Perbandingan Vektor Pada Ruas Garis

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Perbandingan Vektor pada Ruas Garis. Perbandingan vektor ini bersama-sama sama dengan kelipatan pada vektor yang sudah kita pelajari pada artikel “kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris“. Hanya saja pada artikel Perbandingan Vektor pada Ruas Garis ini kita membahasnya lebih mendalam lagi yang terkait dengan koordinat titik pembaginya. Ada dua hal penting yang akan kita pelajari pada bahan Perbandingan Vektor pada Ruas Garis yakni sanggup memilih perbandingan dua buah vektor (atau panjang dua buah garis) dan memilih koordinat titik pembagi pada ruas garis tersebut. Tentu dalam pengerjaan soal-soal Perbandingan Vektor pada Ruas Garis masih melibatkan bahan vektor lainnya, sesampai lalu teman-teman harus menguasai dahulu bahan vektor sebelumnya menyerupai “pengertian vektor“, “vektor posisi“, “kelipatan vektor“, “penjumlahan dan pengurangan vektor“, dan “persobat semua vektor dengan skalar“.

         Untuk Perbandingan Vektor pada Ruas Garis, terdapat tiga jenis dalam pembagian ruas garisnya yang mengakibatkan juga ada tiga jenis bentuk perbandingan vektornya. Misalkan terdapat titik A, titik B dan titik P pada sebuah ruas garis. Kita anggap titik P sebagai pembagi ruas garis AB. Ada dua kecukupan letak titik P yakni :
1). Titik P terletak diantara titik A dan B (membagi di dalam),
2). Titik P terletak sebelum atau setelah titik A dan B (membagi di luar).

         Misalkan dari titik A, B, dan P kita buat vektor vosisi masing-masing yakni $ \vec{OA} = \vec{a} $ , $ \vec{OB} = \vec{b} $ dan $ \vec{OP} = \vec{p} $. Dari artikel “vektor posisi“, apabila vektor posisinya $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ , maka koordinat titik A merupakan A$(a_1,a_2,a_3)$. Berikut penterangan ketiga kecukupan letak titik P sebagai titik pembagi ruas garis AB dalam Perbandingan Vektor pada Ruas Garis.

Perbandingan Vektor dengan titik bagi di dalam
       Misalkan titik P membagi garis AB di dalam dengan perbandingan $ \vec{AP} : \vec{PB} = m : n $ dimana $ m $ dan $ n $ semuanya positif, menyerupai gambar berikut ini.

Koordinat titik P sanggup ditentukan dengan rumus perbandingan vektor :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \end{align} $

$\spadesuit \, $ Pembuktian rumus perbandingan vektor titik bagi di dalam :
       Perhatikan gambar berikut ini,

Dari bentuk perbandingan vektornya maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{AP} : \vec{PB} & = m : n \\ \frac{\vec{AP}}{\vec{PB}} & = \frac{m}{n} \\ n\vec{AP} & = m\vec{PB} \\ n(\vec{p} – \vec{a}) & = m(\vec{b} – \vec{p}) \\ n\vec{p} – n\vec{a} & = m\vec{b} – m\vec{p} \\ n\vec{p} + m\vec{p} & = m\vec{b} + n\vec{a} \\ (m+n)\vec{p} & = m\vec{b} + n\vec{a} \\ \vec{p} & = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \end{align} . \, \heartsuit $

Perbandingan Vektor dengan titik bagi di luar
       Misalkan titik P membagi garis AB di luar dengan perbandingan $ m : n \, $ dimana $ m $ dan $ n $ semuanya positif. Ada dua kecukupan letak titik P terhadap titik A dan B yakni :
(i). Titik P terletak sebelum AB dengan syarat $ m < n $
Perbandingan vektornya : $ \vec{PA} : \vec{PB} = m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = -m : n $
(ii). Titik P terletak setelah AB dengan syarat $ m > n $
Perbandingan vektornya : $ \vec{AP} : \vec{BP} = m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = m : -n $
(Catatan : Jika arah vektor dibalik maka nilai perbandingannya menjadi negatif).
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini

Koordinat titik P sanggup ditentukan dengan rumus perbandingan vektor :
*). Titik P sebelum garis AB :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{-m\vec{b} + n\vec{a}}{-m+n} \end{align} $
*). Titik P setelah garis AB :
$ \begin{align} \vec{p} = \frac{m\vec{b} -n\vec{a}}{m-n} \end{align} $

Catatan :
*). Untuk titik P berada di luar garis berarah AB, terdapat dua rumus pada klasifikasi di atas tergantung dari letaknya yakni sebelum atau setelah AB. Sebenarnya kedua rumus tersebut menghasilkan vektor posisi P yang sama (coba kalikan $ -1 $ pada pembilang dan penyebutnya, niscaya menawarkan hasil yang sama) , Sesampai lalu kita cukup memakai salah satu.
*). Agar memudahkan dalam menghitung, sebaiknya kasih tanda negatif pada nilai perbandingan yang lebih kecil saja.

Baca Juga:   Perkalian Skalar (Dot Product) Dua Vektor

$\spadesuit \, $ Pembuktian rumus perbandingan vektor titik bagi di luar :
       Cara pembuktiannya sama dengan cara titik bagi di dalam dengan memakai perbandingan vektor $ \vec{AP} : \vec{PB} = -m : n $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = m : -n $.

$ \clubsuit \, $ Trik gampang mengingat Rumus Perbandingan vektor :
       Berikut trik gampang mengingat rumus perbandingan vektor sesampai lalu kita tak perlu mengingat gambarnya lagi:
Trik I : Bentuk perbandingannya harus yang kembar (titik yang double ) harus berada ditengah, apabila belum maka baliklah sehinga yang kembar ada ditengah. INGAT : apabila mebalik vektor maka tandanya menjadi negatif.
Trik II : Cara menghitungnya merupakan akrab kali akrab dan jauh kali jauh menyerupai gambar berikut ini:

Trik III : Jika teman-teman lupa dengan rumus perbandingannya, maka kita pribadi gunakan bentuk persobat semua vektor dengan skalar saja atau kelipatan vektor.
Misalkan terdapat perbandingan vektor $ \vec{PA} : \vec{PB} = m : n $
Maka pengerjaannya kita jabarkan biasa yakni :
$ \begin{align} \vec{PA} : \vec{PB} & = m : n \\ \frac{ \vec{PA}}{ \vec{PB} } & = \frac{m }{ n } \\ n\vec{PA} & = m \vec{PB} \\ n(\vec{a} – \vec{p}) & = m (\vec{b} – \vec{p}) \\ n\vec{a} – n\vec{p} & = m\vec{b} – m\vec{p} \end{align} $
Dari bentuk $ n\vec{a} – n\vec{p} = m\vec{b} – m\vec{p} $ ini niscaya kita akan sanggup mencari vektor satuan mana yang diminta alasannya tinggal mengmengganti titik yang diketahui.

Sebagai ilustrasi trik I dan trik II di atas yakni :
a). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{AB} : \vec{BC} = m : n $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{b} = \frac{m\vec{c} +n\vec{a}}{m +n} $
b). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{BA} : \vec{BC} = p : q $
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yakni titik B belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dahulu menjadi $ \vec{AB} : \vec{BC} = -p : q $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{b} = \frac{-p\vec{c} +q\vec{a}}{-p +q} $
c). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{CD} : \vec{GD} = p : q $
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yakni titik D belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dahulu menjadi $ \vec{CD} : \vec{DG} = p : -q $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{d} = \frac{p\vec{g} -q\vec{c}}{p – q} $
d). Misalkan ada perbandingan vektor $ \vec{AD} : \vec{BA} = m : n $
Karena yang kembar (yang doubel titiknya) yakni titik A belum ditengah pada perbandingannya, maka kita balik dahulu menjadi $ \vec{BA} : \vec{AD} = n : m $
Rumus perbandingan vektornya : $ \vec{a} = \frac{n\vec{d} + m\vec{b}}{n + m} $

Contoh soal Perbandingan Vektor pada Ruas Garis

1). Tentukan koordinat titik P yang membagi garis hubung $A(2,3,-1) $ dan $ B(-3,3, 4) $ dengan perbandingan $ 2 : 3 $ menurut ketentukan :
a). Titik P membagi AB di dalam,
b). Titik P membagi AB di luar dan tentukan posisi letak titik P.
Penyelesaian :
a). Titik P membagi AB di dalam,
*). Bentuk perbandingannya merupakan $ \vec{AP} : \vec{PB} = 2 : 3 $
*). Menentukan vektor posisi titik P :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{2\vec{b} + 3\vec{a}}{2+3} \\ & = \frac{1}{5} (2\vec{b} + 3\vec{a}) \\ & = \frac{1}{5} (2(-3,3, 4) + 3(2,3,-1)) \\ & = \frac{1}{5} ((-6,6, 8) + (6,9,-3)) \\ & = \frac{1}{5} (0,15, 5) \\ & = (0,3, 1) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik P yakni $ \vec{p} = (0,3, 1) $
sesampai lalu koordinat titik P merupakan (0,3, 1) .

b). Titik P membagi AB di luar dan tentukan posisi letak titik P.
*). Perbandingan vektornya $ m : n = 2 : 3 $ artinya $ m < n $ sesampai lalu titik P terletak sebelum garis AB.
*). Bentuk perbandingannya merupakan $ \vec{PA} : \vec{PB} = 2 : 3 $ atau $ \vec{AP} : \vec{PB} = -2 : 3 $
*). Menentukan vektor posisi titik P :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{-2\vec{b} + 3\vec{a}}{-2+3} \\ & = \frac{-2\vec{b} + 3\vec{a}}{1} \\ & = -2\vec{b} + 3\vec{a} \\ & = -2(-3,3, 4) + 3(2,3,-1) \\ & = (6,-6, -8) + (6,9,-3) \\ & = (12,3, -11) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik P yakni $ \vec{p} = (12,3, -11) $
sesampai lalu koordinat titik P merupakan $ (12,3, -11) $ yang terletak sebelum titik A dan B.

Baca Juga:   Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar Dan Segaris

2). Tentukan koordinat titik C yang membagi garis hubung $P(2,-3,3) $ dan $ Q(2,4, 3) $ dengan perbandingan $ 5 : 2 $ menurut ketentukan :
a). Titik C membagi PQ di dalam,
b). Titik C membagi PQ di luar dan tentukan posisi letak titik C.
Penyelesaian :
a). Titik C membagi PQ di dalam,
*). Bentuk perbandingannya merupakan $ \vec{PC} : \vec{CQ} = 5 : 2 $
*). Menentukan vektor posisi titik C :
$ \begin{align} \vec{c} & = \frac{5\vec{q} + 2\vec{p}}{5 + 2} \\ & = \frac{1}{7} (5\vec{q} + 2\vec{p}) \\ & = \frac{1}{7} (5(2,4, 3) + 2(2,-3,3)) \\ & = \frac{1}{7} ((10,20, 15) + (4,-6,6)) \\ & = \frac{1}{7} (14,14, 21) \\ & = (2 , 2, 3) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik C yakni $ \vec{c} = (2 , 2, 3) $
sesampai lalu koordinat titik C merupakan (2 , 2, 3) .

b). Titik C membagi PQ di luar dan tentukan posisi letak titik C.
*). Perbandingan vektornya $ m : n = 5 : 2 $ artinya $ m > n $ sesampai lalu titik C terletak setelah garis PQ.
*). Bentuk perbandingannya merupakan $ \vec{PC} : \vec{QC} = 5 : 2 $ atau $ \vec{PC} : \vec{CQ} = 5 : -2 $
*). Menentukan vektor posisi titik C :
$ \begin{align} \vec{c} & = \frac{5\vec{q} – 2\vec{p}}{5 – 2} \\ & = \frac{1}{3} (5\vec{q} – 2\vec{p}) \\ & = \frac{1}{3} (5(2,4, 3) – 2(2,-3,3)) \\ & = \frac{1}{3} ((10,20, 15) – (4,-6,6)) \\ & = \frac{1}{3} (6,26,9) \\ & = \left(2,\frac{26}{3}, 3 \right) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik C yakni $ \vec{c} = \left(2,\frac{26}{3}, 3 \right) $
sesampai lalu koordinat titik C merupakan $ \left(2,\frac{26}{3}, 3 \right) $ yang terletak setelah titik P dan Q.

3). Tentukan Koordinat titik P yang terletak di luar AB dengan $ A(-3, 2 , 1 ) $ , $ B( 1, -2, 4) $ $ \vec{AP} : \vec{PB} = 3 : (-2) $ dan tentukan letak titik P!
Penyelesaian :
*). Pada perbandingan $ \vec{AP} : \vec{PB} = 3 : (-2) $, titik yang kembar (titik P) sudah ada ditengah sesampai lalu tak perlu kita balik arah vektornya. Untuk mengerjakannya pribadi kita gunakan “dekat-dekat jauh-jauh“.
*). Menentukan vektor posisi titik P :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{3\vec{b} – 2\vec{a}}{3 – 2} \\ & = \frac{3\vec{b} – 2\vec{a}}{1} \\ & = 3\vec{b} – 2\vec{a} \\ & = 3( 1, -2, 4) – 2(-3, 2 , 1 ) \\ & = ( 3, -6, 12) – (-6, 4 , 2 ) \\ & = ( 9, -10, 10) \end{align} $
Kita peroleh vektor posisi titik P yakni $ \vec{p} = ( 9, -10, 10) $
sesampai lalu koordinat titik P merupakan $ ( 9, -10, 10) $ .

*). Menentukan letak titik P apakah sebelum atau sehabis AB :
Perhatikan perbandingan vektornya yakni $ 3 : -2 $ , apabila kita mutlakkan maka kita peroleh perbandingannya menjadi $ 3 : 2 $, artinya $ m : n = 3 : 2 $ dimana memenuhi $ m > n $ sesampai lalu titik P terletak setalah ruas garis AB.

4). Bila $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ merupakan vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C dari $ \Delta ABC $. Titik D pada $ \vec{AC} $ sesampai lalu $ AD : DC = 1 : 3 $ . Titik E pada $ \vec{BC} $ sesampai lalu $ BE : EC = 5 : 2 $. Nyatakan $ \vec{DE} $ dalam $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $, dan $ \vec{c} $ !
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

*). Menentukan vektor posisi D dengan perbandingan vektor $ AD : DC = 1 : 3 $
$ \begin{align} \vec{d} & = \frac{1.\vec{c} + 3\vec{a} }{1 + 3} \\ & = \frac{\vec{c} + 3\vec{a} }{4} \end{align} $
*). Menentukan vektor posisi E dengan perbandingan vektor $ BE : EC = 5 : 2 $
$ \begin{align} \vec{e} & = \frac{5\vec{c} + 2\vec{b} }{5 + 2} \\ & = \frac{5\vec{c} + 2\vec{b} }{7} \end{align} $
*). Menentukan vektor $ \vec{DE} $ :
$ \begin{align} \vec{DE} & = \vec{e} – \vec{d} \\ & = \frac{5\vec{c} + 2\vec{b} }{7} – \frac{\vec{c} + 3\vec{a} }{4} \\ & = \frac{4(5\vec{c} + 2\vec{b}) }{28} – \frac{7(\vec{c} + 3\vec{a} )}{28} \\ & = \frac{20\vec{c} + 8\vec{b} }{28} – \frac{7\vec{c} + 21\vec{a}}{28} \\ & = \frac{20\vec{c} + 8\vec{b} – 7\vec{c} – 21\vec{a} }{28} \\ & = \frac{- 21\vec{a} + 28\vec{b} – 7\vec{c} }{28} \\ & = \frac{1}{28} ( – 21\vec{a} + 28\vec{b} – 7\vec{c} ) \end{align} $
Jadi, kesudahannya $ \vec{DE} = \frac{1}{28} ( – 21\vec{a} + 28\vec{b} – 7\vec{c} ) $.

Baca Juga:   Sifat Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor

5). Dari segitiga ABC diketahui titik D pada AC dan E pada AB. Titik G pada perpotongan DB dan EC. Jika diketahui perbandingan $ AD : DC = 3 : 1 $ dan $ AE : EB = 1 : 2 $, maka tentukan perbandingan $ EG : GC $ dan $ DG : GB $ !
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Pada gambar kita taris ruas garis AG . Untuk memilih perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan memakai konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh :
Misalkan $ \vec{AB} = \vec{q} $ dan $ \vec{AC} = \vec{p} $.
$ \vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{q} $ dan $ \vec{AD} = \frac{3}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{p} $.
-). Vektor $\vec{EG} $ segaris dengan $ \vec{EC} $ sesampai lalu berlaku kelipatan :
$ \vec{EG} = n\vec{EC} \rightarrow \frac{\vec{EG}}{\vec{EC}} = \frac{n}{1} $ sesampai lalu $ \frac{\vec{EG}}{\vec{GC}} = \frac{n}{1-n} $
-). Vektor $\vec{DG} $ segaris dengan $ \vec{DB} $ sesampai lalu berlaku kelipatan :
$ \vec{DG} = m\vec{DB} \rightarrow \frac{\vec{DG}}{\vec{DB}} = \frac{m}{1} $ sesampai lalu $ \frac{\vec{GG}}{\vec{GB}} = \frac{m}{1-m} $
*). Menentukan vektor $ \vec{AG} $ dari $ \vec{EG}:\vec{GC} = n : 1-n $
$ \vec{AG} = \frac{n\vec{AC} + (1-n)\vec{AE}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).\frac{1}{3}\vec{q}}{1} = n\vec{p} + \frac{1-n}{3}\vec{q} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AG} $ dari $ \vec{DG}:\vec{GB} = m : 1-m $
$ \vec{AG} = \frac{m\vec{AB} + (1-m)\vec{AD}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).\frac{3}{4}\vec{p}}{1} = m\vec{q} + \frac{3(1-m)}{4}\vec{p} $.
*). Vektor $ \vec{AG} $ dari kedua bentuk di atas sama sesampai lalu dengan menyamakan koefisien vektor sejenis, kita peroleh persamaan :
-). Koefisien vektor $ \vec{p} $ :
$ n = \frac{3(1-m)}{4} \rightarrow 4n = 3 – 3m \rightarrow 4n + 3m = 3 \, $ ….(i)
-). Koefisien vektor $ \vec{q} $ :
$ \frac{1-n}{3} = m \rightarrow 1 – n = 3m \rightarrow n + 3m = 1 \, $ ….(ii)
-). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 4n + 3m = 3 & \\ n + 3m = 1 & – \\ \hline 3n = 2 & \\ n = \frac{2}{3} \end{array} $
Pers(ii): $ n + 3m = 1 \rightarrow \frac{2}{3} + 3m = 1 \rightarrow m = \frac{1}{9} $.
*). Menentukan perbandingan yang diminta :
-). Perbandingan $ \vec{EG}:\vec{GC} $
$ \vec{EG}:\vec{GC} = n : 1-n = \frac{2}{3} : 1 – \frac{2}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
-). Perbandingan $ \vec{DG}:\vec{GB} $ :
$ \vec{DG}:\vec{GB} = m : 1-m = \frac{1}{9} : 1 – \frac{1}{9} = \frac{1}{9} : \frac{8}{9} = 1 : 8 $.
Jadi, kita peroleh perbandingan $ EG : GC = 2 : 1 $ dan $ DG : GB = 1 : 8 $.

Catatan :
Untuk cara yang lebih efektif dalam mengerjakan pola soal nomor 5 ini, kita sanggup memakai dalil menelaus. Silahkan baca artikelnya dalam “Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya“. Caranya yakni :
-). Menentukan perbandingan $ EG : GC $ :
$ \begin{align} \frac{EG}{GC}.\frac{CD}{DA}.\frac{AB}{EB} & = 1 \\ \frac{EG}{GC}.\frac{1}{3}.\frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{EG}{GC}.\frac{1}{2} & = 1 \\ \frac{EG}{GC} & = 1 : \frac{1}{2} \\ \frac{EG}{GC} & = \frac{2}{1} \end{align} $
-). Menentukan perbandingan $ DG : GB $ :
$ \begin{align} \frac{DG}{GB}.\frac{BE}{EA}.\frac{AC}{CD} & = 1 \\ \frac{DG}{GB}.\frac{2}{1}.\frac{4}{1} & = 1 \\ \frac{DG}{GB}.\frac{8}{1} & = 1 \\ \frac{DG}{GB} & = 1 : \frac{8}{1} \\ \frac{DG}{GB} & = \frac{1}{8} \end{align} $
Bagaimana? kesudahannya samakan dengan memakai dalil menelaus.

       Untuk artikel lainnya kita akan coba buktikan “dalil menalaus” dan cara “menentukan titik berat segitiga” memakai konsep vektor khususnya dengan perbandingan vektor pada ruas garis ini.

       Demikian pembahasan bahan Perbandingan Vektor pada Ruas Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan “vektor tingkat SMA” lainnya yakni “persobat semua dot dua vektor dan Sifatnya” .