Penyelesaian Limit Fungsi Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “penyelesaian limit fungsi aljabar”, kali ini kita akan lanjutkan bahan limit untuk penyelesaian limit fungsi trigonometri. Disini kita akan melibatkan fungsi trigonometri, sesampai lalu kita harus mempelajari bahan yang berkaitan dengan trigonometri. Persamaan trigonometri yang biasa digunakan pada limit merupakan persamaan identitas trigonometri yang sanggup dibaca pada artikel “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku” , “rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan“, dan “rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut“.

         Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika kesudahannya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan memakai sifat-sifat limit trigonometri, serta sanggup memakai turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi sanggup dibaca lebih lanjut pada artikel “Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar“. Soal-soal yang biasanya merupakan soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan memakai sifat-sifat limit trigonometri.

Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
       Untuk menuntaskan limit fungsi trigonometri salah satu caranya merupakan memakai sifat-sifat limit fungsi trigonometri ialah :

$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin ax} = 1 $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x }{x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{ax} = 1 $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1 , \, \, $ berlaku juga $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan ax} = 1 $

$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $

Catatan : Untuk bentuk fungsi $ cos $, maka harus diubah dahulu menjadi bentuk $ sin $ biar sanggup memakai sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel “pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri”.

Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} $
Penyelesaian :
a). Kita memakai dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1 $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} \times \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3x}{5x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{3x} \times \frac{3}{5} \\ & = 1 \times \frac{3}{5} \\ & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $

Cara II : Menggunakan sifat umum , $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} & = \frac{3}{5} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5} $

Baca Juga:   Penyelesaian Limit Tak Hingga

Catatan : Untuk soal sisanya kita memakai sifat umum saja.

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{\sin 5 x} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 7 \times \frac{ \tan 2x }{ 4x} = 7 \times \frac{2}{4} = \frac{7}{2} $

d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ \tan 2x} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{9} $

2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x $
Penyelesaian :
a). Kita memakai dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} . \frac{2x}{2x} . \frac{3x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2x}{3x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x} . \frac{3x }{\sin 3x}. \frac{2}{3} \\ & = 1 . 1 . \frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} $

Cara II : Mengunakan sifat umum : $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3} \end{align} $

Catatan : Untuk soal sisanya kita memakai sifat umum saja.

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} = \frac{6}{2} = 3 $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} = \frac{3}{2} $

d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $

e). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \cot 7x = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 3x . \frac{1}{\tan 7x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x }{\tan 7x} = \frac{3}{7} $
Ingat : $ \cot A = \frac{1}{\tan A } $

3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 – 2 \cos 2x }{3x^2} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x – \frac{\pi}{4}} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 – \cos x }{x \sin 2x} \, \, \, $ d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} $
Penyelesaian :
Kita pribadi memakai sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 – 2\sin ^2 x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 – 2 \cos 2x }{3x^2} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 – \cos 2x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 – [ 1 – 2\sin ^2 x ] ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(1 – 1 + 2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2(2\sin ^2 x ) }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{4\sin x \sin x }{3x . x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 4. \frac{\sin x }{3x } . \frac{\sin x }{ x} \\ & = 4. \frac{1 }{3 } . 1 \\ & = \frac{ 4 }{3 } \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2 – 2 \cos 2x }{3x^2} = \frac{ 4 }{3 } $

b). Ingat rumus : $ \cos 2x = 1 – 2\sin ^2 x \, $ dan $ \, \cos (\frac{\pi}{2} + A) = – \sin A $
Misalkan : $ p = x – \frac{\pi}{4} \rightarrow x = p + \frac{\pi}{4} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \frac{\pi}{4} \, $ maka $ p \, $ mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x – \frac{\pi}{4}} & = \displaystyle \lim_{x – \frac{\pi}{4} \to 0 } \frac{\cos 2x }{x – \frac{\pi}{4}} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos 2(p + \frac{\pi}{4}) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{\cos ( \frac{\pi}{2} + 2p ) }{p} \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0 } \frac{ – \sin 2p }{p} \\ & = – \frac{2}{1} \\ & = – 2 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\cos 2x }{x – \frac{\pi}{4}} = -2 $

Baca Juga:   Pembuktian Sifat-Sifat Limit Fungsi Trigonometri

c). Ingat rumus : $ \cos px = 1 – 2\sin ^2 \frac{p}{2} x $
Sesampai lalu : $ \cos x = \cos 1.x = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 – \cos x }{x \sin 2x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 – (1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 – 1 + 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x \sin 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 2 . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{\sin 2x} \\ & = 2 . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{ \frac{1}{2} }{ 2 } \\ & = 2 . \frac{1}{2}. \frac{1}{4} \\ & = \frac{1}{4} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1 – \cos x }{x \sin 2x} = \frac{1}{4} $

d). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x + \sin 2 x }{5x} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( \frac{3x }{5x} + \frac{ \sin 2 x }{5x} \right) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1 $

4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x – \sin x}{4x^3} $
Penyelesaian :
a). Misalkan : $ y = \frac{1}{x} \rightarrow x = \frac{1}{y} $
Untuk $ x \, $ mendekati $ \infty \, $ maka $ y \, $ mendekati 0. ($ y = \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{\frac{1}{x} \to \frac{1}{\infty} } x \sin \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{1}{y} . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{ y \to 0 } \frac{\sin y}{y} \\ & = 1 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x \sin \frac{1}{x} = $

b). Ingat rumus : $ \cos x = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \, $ dan $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x – \sin x}{4x^3} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} – \sin x}{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x} – \frac{\sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{\sin x – \sin x \cos x}{\cos x} }{4x^3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x – \sin x \cos x }{4x^3 . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 – \cos x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 1 – [ 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ] ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x ( 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2\sin x . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{4x.x.x . \cos x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2}{4} . \frac{ \sin x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{ \sin \frac{1}{2} x }{x } . \frac{1}{\cos x} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{ \frac{1}{2} }{1 } . \frac{ \frac{1}{2} }{1} . \frac{1}{\cos 0} \\ & = \frac{1}{2} . 1 . \frac{1}{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x – \sin x}{4x^3} = \frac{1}{8} $

Kaitan Limit fungsi Trigonometri dan Fungsi Aljabar
       Penyelesaian limit yang ada kaitan limit fungsi trigonometri dan fungsi aljabar memakai sifat-sifat berikut :

i). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x) }{bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin af(x) }{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{ \tan af(x) }{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $

Baca Juga:   Sifat-Sifat Limit Fungsi

Dengan syarat : $ f(k) = 0 $

Contoh :
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x – 1) }{x^2 – 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x – 2) } \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} – 2 } $
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : $ p^2 – q^2 = (p-q)(p+q) $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x – 1) }{x^2 – 1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x – 1) }{(x-1)(x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x – 1) }{(x-1)} . \frac{1}{x+1} \\ & = 1 . \frac{1}{1+1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{\sin (x – 1) }{x^2 – 1} = \frac{1}{2} $

b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x – 2) } & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)(x+3)}{ \tan ( x – 2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-2)}{ \tan ( x – 2) } . (x+3) \\ & = 1 . (2+3) \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ x^2 + x -6}{ \tan ( x – 2) } = 5 $

c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} – 2 } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} – 2 } \times \frac{\sqrt{ 4 + x} + 2 }{\sqrt{ 4 + x} + 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ (4+x) – 4 } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x } \times (\sqrt{ 4 + x} + 2 ) \\ & = 1 \times (\sqrt{ 4 + 0} + 2 ) \\ & = 1 \times (2 + 2 ) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 4 + x} – 2 } = 4 $

6). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \, $ untuk fungsi $ f(x) = \cos x $
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : $ \cos (A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
Sesampai lalu : $ f(x+h) = \cos (x + h) = \cos x \cos h – \sin x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sesampai lalu : $ \cos h = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h – 1 = (1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) – 1 = – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h – \sin x \sin h) – \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h – \cos x ) – \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h – 1 ) – \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h – 1 ) }{h} – \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h – 1 ) }{h} – \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} – \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) – \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) – \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) – \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) – \sin x \\ & = 0- \sin x \\ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = – \sin x \end{align} $

   Silahkan teman-teman juga baca dan pelajari bahan limit tak hingga lalu dengan fungsi trigonometri ialah pada artkel “Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri“.