 2x & = 20 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x}{2} & = \frac{20}{2} \\ x & = 10 \end{align} $
Jadi, umur si anak merupakan 10 tahun.
Soal 6.
Diketahui harga 1 kg buah anggur merupakan tiga kali harga 1 kg buah duku. Jika Tino membeli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah duku, ia harus membayar Rp 38.500,00. Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah duku?. Jika ia ingin membeli 4 kg buah anggur dan 5 kg buah duku, berapa yang harus dibayarnya?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan linearnya (model matematika),
Misalkan harga 1 kg buah duku merupakan $ x \, $ rupiah,
*). Harga 1 kg anggur merupakan tiga kali lipat buah duku,
sesampai lalu harga 1 kg buah anggur merupakan $ 3x $.
*). Harga 2 kg anggur dan 5 kg duku merupakan 38.500
$ \begin{align} 2 \times (\text{1 kg anggur}) + 5 \times (\text{1 kg duku}) & = 38.500 \\ 2 \times (3x) + 5 \times (x) & = 38.500 \\ 6x + 5x & = 38.500 \\ 11x & = 38.500 \end{align} $
Sesampai lalu persamaan linear satu variabelnya merupakan $ 11x = 38500 $.
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} 11x & = 38.500 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11x}{11} & = \frac{38.500}{11} \\ x & = 3500 \end{align} $
*). Harga masing-masing buah :
1 kg buah anggur harganya : $ 3x = 3 \times 3500 = 10500 $.
1 kg buah duku harganya : $ x = 3500 $.
*). Menentukan harga 4 kg buah anggur dan 5 kg buah duku
$ \begin{align} \text{Harga } & = \text{4 kg buah anggur} + \text{5 kg buah duku} \\ & = 4 \times 10500 + 5 \times 3500 \\ & = 42000 + 17500 \\ & = 59500 \end{align} $
Jadi, harus membayar Rp 59.500,00.
Soal 7.
Suatu bilangan apabila dikalikan 4, dan dikurangkan 6, maka sama dengan 54, berapakah bilangan itu?
Penyelesaian :
*). Misalkan bilangan tersebut merupakan $ x \, $
*). Kita susun persamaan linearnya,
dikalikan 4, dan dikurangkan 6, maka sama dengan 54
Persamaannya : $ 4x – 6 = 54 $.
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 4x – 6 & = 54 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 6)} \\ 4x – 6 + 6 & = 54 + 6 \\ 4x & = 60 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x}{4} & = \frac{60}{4} \\ x & = 15 \end{align} $
Jadi, bilangan tersebut merupakan 15.
Soal 8.
Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp 275.000,00.
a). Buatlah model matematika dari keterangan di atas.
b). Seleaikan model matematika tersebut. Kemudian tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan linearnya (model matematika),
Misalkan harga sepasang sandal merupakan $ x \, $ rupiah,
*). harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal,
sesampai lalu harga sepasang sepatu merupakan $ 2x $.
*). Harga 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal merupakan 275.000
$ \begin{align} 4 \times (\text{harga sepatu}) + 3 \times (\text{harga sandal}) & = 275.000 \\ 4 \times (2x) + 3 \times (x) & = 275.000 \\ 8x + 3x & = 275.000 \\ 11x & = 275.000 \end{align} $
a). Sesampai lalu model matemenonaktifkanya : $ 11x = 275.000 $.
Baca Juga:   Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

b). Menyelesaikan model matemenonaktifkanya.
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} 11x & = 275.000 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11x}{11} & = \frac{275.000}{11} \\ x & = 25.000 \end{align} $
*). Harga masing-masing :
harga sepasang sepatu : $ 2x = 2 \times 25.000 = 50.000 $.
harga sepasang sandal : $ x = 25.000 $.
*). Menentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal
$ \begin{align} \text{Harga } & = \text{3 pasang sepatu} + \text{5 pasang sandal} \\ & = 4 \times 50.000 + 5 \times 25.000 \\ & = 200.000 + 125.000 \\ & = 325.000 \end{align} $
Jadi, harganya merupakan Rp 325.000,00.

Soal 9.
Dua bilangan berselisih 25. Jika 2 kali bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil merupakan 175, tentukanlah bilangan itu.
Penyelesaian :
*). Misalkan dua bilangan tersebut merupakan $ x \, $ dan $ y \, $ dengan $ x > y $
Persamaan pertama :
Dua bilangan berselisih 25 : $ x – y = 25 \rightarrow x = y + 25 $
artinya : bilangan pertama $ y \, $ dan bilangan kedua $ y + 25 $ .
Persamaan kedua :
2 kali bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil merupakan 175
$ 2x – y = 175 \, $ .
Persamaannya dan penyelesaiannya :
$ \begin{align} 2x – y & = 175 \\ 2(y+25) – y & = 175 \\ 2y + 50 – y & = 175 \\ y + 50 & = 175 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 50)} \\ y + 50 – 50 & = 175 – 50 \\ y & = 125 \end{align} $
Diperoleh nilai $ y = 125 $
dan $ x = y + 25 = 125 + 25 = 150 $.
Jadi, kedua bilangan tersebut merupakan 125 dan 150.
Soal 10.
Diketahui jumlah dua bilangan merupakan 100 dan selisihnya merupakan 40. Bagaimana nilai dua bilangan tersebut sanggup dinyatakan dua linear satu variabel.
Penyelesaian :
*). Misalkan bilangan pertama dan kedua merupakan $ x \, $ dan $ y \, $ dengan $ y > x $.
Jumlah kedua bilangan merupakan 100,
$ x + y = 100 \rightarrow y = 100 – x \, $ …pers(i)
Selisih kedua bilangan merupakan 40,
$ y – x = 40 \, $ ….pers(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 100 – x \rightarrow y – x & = 40 \\ (100-x) – x & = 40 \end{align} $
Jadi, bentuk dua linear satu variabelnya merupakan $ (100-x) – x = 40 \, $ yang sanggup diselesaikan untuk proses selanjutnya.