Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Materi yang akan kita pelajari kali ini merupakan Penyelesaian Persamaan Trigonometri. Persamaan trigonometri merupakan suatu bahan dalam bentuk persamaan yang melibatkan bentuk trigonometri. Penyelesaian dari persamaan trigonometri merupakan besarnya sudut yang diperoleh dimana sudut tersebut memenuhi persamaan yang ada. Untuk memudahkan, silahkan juga baca bahan “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“, dan bahan trigonometri lainnya.

Penyelesaian Persamaan Trigonometri untuk Sinus, Cosinus, dan Tan
       Berikut penyelesaian persamaan trigonometrinya :
$\clubsuit $ Persamaan Sinus : $ \sin f(x) = \sin \theta \, $ terdapat penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = (180^\circ – \theta ) + k . 2 \pi $

$\clubsuit $ Persamaan Cosinus : $ \cos f(x) = \cos \theta \, $ terdapat penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \, $ dan $ \, f(x) = – \theta + k . 2 \pi $

$\clubsuit $ Persamaan Tan : $ \tan f(x) = \tan \theta \, $ terdapat penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k . \pi \, $

dengan nilai $ \pi = 180^\circ \, $ dan $ k \, $ merupakan bilangan bulat.

Catatan :
*). Untuk menuntaskan persamaan trigonometri, persamaan harus kita ubah dahulu menyerupai bentuk di atas.
*). Dari bentuk penyelesaian persamaan trigonometri di atas, sanggup disimpulkan bahwa penyelesaiannya kaya sekali (tak hingga kemudian). Tapi jangan khawatir saja, biasanya solusinya hanya diminta dalam rentang atau interval tertentu saja. Untuk lebih terangnya, perhatikan pola berikut ini.
*). Jika bentuk persamaannya selain bentuk umum di atas, selesaikan dahulu persamaannya sesampai lalu diperoleh nilai salah satu trigonometri , misalkan nilai sin atau cos atau tan, lalu gunakan penyelesaian di atas untuk menemukan solusi yang lainnya. Salah satu caranya merupakan dengan memisalkan persamaan yang ada atau pribadi difaktorkan.

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan trigonometri berikut untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
a). $ \sin 2 x – \frac{1}{2} = 0 $
b). $ \cos x – \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $
c). $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $
Penyelesaian :
a). Persamaannya : $ \sin 2 x – \frac{1}{2} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \sin 2 x – \frac{1}{2} = 0 \rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \rightarrow \sin 2x = \sin 30^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 2x \, $ dan $ \theta = 30^\circ $
*). Menentukan penyelesaian sinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ 2x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 15^\circ + k \times 180^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 15^\circ + (-1) \times 180^\circ \\ & = 15^\circ – 180^\circ \\ & = -165^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 15^\circ + 0 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 0 \\ & = 15^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 15^\circ + 1 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 180^\circ \\ & = 195^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 15^\circ + 2 \times 180^\circ \\ & = 15^\circ + 360^\circ \\ & = 375^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 15^\circ , \, 195^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = (180^\circ – \theta ) + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = (180^\circ – \theta ) + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = (180^\circ – \theta ) + k \times 360^\circ \\ f(x) & = (180^\circ – 30^\circ ) + k \times 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 75^\circ + k \times 180^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 75^\circ + (-1) \times 180^\circ \\ & = 75^\circ – 180^\circ \\ & = -105^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 75^\circ + 0 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 0 \\ & = 75^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 75^\circ + 1 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 180^\circ \\ & = 255^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 75^\circ + 2 \times 180^\circ \\ & = 75^\circ + 360^\circ \\ & = 435^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 75^\circ , \, 255^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ merupakan $ \{ 15^\circ , \, 75^\circ, \, 195^\circ, \, 255^\circ \} $

Baca Juga:   Luas Segi Empat Tali Busur

b). Persamaannya : $ \cos x – \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \cos x – \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3} \rightarrow \cos x = \cos 30^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = x \, $ dan $ \theta = 30^\circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 30^\circ – 360^\circ \\ & = -330^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 0 \\ & = 30^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 360^\circ \\ & = 390^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 30^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = – \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = – \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x & = -30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = -30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = -30^\circ – 360^\circ \\ & = -390^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = -30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 0 \\ & = -30^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = -30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 360^\circ \\ & = 330^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 330^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ merupakan $ \{ 30^\circ , \, 330^\circ \} $

c). Persamaannya : $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 \rightarrow \tan 3x = – \sqrt{3} \rightarrow \tan 3x = \tan 120^\circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 3x \, $ dan $ \theta = 120^\circ $
*). Menentukan penyelesaian Tan :
Solusinya :$ f(x) = \theta + k . \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 180^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 180^\circ \\ 3x & = 120^\circ + k \times 180^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 40^\circ + k \times 60^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 40^\circ + (-1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ – 60^\circ \\ & = -20^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 40^\circ + 0 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 0 \\ & = 40^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 40^\circ + (1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 60^\circ \\ & = 100^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 40^\circ + 2 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 120^\circ \\ & = 160^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 3 \rightarrow x & = 40^\circ + 3 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 180^\circ \\ & = 220^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 4 \rightarrow x & = 40^\circ + 4 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 240^\circ \\ & = 280^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 5 \rightarrow x & = 40^\circ + 5 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 300^\circ \\ & = 340^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 6 \rightarrow x & = 40^\circ + 6 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 360^\circ \\ & = 400^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ merupakan $ \{ 40^\circ , 100^\circ , 160^\circ , 220^\circ , 280^\circ , 340^\circ \} $

Baca Juga:   Koordinat Kutub Dan Koordinat Cartesius Pada Trigonometri

2). Himpunan semua peubah $ x \, $ dalam selang $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ yang memenuhi $ 2\cos ^2 x = 3\sin x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Bentuk persamaannya tak umum, sesampai lalu harus diselesaikan dahulu.
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yakni :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 – \sin ^2 x $
*). Menentukan nilai sin dengan memfaktorkan :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2( 1 – \sin ^2 x ) & = 3\sin x + 3 \\ 2 – 2 \sin ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = – \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita pribadi memilih besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = – \frac{1}{2} \rightarrow x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} $
$ \sin x = – 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ \{ \frac{7\pi}{6} , \, \frac{7\pi}{6} , \, \frac{11\pi}{6} \} $

Mengubah bentuk $ a \sin f(x) + b \cos f(x) $
       Bentuk $ a \sin f(x) + b \cos f(x) \, $ sanggup diubah menjadi bentuk :

$ a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos \left( f(x) – \theta \right) $

dengan : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \, $ dan $ \tan \theta = \frac{\text{koefisien } \sin }{ \text{koefisien } \cos } = \frac{a}{b} $
dan syaratnya merupakan kedua sudut sinus dan cosinus.

Contoh :
3). Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk simpeln :
a). $ \sin x + \sqrt{3} \cos x $
b). $ 2\sqrt{3} \sin (5x) – 2 \cos (5x ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ \sin x + \sqrt{3} \cos x = k \cos ( x – \theta ) $
artinya : $ a = 1 \, $ dan $ b = \sqrt{3} $
sesampai lalu nilai : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 } = \sqrt{1 + 3} = 2 $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \theta = 30 ^\circ $
Diperoleh bentuk simpelnya :
$ \sin x + \sqrt{3} \cos x = k \cos ( x – \theta ) \rightarrow \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \cos ( x – 30 ^\circ ) $
Jadi, bentuk simpel dari $ \sin x + \sqrt{3} \cos x \, $ merupakan $ 2 \cos ( x – 30 ^\circ ) $

b). Bentuk $ 2\sqrt{3} \sin (5x) – 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x – \theta ) $
artinya : $ a = 2\sqrt{3} \, $ dan $ b = – 2 $
sesampai lalu nilai : $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (- 2)^2 } = \sqrt{12 + 4} = 4 $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{ 2\sqrt{3}}{- 2} = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120 ^\circ $
Diperoleh bentuk simpelnya :
$ 2\sqrt{3} \sin (5x) – 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x – \theta ) \rightarrow 2\sqrt{3} \sin (5x) – 2 \cos (5x ) = 4 \cos ( 5x – 120 ^\circ ) $
Jadi, bentuk simpel dari $ 2\sqrt{3} \sin (5x) – 2 \cos (5x ) \, $ merupakan $ 4 \cos ( 5x – 120 ^\circ ) $

Baca Juga:   Luas Segitiga Bila Diketahui Dua Sisi Satu Sudut

4). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \sin x – \cos x = 1 \, $ untuk $ x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ?
Penyelesaian :
*). Menyederhanakan bentuk ruas kiri dari persamaan : $ \sin x – \cos x = 1 $
$ \sin x – \cos x = k \cos (x – \theta ) , \, $ artinya $ a = 1 \, $ dan $ b = -1 $
Nilai $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 + (-1)^2 } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $
Sudutnya : $ \tan \theta = \frac{a}{b} \rightarrow \tan \theta = \frac{ 1}{- 1} = -1 \rightarrow \theta = 135 ^\circ $
Diperoleh bentuk simpelnya :
$ \sin x – \cos x = k \cos (x – \theta ) \rightarrow \sin x – \cos x = \sqrt{2} \cos (x – 135 ^\circ ) $
*). Persamaannya menjadi : $ \sin x – \cos x = 1 \rightarrow \sqrt{2} \cos (x – 135 ^\circ ) = 1 $
*). Menyelesaikan pertaksamaan :
$ \sqrt{2} \cos (x – 135 ^\circ ) = 1 \rightarrow \cos (x – 135 ^\circ ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow \cos (x – 135 ^\circ ) = \cos 45^\circ $
Artinya : $ f(x) = x – 135 ^\circ \, $ dan $ \theta = 45^\circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x – 135 ^\circ & = 45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 180^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 180^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 180^\circ – 360^\circ \\ & = -180^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 180^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 0 \\ & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 180^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 360^\circ \\ & = 540^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ \{ 180^\circ \} $
Kedua : $ f(x) = – \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = – \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x – 135 ^\circ & = -45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 90^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 90^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 90^\circ – 360^\circ \\ & = -270^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 90^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 0 \\ & = 90^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 90^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 360^\circ \\ & = 550^\circ \, \, \, \, \text{(tak memenuhi interval)} \end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ \{ 90^\circ \} $
Jadi, penyelesaian nilai $ x \, $ merupakan $ \{ 90^\circ , \, 180^\circ \} $