Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku

Posted on

         Pondok Soal.comPerbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku merupakan salah satu cara dalam mendeskripsikan nilai perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri ada sedikit jenis yakni sin, cos, tan, secan (sec), cossec (csc), dan cotangen (cot). Karena perbandingan trigonometri melibatkan sudut-sudut, silahkan juga baca bahan “Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran“.

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
       Perhatikan segitiga siku-siku berikut,

Berikut Perbandingan Trigonometrinya :
*). $ \sin A = \frac{sisi depan}{sisi miring} = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{BA} = \frac{a}{c} $
*). $ \cos A = \frac{sisi samping}{sisi miring} = \frac{sa}{mi} = \frac{CA}{BA} = \frac{b}{c} $
*). $ \tan A = \frac{sisi depan}{sisi samping} = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b} $
*). $ \sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b} $
*). $ \csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\frac{a}{c}} = \frac{c}{a} $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} $
*). $ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{\sin A }{\cos A } \rightarrow \tan A = \frac{\sin A }{\cos A } $
*). $ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\frac{\sin A }{\cos A }} = \frac{\cos A}{\sin A } \rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A } $

Contoh :
1). Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 3 satuan, BC = 4 satuan, tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. ?
Penyelesaian :
*). Deskripsi gambarnya,
Untuk segitiga di bawah ini, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan.

*). Menentukan nilai perbandingan trigonometrinya
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} = \frac{BC}{CA} = \frac{4}{5} \\ \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{AB}{CA} = \frac{3}{5} \\ \tan A & = \frac{de}{sa} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} \end{align} $

2). Di bawah ini diberikan tiga segitiga siku-siku, diketahui $ \cos \theta = \frac{3}{5} $ . Tentukanlah nilai $ x $. ?

Penyelesaian :
a). Dari gambar (a),
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} \\ \cos \theta & = \frac{x}{8} \\ \frac{3}{5} & = \frac{x}{8} \\ x & = \frac{24}{5} \end{align} $

b). Menentukan nilai $ sin \theta $ pada segitiga gambar (b).
diketahui nilai $ \cos \theta = \frac{3}{5} = \frac{sa}{mi} , \, $ menurut pythagoras, diperoleh nilai depannya yakni 4, sesampai lalu nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{4}{5} $
*). Menentukan nilai $ x $.
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} \\ \sin \theta & = \frac{x}{4} \\ \frac{4}{5} & = \frac{x}{4} \\ x & = \frac{16}{5} \end{align} $

Baca Juga:   Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Berelasi

3). Diketahui $ \sin x + \cos x = 3 \, $ dan $ \tan x = 2 $ , tentukanlah nilai $\sin x $ dan $ \cos x $!
Penyelesaian :
*). Bentuk : $ \tan x = 2 \rightarrow \frac{\sin x }{\cos x} = 2 \rightarrow \sin x = 2\cos x $
*). Substitusi $ \sin x = 2\cos x $ ke persamaan $ \sin x + \cos x = 3 $
$ \begin{align} \sin x = 2\cos x \rightarrow \sin x + \cos x & = 3 \\ 2\cos x + \cos x & = 3 \\ 3\cos x & = 3 \\ \cos x & = 1 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \sin x = 2\cos x = 2 . 1 = 2 $
Jadi, diperoleh nilai $ \sin x = 2 \, $ dan $ \cos x = 1 $

Identitas Trigonometri
       Perhatikan segitiga siku-siku berikut,

Perbandingan trigonometri yang berlaku merupakan :
$ \sin A = \frac{y}{r}, \, \cos A = \frac{x}{r}, \, \tan A = \frac{y}{x}, $
$ \sec A = \frac{r}{x}, \, \csc A = \frac{r}{y}, \, \cot A = \frac{x}{y} $
Dari segitiga siku-siku di atas, berlaku teorema pythagoras, yakni :
$ x^2 + y^2 = r^2 \, $ ………..pers(i)
*). pers(i) dibagi dengan $ r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} & = \frac{r^2}{r^2} \\ \left( \frac{x}{r} \right)^2 + \left( \frac{y}{r} \right)^2 & = 1 \\ \left( \cos A \right)^2 + \left( \sin A \right)^2 & = 1 \\ \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \end{align} $
Persamaan $ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 \, $ inilah yang disebut sebagai identitas trigonometri.
**). pers(i) dibagi dengan $ x^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} & = \frac{r^2}{x^2} \\ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 & = \left( \frac{r}{x} \right)^2 \\ 1 + \left( \tan A \right)^2 & = \left( \sec A \right)^2 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \end{align} $
**). pers(i) dibagi dengan $ y^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{y^2} & = \frac{r^2}{y^2} \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 1 & = \left( \frac{r}{y} \right)^2 \\ \left( \cot A \right)^2 + 1 & = \left( \csc A \right)^2 \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $

Jadi, diperoleh kumpulan persamaan identitas trigonometri, yakni :
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ 1 + \tan ^2 A & = \sec ^2 A \\ \cot ^2 A + 1 & = \csc ^2 A \end{align} $

Baca Juga:   Ukuran Sudut : Derajat, Radian, Dan Putaran

Contoh :
Jika diketahui nilai $ \sin A = x, \, $ tentukan nilai $ \cos A , \, \tan A, \, \sec A, \, $ dan $ \csc A , \, $ dimana sudut A merupakan sudut lancip (semua nilai trigonometrinya positif).!
Penyelesaian :
Sebenarnya ada dua cara untuk menuntaskan soal ini, yakni dengan menggambar segitiganya atau dengan memakai persamaan identitas trigonometri.
Cara I : Menggunakan persamaan identitas trigonometri.
Persamaan identitas trigonometri dan diketahui nilai $ \sin A = x $
$ \begin{align} \cos ^2 A + \sin ^2 A & = 1 \\ \cos ^2 A + x^2 & = 1 \\ \cos ^2 A & = 1 – x^2 \\ \cos A & = \sqrt{1-x^2} \end{align} $
*). Sesampai lalu nilai trigonometri yang lainnya :
$ \begin{align} \tan A & = \frac{\sin A }{\cos A} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{\cos A}{\sin A } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $

Cara II : Menggunakan segitiga siku-siku :
*). Diketahui nilai $ \sin A = x \rightarrow \sin A = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
Artinya nilai sisi depan $ x \, $ dan sisi miring $ a \, $ , menurut pythagoras diperoleh sisi sampingnya $ \sqrt{1-x^2} $ .
*). ilustrasi gambarnya :

*). Menentukan nilai trigonometrinya dari segitiga siku-siku
$ \begin{align} \cos A & = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \\ \tan A & = \frac{de }{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ \sec A & = \frac{1}{\cos A } = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \csc A & = \frac{1}{\sin A } = \frac{1}{x} \\ \cot A & = \frac{sa}{de } = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \end{align} $