Penyelesaian Limit Fungsi Dengan Dalil L’hospital Atau Turunan

Posted on

         Pondok Soal.com – Untuk menuntaskan limit suatu fungsi yang kesudahannya bentuk tak tentu (khususnya $ \frac{0}{0} \, $ ), sanggup memakai turunan yang dikenal dengan metode L’Hospital. Sebelumnya kita telah mencar ilmu “limit fungsi aljabar” dan “limit fungsi trigonometri” yang penyelesaiannya dengan cara pemfaktoran, kali sekawan (merasionalkan), dan memakai sifa-sifat limit fungsi trigonometri. Metode L’Hospital ini biasanya lebih gampang dipakai pada limit fungsi aljabar dengan pangkat variabelnya lebih dari 2, namun sanggup juga diterapkan pada limit fungsi trigonometri.

         Untuk sanggup memudahkan memahami bahan Penyelesaian Limit Fungsi dengan L’Hospital atau Turunan , sebelumnya kita harus mempelajari bahan yang berkaitan dengan turunan fungsi baik “turunan fungsi aljabar” inginpun “turunan fungsi trigonometri”. Berikut teori Penyelesaian Limit Fungsi dengan L’Hospital atau Turunan secara ringkas.
gambar rumus_dasar_limit_di_tak_sampai kemudian.

Penyelesaian Limit Fungsi dengan Metode L’Hospital atau Menggunakan Turunan
Misalkan ada limit fungsi : $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ ,
Maksudnya kesudahannya merupakan $ \frac{0}{0} \, $ , maka limit fungsi tersebut sanggup diselesaikan dengan turunan, yakni :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^{\prime \prime } (x)}{g^{\prime \prime } (x)} $

Catatan : Fungsi tersebut diturunkan hingga kesudahannya tak $ \frac{0}{0} \, $ lagi, artinya apabila kesudahannya masih $ \frac{0}{0} \, $ maka diturunkan lagi.

Contoh :
1). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} \, \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} \, \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi aljabar : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} = \frac{1^{15} – 1}{2.1^2 – 2} = \frac{0}{0} $
Karena kesudahannya $ \frac{0}{0} \, $ , maka sanggup memakai L’Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{15x^{15-1} – 0}{2.2.x^{2-1} – 0 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{15x^{14}}{4x } \\ & = \frac{15.1^{14}}{4.1 } \\ & = \frac{15}{ 4 } \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} = \frac{15}{4} $

Baca Juga:   Penerapan Limit Pada Laju Perubahan

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} = \frac{2^3 – 2.2^2 + 3.2 – 6}{2^2 -4} = \frac{0}{0} $
Karena kesudahannya $ \frac{0}{0} \, $ , maka sanggup memakai L’Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} & = \frac{3x^2 – 4x + 3}{2x} \\ & = \frac{3.2^2 – 4.2 + 3}{2.2} \\ & = \frac{12 – 8 + 3}{4} \\ & = \frac{7}{4} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} = \frac{7}{4} $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} = \frac{\sqrt{3.3-5} – 2}{3^3 – 27} = \frac{0}{0} $
Karena kesudahannya $ \frac{0}{0} \, $ , maka sanggup memakai L’Hospital (diturunkan)
Turunan bentuka akar : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
sesampai lalu : $ y = \sqrt{3x-5} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2\sqrt{3x-5}} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{ \frac{3}{2\sqrt{3x-5}} }{3x^2} \\ & = \frac{ \frac{3}{2\sqrt{3.3-5}} }{3.3^2} \\ & = \frac{ \frac{3}{2\sqrt{4}} }{27} \\ & = \frac{ \frac{3}{2.2} }{27} \\ & = \frac{ \frac{3}{4} }{27} \\ & = \frac{3}{4.27} \\ & = \frac{3}{108} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{\sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} = \frac{3}{108} $

2). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} \, \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x – \cos x} \, \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 – \sin x }{x – \frac{1}{2} \pi} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
$ y = \cos x \rightarrow y^\prime = \sin x $
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = – f^\prime \sin f(x) $

a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} = \frac{ \sin 2. 0 }{ 3.0} = \frac{ \sin 0 }{ 0} = \frac{0}{0} $
Karena kesudahannya $ \frac{0}{0} \, $ , maka sanggup memakai L’Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = \sin 2x \rightarrow y^\prime = 2 \cos 2x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2 \cos 2x }{ 3} \\ & = \frac{ 2 \cos 2.0 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 \cos 0 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 . 1 }{ 3} \\ & = \frac{ 2 }{ 3} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin 2x }{ 3x} = \frac{2}{3} $

Baca Juga:   Sifat-Sifat Limit Fungsi

b). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x – \cos x} = \frac{ \sin 4 . \frac{1}{4} \pi }{\sin \frac{1}{4} \pi – \cos \frac{1}{4} \pi} = \frac{ \sin \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} – \frac{1}{2}\sqrt{2} } = \frac{0}{0} $
Karena kesudahannya $ \frac{0}{0} \, $ , maka sanggup memakai L’Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = \sin 4x \rightarrow y^\prime = 4 \cos 4x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x – \cos x} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x – (-\sin x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x + \sin x } \\ & = \frac{4 \cos 4. \frac{1}{4} \pi }{\cos \frac{1}{4} \pi + \sin \frac{1}{4} \pi } \\ & = \frac{4 \cos \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \frac{4 .(-1) }{ \sqrt{2} } \\ & = – \frac{4 }{ \sqrt{2} } \\ & = – \frac{4 }{ \sqrt{2} } \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ & = – \frac{4 \sqrt{2}}{ 2 } \\ & = – 2\sqrt{2} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x – \cos x} = – 2\sqrt{2} $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 – \sin x }{x – \frac{1}{2} \pi} = \frac{1 – \sin \frac{1}{2} \pi }{\frac{1}{2} \pi – \frac{1}{2} \pi} = \frac{1 – 1 }{0} = \frac{0}{0} $
Karena kesudahannya $ \frac{0}{0} \, $ , maka sanggup memakai L’Hospital (diturunkan)
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 – \sin x }{x – \frac{1}{2} \pi} & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{ – \cos x }{1} \\ & = \frac{ – \cos \to \frac{1}{2} \pi }{1} \\ & = \frac{ – 0 }{1} \\ & = 0 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2} \pi } \frac{1 – \sin x }{x – \frac{1}{2} \pi} = 0 $

3). Jika diketahui $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b – \sqrt{x}}{x-4} = \frac{3}{4}, \, $ maka nilai $ a + b = …. $
Penyelesaian :
*). Kita hitung hasil limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b – \sqrt{x}}{x-4} & = \frac{3}{4} \\ \frac{a.4+b – \sqrt{4}}{4-4} & = \frac{3}{4} \\ \frac{4a+b – 2}{0} & = \frac{3}{4} \\ \infty & \neq \frac{3}{4} \end{align} $
*). Setelah kita substitusi $ x = 4 \, $ diperoleh hasil limitnya tak hingga lalu ($ \infty$) yang tak sama dengan $ \frac{3}{4} \, $ , ini artinya biar limitnya memiliki hasil $ \frac{3}{4} \, $ maka limitnya harus diproses lagi, dengan kata lain hasil limitnya harus bentuk tak tentu yakni $ \frac{0}{0} $ .
Sesampai lalu $ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b – \sqrt{x}}{x-4} = \frac{0}{0} \rightarrow \frac{4a+b – 2}{0} = \frac{0}{0} $
Artinya nilai $ 4a+b – 2 = 0 \rightarrow 4a + b = 2 \, $ …..pers(i) .
*). Kita gunakan metode turunan (L’Hospital),
Turunan : $ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{ax+b – \sqrt{x}}{x-4} & = \frac{3}{4} \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4 } \frac{a – \frac{1}{2\sqrt{x}} }{1} & = \frac{3}{4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4 } a – \frac{1}{2\sqrt{x}} & = \frac{3}{4} \\ a – \frac{1}{2\sqrt{4}} & = \frac{3}{4} \\ a – \frac{1}{4} & = \frac{3}{4} \\ a & = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \\ a & = \frac{4}{4} = 1 \end{align} $
Diperoleh : $ a = 1 \, $ , substitusi nilai $ a = 1 \, $ ke pers(i) ,
$ 4a + b = 2 \rightarrow 4.1 + b = 2 \rightarrow b = 2-4 = -2 $
Sesampai lalu nilai $ a + b = 1 + (-2) = -1 $
Jadi, nilai $ a + b = -1 $ .