Penyelesaian Limit Tak Hingga

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel kali ini kita akan membahas bahan Penyelesaian Limit Tak Hingga. Limit tak hingga kemudian ini maksudnya sanggup hasil limitnya merupakan tak hingga kemudian ($ \infty $) atau limit dimana variabelnya menuju tak hingga kemudian ($ x \to \infty $). Untuk memudahkan, silahkan juga baca bahan “Pengertian Limit Fungsi” dan “Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar“. Khusus pada limit tak hingga kemudian pada artikel ini kita akan lebih menitik beratkan pada fungsi aljabar saja. Untuk limit tak hingga kemudian fungsi trigonometri akan kita bahas pada artikel lain secara khusus dan lebih mendalam.

Hasil Limitnya Tak hingga kemudian
       Suatu limit balasannya tak hingga kemudian ($\infty$) apabila hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga kemudian, dapatnya terjadi dikala pembaginya merupakan 0 ($ \frac{1}{0} = \infty $ ) .

Berikut teorinya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \, (+0) } \frac{1}{x^n} = + \infty \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{x \to \, (-0) } \frac{1}{x^n} = \left\{ \begin{array}{cc} +\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ genap} \\ -\infty & , \text{ untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

Catatan : Jika pangkatnya genap ($n \, $ genap) maka balasannya selalu positif.

Contoh :
1). Tentukan nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} \, $ ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi $ f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} $

Dari tabel terlihat bahwa untuk $ x \, $ mendekati 2, maka hasil fungsinya (nilai $y $ ) semakin besar menuju tak hingga kemudian.
Jadi, hasil dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{1}{(x-2)^2} = \infty $

2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} $
Penyelesaian :
a). Karena $ x \to 5^+ \, $ (artinya $ x \, $ mendekati 5 dari kanan, sesampai kemudian nilai $ x – 5 \, $ positif.
$ \displaystyle \lim_{x \to 5^+ } \frac{x+2}{(x-5)^5} = \frac{5+2}{(5^+ – 5)^5} = \frac{7}{(+0)^5} = + \infty $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^8} = \frac{3}{(3^- – 3)^8 } = \frac{3}{(-0)^8} = \frac{3}{0} = +\infty $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 3^- } \frac{x}{(x-3)^7} =\frac{3}{(3^- – 3)^7 } = \frac{3}{(-0)^7} = \frac{3}{-0} = -\infty $

Penyelesaian Limit di Tak Hingga
       Untuk menuntaskan limit menuju tak hingga kemudian ($ x \to \infty $ ), kita gunakan limit dasarnya ialah : $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{a}{x^n} = 0 $
dengan $ a \, $ bilangan real dan $ n \, $ bilangan asli.

       Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga kemudian menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, apabila bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.

Contoh :
3). Tentukan hasil limit di tak hingga kemudian berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x – 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} – \sqrt{4x^2 – x + 3} $
Penyelesaian :
a). Bagi dengan $ x^3 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{x^3}}{\frac{5x^3 – 4x + 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3} }{\frac{5x^3 }{x^3} – \frac{ 4x }{x^3} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3} }{5 – \frac{ 4 }{x^2} + \frac{ 1}{x^3} } \\ & = \frac{ 2 + \frac{3}{\infty} + \frac{5}{\infty ^3} }{5 – \frac{ 4 }{\infty ^2} + \frac{ 1}{\infty ^3} } \\ & = \frac{ 2 + 0 + 0 }{5 – 0 + 0 } \\ & = \frac{ 2 }{5 } \\ \end{align} $
Sesampai kemudian balasannya $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} = \frac{ 2 }{5 } $

Baca Juga:   Soal-Soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri

b). Bagi dengan $ x^8 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{-2x^2 – 5}{x^8}}{\frac{5x^8 – 4x + 3}{x^8} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{-2}{x^6} – \frac{5}{x^8} }{ 5 – \frac{4}{x^7} + \frac{3}{x^8} } \\ & = \frac{ \frac{-2}{\infty ^6} – \frac{5}{\infty ^8} }{ 5 – \frac{4}{\infty ^7} + \frac{3}{\infty^8} } \\ & = \frac{ 0 – 0 }{ 5 – 0 + 0 } \\ & = \frac{ 0 }{ 5 } \\ & = 0 \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} = 0 $

c). Bagi dengan $ x^5 \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{x^5}}{\frac{3x^2 – 4x + 1 }{x^5}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 1 – \frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^4} – \frac{1}{x^5} }{ \frac{3}{x^3} – \frac{4}{x^4} + \frac{1}{x^5} } \\ & = \frac{ 1 – \frac{2}{\infty ^2} + \frac{5}{\infty ^4} – \frac{1}{\infty ^5} }{ \frac{3}{\infty ^3} – \frac{4}{\infty ^4} + \frac{1}{\infty ^5} } \\ & = \frac{ 1 – 0 + 0 – 0 }{ 0 – 0 + 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ 0} \\ & = \infty \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } = \infty $

d). Bagi dengan $ x \, $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x – 7} } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x + 1}{x}}{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x – 7}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \frac{\sqrt{9x^2 + 2x – 7}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{\frac{9x^2 + 2x – 7}{x^2} } } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 2 + \frac{1}{x} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{x} – \frac{7}{x^2} } } \\ & = \frac{ 2 + \frac{1}{\infty} }{ \sqrt{ 9 + \frac{2}{\infty} – \frac{7}{\infty ^2} } } \\ & = \frac{ 2 + 0 }{ \sqrt{ 9 + 0 – 0 } } \\ & = \frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 } } \\ & = \frac{ 2 }{3} \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x – 7} } = \frac{ 2 }{3} $

e). Kali sekawan biar terbentuk belahan dan bagi $ x $
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} – \sqrt{4x^2 – x + 3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} – \sqrt{4x^2 – x + 3} \times \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 – x + 3}}{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 – x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ (4x^2 +2x-3) – (4x^2 – x + 3) }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 – x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3x – 6 }{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 – x + 3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{ 3x – 6 }{x}}{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 – x + 3}}{x} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 – \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} + \sqrt{4x^2 – x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 – \frac{6}{x} }{ \frac{\sqrt{4x^2 +2x-3} }{\sqrt{x^2}} + \frac{ \sqrt{4x^2 – x + 3}}{\sqrt{x^2}} } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ 3 – \frac{6}{x} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{x} – \frac{3}{x^2} } + \sqrt{4 – \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} } \\ & = \frac{ 3 – \frac{6}{\infty} }{ \sqrt{4 +\frac{2}{\infty} – \frac{3}{\infty ^2} } + \sqrt{4 – \frac{1}{\infty} + \frac{3}{\infty ^2}} } \\ & = \frac{ 3 – 0}{ \sqrt{4 + 0 – 0 } + \sqrt{4 – 0 + 0 } } \\ & = \frac{ 3 }{ \sqrt{4 } + \sqrt{4 } } \\ & = \frac{ 3 }{ 2 + 2 } \\ & = \frac{ 3 }{ 4 } \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} – \sqrt{4x^2 – x + 3} = \frac{ 3 }{ 4 } $

Penyelesaian Limit di Tak Hingga Yang lebih mudah
       Berikut cara menuntaskan limit di tak hingga kemudian yang lebih gampang :

Baca Juga:   Soal-Soal Latihan Limit Fungsi Aljabar

$\clubsuit $ Limit tak hingga kemudian belahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + … \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + …. $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingga kemudiannya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + …}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ….} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.

$\clubsuit $ Limit tak hingga kemudian bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2 + bx + c } – \sqrt{ax^2 + px + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $

*). Bentuk kedua,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^n + bx^\frac{n}{2} + c } – \sqrt{ax^n + px^\frac{n}{2} + q } = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
Pangkat didepan merupakan dua kali pangkat kedua dan nilai $ a \, $ sama pada kedua akar.

Contoh :
4). Tentukan hasil limit di tak hingga kemudian dari soal nomor 3 di atas,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} \, \, \, $ b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} \, \, \, $ c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x – 7} } \, \, \, $ e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} – \sqrt{4x^2 – x + 3} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} – \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya $ x ^3 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} = \frac{2}{5} $

b). Pangkat tertingginya $ x^8 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^8 \, $,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{0x^8-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} = \frac{0}{5} = 0 $
c). Pangkat tertingginya $ x^5 \, $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{0x^5 + 3x^2 – 4x + 1 } = \frac{1}{0} = \infty $
d). Pangkat tertingginya $ x \, $ , artinya ambil koefisien $ x $ ,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 + 2x – 7} } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ \sqrt{9x^2 } } = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{2x + 1}{ 3x } = \frac{2}{3} $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2 +2x-3} – \sqrt{4x^2 – x + 3} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{2-(-1)}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4} $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{9x^8 +3x^4-3} – \sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{3-5}{2\sqrt{9}} = \frac{-2}{6} = – \frac{1}{3} $

Baca Juga:   Pengertian Limit Fungsi

5). Tentukan hasil limit tak hingga kemudian berikut ini,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 – 5x } – (x + 2) $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x – 3 – \sqrt{4x^2 +x – 7 } $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} $
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dahulu sesampai kemudian keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 – 5x } – (x + 2) & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 – 5x } – \sqrt{(x + 2)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 – 5x } – \sqrt{x^2 + 4x + 4} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-5-4}{2\sqrt{1}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2 – 5x } – (x + 2) & = \frac{-9}{2} \end{align} $

b). Ubah terlebih dahulu sesampai kemudian keduanya membentuk akar.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x – 3 – \sqrt{4x^2 +x – 7 } & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } (2x – 3) – \sqrt{4x^2 +x – 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{(2x – 3)^2} – \sqrt{4x^2 +x – 7 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{4x^2-12x + 9} – \sqrt{4x^2 +x – 7 } \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-12-1}{2\sqrt{4}} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } 2x – 3 – \sqrt{4x^2 +x – 7 } & = \frac{-13}{4} \end{align} $

c). Misalkan $ y = 5^x , \, $ untuk $ x \, $ menuju tak hingga kemudian, maka $ y \, $ juga menuju tak hingga kemudian, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} \\ & = \displaystyle \lim_{5^x \to 5^\infty } \frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 – 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{y . 5^2 – 7} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{y + 3 }{25y – 7} \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} & = \frac{1}{25} \end{align} $

   Silahkan teman-teman juga baca dan pelajari bahan limit tak hingga kemudian dengan fungsi trigonometri ialah pada artkel “Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri“.Selain itu, ada juga kegunaan dari limit fungsi tak hingga kemudian merupakan untuk memilih persamaan asimtot mendatar suatu fungsi.