Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya telah dibahas artikel “Pengertian Limit Fungsi” dan “Sifat-sifat Limit Fungsi” , untuk artikel kali ini kita membahas bahan Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar yang merupakan kelanjutan bahan sebelumnya. Untuk menuntaskan suatu limit fungsi, ada sedikit cara ialah substitusi, pemfaktoran, kali sekawan, dan memakai turunan. Untuk kali ini kita akan membahas cara substitusi, pemfaktoran dan kali sekawan.

Hasil Limit Bentuk Tentu dan Bentuk Tak Tentu
       Secara umum, untuk menuntaskan limit fungsi baik aljabar inginpun trigonometri merupakan substitusi nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $. Setelah disubstitusikan, akan diperoleh nilai limitnya yang dibagi menjadi dua ialah bentuk tentu dan bentuk tak tentu.

Bentuk Tentu : $ a, \, \frac{a}{b}, \, \frac{a}{0} = \infty , \, \frac{0}{b} = 0 $
Bentuk tak Tentu : $ \frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty} , \, \infty – \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $
dengan $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan bilangan real.

Jika karenanya bentuk tentu, maka bentuk tak tentu tersebut merupakan hasil limitnya, dan apabila karenanya bentuk tak tentu, maka fungsinya harus diproses lagi dengan cara difaktorkan atau di kalikan dengan bentuk sekawannya. Biasanya kekayaan soal limit niscaya karenanya bentuk tak tentu sesampai lalu harus diproses lagi.

Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x – 2}{x-2} $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 – 1}{x-1} $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 = 3.(2)^2 = 3.4 = 12 $
Hasilnya 12 (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3x^2 = 12 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} = \frac{1^2 + 1}{3.1} = \frac{2}{3} $
Hasilnya $ \frac{2}{3} $ (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 + 1}{3x} = \frac{2}{3} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x – 2}{x-2} = \frac{3.2 – 2}{2-2} = \frac{4}{0} = \infty $
Hasilnya $ \infty $ (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{3x – 2}{x-2} = \infty $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} = \frac{(-1) + 1}{2(-1) – 1} = \frac{0}{-3} = 0 $
Hasilnya 0 (bentuk tentu), artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x+1}{2x-1} = 0 $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 – 1}{x-1} = \frac{1^2 – 1}{1-1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya $ \frac{0}{0} $ (bentuk tak tentu), sesampai lalu fungsinya harus diproses lagi

Penyelesaian Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran

Contoh :
2). Tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 – 1}{x-1} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 – 8}{x-2} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 – 1}{x-1} = \frac{1^2-1}{1-1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sesampai lalu harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 – 1}{x-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } (x+1) \\ & = 1 + 1 = 2 \end{align} $
Sesampai kemudian, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2 – 1}{x-1} = 2 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 – 8}{x-2} = \frac{2^3-8}{2-2} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sesampai lalu harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 – 8}{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 – 2^2}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 2^2)}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x^2 + 2x + 4 ) \\ & = 2^2 + 2.2 + 4 = 12 \end{align} $
Sesampai kemudian, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 – 8}{x-2} = 12 $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = \frac{2.3^2-7.3+3}{3^2-2.3-3} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sesampai lalu harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(2x-1)}{(x-3)(x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(2x-1)}{(x+1)} \\ & = \frac{(2.3-1)}{(3+1)} \\ & = \frac{5}{4} \end{align} $
Sesampai kemudian, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = \frac{5}{4} $

Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar dengan kalikan sekawan

Contoh :
3). tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} – 2}{x-2} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} – \sqrt{2} }{x – 1} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 9 }{3 – \sqrt{x + 6 } } $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} – 2}{x-2} = \frac{\sqrt{2.2} – 2}{2-2} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sesampai lalu harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} – 2}{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} – 2}{x-2} \times \frac{\sqrt{2x} + 2}{\sqrt{2x} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x – 4}{(x-2)(\sqrt{2x} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2(x – 2)}{(x-2)(\sqrt{2x} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2}{\sqrt{2x} + 2} \\ & = \frac{2}{\sqrt{2.2} + 2} \\ & = \frac{2}{2 + 2} \\ & = \frac{2}{4} \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sesampai kemudian, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{2x} – 2}{x-2} = \frac{1}{2} $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} – \sqrt{2} }{x – 1} = \frac{\sqrt{1 + 1} – \sqrt{2} }{1 – 1} = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sesampai lalu harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} – \sqrt{2} }{x – 1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} – \sqrt{2} }{x – 1} \times \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x+1) – 2 }{(x – 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} )} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1) }{(x – 1)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} )} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{1 + 1} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2} } \\ & = \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2.2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} \end{align} $
Sesampai kemudian, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sqrt{x + 1} – \sqrt{2} }{x – 1} = \frac{1}{4}\sqrt{2} $

Baca Juga:   Penyelesaian Limit Tak Hingga

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 9 }{3 – \sqrt{x + 6 } } = \frac{3^2 – 9 }{3 – \sqrt{3 + 6 } } = \frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) , sesampai lalu harus diproses lagi.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 9 }{3 – \sqrt{x + 6 } } & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 9 }{3 – \sqrt{x + 6 } } \times \frac{3 + \sqrt{x + 6 }}{3 + \sqrt{x + 6 }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x^2 – 9)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{9 – (x + 6 ) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{3 – x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x-3)(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{-(x-3) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) }{-1 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } -(x+3)(3 + \sqrt{x + 6 }) \\ & = -(3+3)(3 + \sqrt{3 + 6 }) \\ & = -(6)(3 + \sqrt{9}) \\ & = -(6)(6) \\ & = -36 \end{align} $
Sesampai kemudian, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 9 }{3 – \sqrt{x + 8 } } = -36 $

4). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = 3x – 5 $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x+h) = 3(x+h) – 5 = 3x + 3h – 5 $
*). Menentukan karenanya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 3x + 3h – 5 ) – (3x – 5 ) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 3h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } 3 \\ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = 3 \end{align} $

   Salah satu kegunaan dari limit fungsi aljabar merupakan untuk memilih persamaan asimtot tegak fungsi aljabar.