Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Posted on

         Pondok Soal.com – Matematika Sekolah Menengah Pertama : Setelah sebelumnya kita berguru wacana bahan “Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup” , kita akan lanjutkan bahan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel. Hal-hal yang akan kita bahas dalam Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel yaitu pengertian persamaan linear satu variabel, dan bagaimana cara memilih himpunan penyelesaiaan persamaannya.

Pengertian Persamaan Linear satu Variabel
       Persamaan linear satu variabel merupakan kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan ($=$) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel merupakan $ \, ax + b = 0 \, $ dengan $ \, a \neq 0$.

       Variabel merupakan lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang sanggup dimengganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan. Variabel biasanya dilambangkan dengan karakter kecil.

Catatan :
*). Pangkat dari suatu variabel $ x \, $ merupakan $ n \, $ sanggup ditulis : $ x^n $.
*). Khusus untuk pangkat 1, biasanya tak ditulis. Misalkan variabel $ x \, $ pangkat 1 ditulis $ x \, $ saja.
*). Angka didepan variabel disebut sebagai koefisiennya dan tak menghipnotis pangkat dari variabel tersebut. Misalkan, bentuk $ 3x \, $ terdapat pangkat 1 dengan koefisiennya 3.
*). Angka yang tak terdapat variabel disebut sebagai konstanta. Misalkan, bentuk $ 5x – 7 = 0 \, $ terdapat konstanta $ \, -7 $.
*). Seberapa kayapun variabel yang sama ditulis dalam suatu persamaan tetap akan dianggap satu variabel saja. Misalkan, bentuk $ 2x – 3 + x^3 + 2x^5 = -5x^\frac{1}{5} + 2x – 7 \, $ tetap variabelnya merupakan $ \, x \, $ saja.

Contoh soal persamaan linear satu variabel :
1). Dari bentuk persamaan berikut ini, tentukan manakah yang merupakan persamaan linear satu variabel,
a). $ 2x – 5 = 7 $
b). $ x^2 + 3x = 2 $
c). $ \frac{2}{5}x = 3 $
d). $ 3x – 2y = 8 $
e). $ 3(x-1) = x + 5 – \frac{1}{7}x $
f). $ x^\frac{3}{2} – 5 = 2 + 5x $
Penyelesaian :
a). $ 2x – 5 = 7 $
Variabel pada $ 2x – 5 = 7 \, $ merupakan $ x \, $ dan berpangkat 1, sesampai lalu merupakan persamaan linear satu variabel.

b). $ x^2 + 3x = 2 $
Variabel pada $ x^2 + 3x = 2 \, $ merupakan $ x \, $ dan berpangkat 1 dan 2, sesampai lalu bukan persamaan linear satu variabel.

c). $ \frac{2}{5}x = 3 $
Variabel pada $ \frac{2}{5}x = 3 \, $ merupakan $ x \, $ dan berpangkat 1, sesampai lalu merupakan persamaan linear satu variabel.

d). $ 3x – 2y = 8 $
Variabel pada $ 3x – 2y = 8 \, $ merupakan $ x \, $ dan $ y \, $ , alasannya yakni variabelnya lebih dari 1 maka bentuk $ \, 3x – 2y = 8 \, $ bukan persamaan linear satu variabel.

e). $ 3(x-1) = x + 5 – \frac{1}{7}x $
Variabel pada $ 3(x-1) = x + 5 – \frac{1}{7}x \, $ merupakan $ x \, $ dan berpangkat 1, sesampai lalu merupakan persamaan linear satu variabel.

Baca Juga:   Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka Dan Kalimat Tertutup

f). $ x^\frac{3}{2} – 5 = 2 + 5x $
Variabel pada $ x^\frac{3}{2} – 5 = 2 + 5x \, $ merupakan $ x \, $ dan berpangkat $ \, \frac{3}{2} \, $ dan 1, sesampai lalu bukan persamaan linear satu variabel.

Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
       Himpunan penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel merupakan himpunan semua pengmengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sesampai lalu kalimat tersebut bernilai benar.

Contoh soal himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel :
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $ x – 3 = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
Bentuk $ x – 3 = 1 \, $ memeiliki penyelesaian untuk $ x = 4 \, $ alasannya yakni $ 4 – 3 = 1 \, $.
Sesampai lalu himpunan penyelesaiannya merupakan $ x = \{ 4 \} $.

Persamaan yang ekuivalen
       Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen apabila memiliki himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda ” $\Leftrightarrow$ “.

Contoh persamaan yang ekuivalen :
3). Pada persamaan $ x – 5 = 4$ , apabila $ x $ dimengganti 9 maka akan bernilai benar, sesampai lalu himpunan penyelesaian dari $ x – 5 = 4 \, $ merupakan {9}. Perhatikan apabila kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka
$ \begin{align} x – 5 & = 4 \\ \Leftrightarrow x – 5 + 5 & = 4 + 5 \\ \Leftrightarrow x + 0 & = 9 \\ \Leftrightarrow x & = 9 \end{align} $
Dengan kata lain, persamaan $ x – 5 = 4 \, $ ekuivalen dengan persamaan $ x = 9$, atau ditulis $x – 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9 $.

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel
       Untuk memudahkan menuntaskan persamaan linear satu variabel, kita akan menggukanan konsep persamaan yang ekuivalen.

Suatu persamaan sanggup dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara
a). menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;
b). mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh Soal :
4). Tentukan 4 bentuk yang setara (ekuivalen) dengan persamaan linear $ 2x – 1 = 5 $
Penyelesaian :
*). Berikut bentuk-bentuk yang ekuivalen :
i). kedua ruas ditambahkan 1,
$ \begin{align} 2x – 1 & = 5 \\ 2x – 1 + 1 & = 5 + 1 \\ 2x & = 6 \end{align} $
sesampai lalu bentuk ekuivalen persamaannya merupakan $ 2x = 6 $.

ii). kedua ruas dikurangkan 3 ,
$ \begin{align} 2x – 1 & = 5 \\ 2x – 1 – 3 & = 5 -3 \\ 2x – 4 & = 2 \end{align} $
sesampai lalu bentuk ekuivalen persamaannya merupakan $ 2x – 4 = 2 $.

iii). kedua ruas dikalikan 2,
$ \begin{align} 2x – 1 & = 5 \\ 2 \times (2x – 1 ) & = 2 \times 5 \\ 4x – 2 & = 10 \end{align} $
sesampai lalu bentuk ekuivalen persamaannya merupakan $ 4x – 2 = 10 $.

iv). kedua ruas dibagi 4,
$ \begin{align} 2x – 1 & = 5 \\ \frac{(2x – 1 )}{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{2x }{4} – \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{x }{2} – \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{1 }{2} x – \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \end{align} $
sesampai lalu bentuk ekuivalen persamaannya merupakan $ \frac{1 }{2} x – \frac{1 }{4} = \frac{5}{4} $.

Baca Juga:   Pembahasan Latihan 2.3 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Kelas Vii Kurikulum 2013+

Kaprikornus persamaan $ 2x – 1 = 5 \, $ ekuivalen atau setara dengan persamaan
$ 2x = 6, \, 2x – 4 = 2, \, 4x – 2 = 10, \, \frac{1 }{2} x – \frac{1 }{4} = \frac{5}{4} $.

5). Tentukan penyelesaian dari persamaan $ 2x – 1 = 5 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 2x – 1 & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah 1)} \\ 2x – 1 + 1 & = 5 + 1 \\ 2x & = 6 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x}{2} & = \frac{6}{2} \\ x & = 3 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan $ x = \{ 3 \} $.

6). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ 4x – 3 = 3x + 5 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 4x – 3 & = 3x + 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah 3)} \\ 4x – 3 + 3 & = 3x + 5 + 3 \\ 4x & = 3x + 8 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ 4x – 3x & = 3x + 8 – 3x \\ x & = 8 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan $ x = \{ 8 \} $.

7). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ 3x + 13 = 5 – x $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 3x + 13 & = 5 – x \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurang 13)} \\ 3x + 13 – 13 & = 5 – x – 13 \\ 3x & = -8 – x \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah } x) \\ 3x + x & = -8 – x + x \\ 4x & = -8 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikali } \frac{1}{4}) \\ \frac{1}{4} \times 4x & = \frac{1}{4} \times (-8 ) \\ x & = -2 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan $ x = \{ -2 \} $.

8). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ \frac{1}{2}x – 2 = 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} \frac{1}{2}x – 2 & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ \frac{1}{2}x – 2 + 2 & = 1 + 2 \\ \frac{1}{2}x & = 3 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 2)} \\ 2 \times \frac{1}{2}x & = 2 \times 3 \\ x & = 6 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan $ x = \{ 6 \} $.

9). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ \frac{1}{5}x – 2 = \frac{x-1}{2} $
Penyelesaian :
*). Jika persamaan linearnya memuat belahan lebih dari satu, maka untuk memudahkan dalam menyelesaikannya kita harus mengalikan dengan KPK dari penyebut belahan yang merupakan bab dari sifat ekuivalen.
*). Bentuk $ \frac{1}{5}x – 2 = \frac{x-1}{2} \, $ memuat belahan dengan penyebut 5 dan 2 dengan KPKnya 10, ini artinya kedua ruas kita kalikan 10.
$ \begin{align} \frac{1}{5}x – 2 & = \frac{x-1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 10)} \\ 10 \times \left( \frac{1}{5}x – 2 \right) & = 10 \times \left( \frac{x-1}{2} \right) \\ 10 \times \frac{1}{5}x – 10 \times 2 & = \frac{10(x-1)}{2} \\ 2x – 20 & = 5(x-1) \\ 2x – 20 & = 5x – 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 20)} \\ 2x – 20 + 20 & = 5x – 5 + 20 \\ 2x & = 5x + 15 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 5x) \\ 2x – 5x & = 5x + 15 – 5x \\ -3x & = 15 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi } -3) \\ \frac{-3x}{-3} & = \frac{15}{-3} \\ x & = -5 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan $ x = \{ -5 \} $.

Baca Juga:   Pembahasan Latihan 2.1 Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Kelas Vii Kurikulum 2013+

Cara II : Menyamakan penyebutnya,
$ \begin{align} \frac{1}{5}x – 2 & = \frac{x-1}{2} \\ \frac{1}{5}x – 2 & = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ \frac{1}{5}x – 2 + 2 & = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2} + 2 \\ \frac{1}{5}x & = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } \frac{1}{2}x ) \\ \frac{1}{5}x – \frac{1}{2}x & = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} – \frac{1}{2}x \\ \frac{2}{10}x – \frac{5}{10}x & = \frac{3}{2} \\ \frac{-3}{10}x & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } \frac{-10}{3} ) \\ \frac{-10}{3} \times \frac{-3}{10}x & = \frac{-10}{3} \times \frac{3}{2} \\ x & = \frac{-30}{6} \\ x & = -5 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya merupakan $ x = \{ -5 \} $.

10). Persamaan linear $ 3x – 2 = m – x \, $ terdapat penyelesaian untuk $ x = 3. \, $ Tentukan nilai $ m $.
Penyelesaian :
*). Karena $ x = 3 \, $ merupakan solusinya, maka sanggup kita substitusikan ke persamaannya
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow 3x – 2 & = m – x \\ 3 \times 3 – 2 & = m – 3 \\ 9 – 2 & = m – 3 \\ 7 & = m – 3 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3) } \\ 7 + 3 & = m – 3 + 3 \\ 10 & = m \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ m = 10 $ .