Perkalian Dot Dua Vektor

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari sedikit operasi hitung pada vektor ialah “penjumlahan dan pengurangan pada vektor” dan “persobat semua vektor dengan skalar“, maka pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan operasi vektor berikutnya ialah Persobat semua Dot Dua Vektor (Dot Product). Sebagaimana pada “pengertian vektor dan penulisannya“, vektor sanggup kita saapabilan dalam bentuk aljabar dan bentuk geometri dimana dua vektor akan membentuk besar sudut tertentu. Nah, sudut antar dua vektor tersebut sanggup kita hitung salah satunya dengan menerapkan konsep Persobat semua Dot Dua Vektor. Baik di ujian nasional ataupun seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN atau lainnya), bahan Persobat semua Dot Dua Vektor kerap dikeluarkan soal-soalnya, sesampai lalu penting bagi kita untuk mempelajarinya dengan baik. Pada uraian Persobat semua Dot Dua Vektor ini, kita akan membahas definisinya yang dikompleksi dengan pembuktiannya, dan tak lupa akan kita saapabilan bermacam variasi soal-soal Persobat semua Dot Dua Vektor untuk sanggup lebih memahaminya dengan lebih baik. Selain itu teman-teman harus menguasai bahan “panjang vektor“. Perhatikan gambaran gambar dua vektor berikut ini.

Definisi Persobat semua Dot (persobat semua titik) Dua Vektor
$ \spadesuit \, $ Persobat semua Dot (persobat semua titik) secara Geometri
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2,b_3 ) $ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $ \theta $, maka berlaku rumus persobat semua dot ialah :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $.

$ \spadesuit \, $ Persobat semua Dot (persobat semua titik) secara Aljabar
       Selain berlaku rumus persobat semua dot menyerupai di atas, juga berlaku persobat semua yang pribadi melibatkan unsur-unsur vektornya, ialah :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $

Catatan :
*). Rumus persobat semua dot (persobat semua titik) ini juga berlaku untuk vektor dimensi dua. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2 ) $ dan vektor $ \vec{b} = (b_1, b_2) $ , maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \, $ dan $ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 $
*). Secara geometri, arah kedua vektor merupakan menjauh dari sudut yang terbentuk.
*). Persobat semua dot dua vektor menghasilkan skalar.

Contoh Soal Persobat semua Dot (persobat semua titik) Dua Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (-1,2,3) $ , $ \vec{b} = (2,0,-2) $ , dan $ \vec{c}= (1, -3, 4 ) $. Tentukan hasil persobat semua dot vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
b). $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
c). $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
d). $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ \vec{a}. \vec{b} $ dan $ \vec{b}. \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a}. \vec{b} & = (-1,2,3) . (2,0,-2) \\ & = -1.2 + 2.0 + 3.(-2) \\ & = -2 + 0 – 6 \\ & = -8 \\ \vec{b}. \vec{c} & = (2,0,-2) . (1, -3, 4 ) \\ & =2.1 + 0. (-3) + -2.4 \\ & = 2 + 0 – 8 \\ & = – 6 \end{align} $

b). Menentukan $ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{b}- \vec{c} & = (2,0,-2) – (1, -3, 4 ) \\ & = ( 2 – 1 , 0 – (-3) , -2 – 4 ) \\ & = (1 , 3, -6 ) \\ \vec{a}( \vec{b}- \vec{c}) & = (-1,2,3) . (1 , 3, -6 ) \\ & = -1.1 + 2. 3 + 3. (-6) \\ & = -1 + 6 – 18 \\ & = -13 \end{align} $

c). Menentukan $ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{c} & = (-1,2,3) – (1, -3, 4 ) \\ & = ( -2, 5, -1 ) \\ \vec{b}( \vec{a}- \vec{c}) & = (2,0,-2).( -2, 5, -1 ) \\ & = 2.(-2) + 0.5 + -2. (-1) \\ & = -4 + 0 + 2 \\ & = -2 \end{align} $

d). Menentukan $ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a}- \vec{b} & = (-1,2,3) – (2,0,-2) \\ & = ( -3, 2, 5 ) \\ \vec{b}+ \vec{c} & = (2,0,-2) + (1, -3, 4 ) \\ & = (3, -3, 2) \\ ( \vec{a}- \vec{b}).( \vec{b}+ \vec{c}) & = ( -3, 2, 5 ) . (3, -3, 2) \\ & = -9 + -6 + 10 \\ & = -5 \end{align} $

2). Jika $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ membentuk sudut $ 60^\circ $, dengan $ |\vec{p}| = 6 $ , $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan nilai $ \vec{p}.\vec{q} $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ & = 6 . 5. \cos 60^\circ \\ & = 30. \frac{1}{2} \\ & = 15 \end{align} $

Baca Juga:   Perbandingan Vektor Pada Ruas Garis

3). Tentukan nilai kosinus sudut antara vektor $ \vec{a} = (2, -3,1) $ dan $ \vec{b} =(1,-2,3) $!
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = 2.1 + -3 . (-2) + 1.3 \\ & = 2 + 6 + 3 = 11 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2 } = \sqrt{14} \\ |\vec{b}| & = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ dengan $ \theta $ merupakan sudut antara kedua vektor.
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{11 }{\sqrt{14}. \sqrt{14}} \\ & = \frac{11 }{14} \end{align} $
Jadi, nilai kosinus sudutnya merupakan $ \frac{11}{14} $.

4). DIketahui vektor $ \vec{a} = (3, -5, 4) $ dan $ \vec{b} = (-2,1,2) $. Tentukan nilai sinus sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}| } \\ & = \frac{ -6 – 5 + 8 }{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 4^2} . \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} } \\ & = \frac{ -3 }{\sqrt{50} . \sqrt{9} } = \frac{ -3 }{5\sqrt{2} .3 } \\ & = \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } \end{align} $
*). Karena nilai cosinusnya negatif, maka sudutnya ada di kuadran II, sesampai lalu nilai sinusnya positif. Dengan rumus identitas trigonometri $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $ , kita peroleh :
$ \begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = 1 \\ \sin ^2 \theta & = 1 – \cos ^2 \theta \\ \sin \theta & = \sqrt{ 1 – \cos ^2 \theta } \\ & = \sqrt{ 1 – ( \frac{ -1 }{5\sqrt{2} } )^2 } \\ & = \sqrt{ 1 – \frac{1 }{50} } \\ & = \sqrt{ \frac{49 }{50} } \\ & = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{10}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai sinusnya merupakan $ \frac{7}{10}\sqrt{2} $.

5). Jika $ \vec{p} = (k,2) $ dan $ \vec{q} = (5,3) $ dan $ \angle (\vec{p},\vec{q}) = \frac{\pi}{4} $ , maka tentukan nilai $ k $ konkret yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Berdasarkan rumus persobat semua dot :
$ \begin{align} \vec{p}.\vec{q} & = |\vec{p}||\vec{q} | \cos \theta \\ k.5 + 2.3 & = \sqrt{k^2 + 2^2}. \sqrt{5^2 + 3^2} . \cos \frac{\pi}{4} \\ 5k + 6 & = \sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ (5k + 6)^2 & = (\sqrt{k^2 + 4}. \sqrt{34} . \frac{1}{2}\sqrt{2} )^2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 34 . \frac{1}{4} . 2 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = ( k^2 + 4). 17 \\ 25k^2 + 60k + 36 & = 17k^2 + 68 \\ 8k^2 + 60k – 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 2k^2 + 15k – 8 & = 0 \\ (2k-1)(k+8) & = 0 \\ k = \frac{1}{2} \vee k & = -8 \end{align} $
Karena $ k $ positif, maka $ k = \frac{1}{2} $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ k = \frac{1}{2} $.

6). Diketahui segitiga ABC dengan koordinat $ A(3,2) $ , $ B(4,2) $ , dan $ C(3, 2 + \sqrt{3}) $.
a). Tentukan besar sudut ABC,
b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
Penyelesaian :
a). Tentukan besar sudut ABC,
*). Ilustrasi gambar berikut :

*). Arah vektor harus keluar dari sudutnya, sesampai lalu kita haris mencari vektor $ \vec{BA} $ dan $ \vec{BC} $ .
$ \begin{align} \vec{BA} & = A – B = (-1,0) \\ \vec{BC} & = A – B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{BA} . \vec{BC} }{|\vec{BA}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ -1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(-1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ 1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \theta & = \frac{ 1 }{2 } \\ \theta & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC merupakan $ 60^\circ $.

b). Tentukan besar sudut antara $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $.
*). Perhatikan bentuk geometrinya berikut,

Karena $ \vec{AB} = – \vec{BA} $ , maka sudutnya sama dengan antara vektor $ -\vec{BA} $ dan vektor $ \vec{BC} $ ialah $ \alpha $ (gambar b).
*). Menentukan vektor dan sudutnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = B – A = (1,0) \\ \vec{BC} & = A – B = (-1,\sqrt{3}) \\ \cos \alpha & = \frac{ \vec{AB} . \vec{BC} }{|\vec{AB}||\vec{BC}| } \\ & = \frac{ 1.(-1) + 0 . \sqrt{3} }{\sqrt{(1)^2 + 0^2} . \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} } \\ & = \frac{ -1 + 0 }{\sqrt{1} . \sqrt{4} } \\ \cos \alpha & = \frac{ -1 }{2 } \\ \alpha & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ABC merupakan $ 60^\circ $.

Catatan :
*). Jika teman-teman perhatikan secara geometri gambar a dan gambar b, maka $ \alpha $ dan $ \theta $ berpelurus, sesampai lalu :
$ \alpha + \theta = 180^\circ \rightarrow \alpha + 60^\circ = 180^\circ \rightarrow \alpha = 120^\circ $.
*). Jika teman-teman bingun dalam menggambar secara geometri sudut antara dua vektor, maka tak usah digambar, melainkan pribadi saja kita hitung memakai rumus persobat semua dotnya.

Dua Vektor Tegak Lurus berkaitan Persobat semua Dot (persobat semua titik)
Jika vektor $ \vec{a} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{b} $ (sudutnya $ 90^\circ$), maka berlaku :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} . \vec{b} = 0 $.
(Persobat semua dotnya = mol)

Pembuktian :
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $ , artinya sudutnya $ = 90^\circ $. Sesampai lalu :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 90^\circ \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \times 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} . \vec{b} = 0 $.

Baca Juga:   Materi Vektor Tingkat Sma

Contoh SOal Persobat semua Dot (persobat semua titik) Dua Vektor tegak lurus :

7). DIketahui vektor $ \vec{a} = (-1,3,2) $ , $ \vec{b} = (5, 3, -2 ) $ dan $ \vec{c} = (1,-2,3) $.
a). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{b} $ !
b). Apakah vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $ !
Penyelesaian :
a). Kita cek hasil persobat semua dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{b} & = -1. 5 + 3.3 + 2. (-2) \\ & = -5 + 9 – 4 = 0 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{b} = 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $.

b). Kita cek hasil persobat semua dot vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ :
$ \begin{align} \vec{a} .\vec{c} & = -1.1 + 3.(-2) + 2.3 \\ & = -1 -6 + 6 = -1 \end{align} $
Karena $ \vec{a} .\vec{c} \neq 0 $ , maka vektor $ \vec{a} $ tak tegak lurus $ \vec{c} $.

8). Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, m) $ dan $ \vec{v} = (-3, 2, 4) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ , maka tentukan nilai $ m^2 – 2m + 2019 $ !
Penyelesaian :
*). Syarat tegak lurus : $ \vec{u} .\vec{v} = 0 $
$ \begin{align} \vec{u} .\vec{v} & = 0 \\ 2.(-3) + -1. 2 + m.4 & = 0 \\ -6 – 2 + 4m & = 0 \\ 4m & = 8 \\ m & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ m^2 – 2m + 2019 $ :
$ \begin{align} m^2 – 2m + 2-17 & = 2^2 – 2.2 + 2-17 \\ & = 4 – 4 + 2019 \\ & = 2019 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 – 2m + 2019 = 2019 $.

9). Jika vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 60^\circ $ , serta vektor $ \vec{a} $ tegak lurus vektor $ \vec{c} $, dengan $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 3 $ , dan $ \vec{c}| = 6 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{c} – 3\vec{b}) $
Penyelesaian :
*). Pada persobat semua dot (persobat semua titik) berlaku sifat distributif. Silahkan baca artikelnya pada “Sifat-sifat persobat semua dot dan persobat semua silang“.
*). Karena $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = 0 $.
a). Menentukan $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) $
$ \begin{align} \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) & = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a}. \vec{c} \\ & = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ + 0 \\ & = 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = 6 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = 6 $.

b). Menentukan $ \vec{a}(2\vec{c} – 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{c} – 3\vec{b}) & = 2(\vec{a}.\vec{c}) – 3(\vec{a}.\vec{b}) \\ & = 2.0 – 3|\vec{a}| |\vec{b} | \cos 60^\circ \\ & = 0 – 3 . 4. 3. \frac{1}{2} \\ & = – 18 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \vec{a}(2\vec{c} – 3\vec{b}) = -8 $.

10). Diketahui vektor-vektor $ \vec{p} = ( m, 2, 6 ) $ , $ \vec{q} = (-1,n,0) $ dan $ \vec{r} = (6k,3,7) $. Jika $ \vec{p} \bot \vec{q} $ dan $ \vec{q} \bot \vec{r} $ , maka tentukan nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 $ !
Keterangan : simbol $ \bot \, $ artinya tegak lurus.
Penyelesaian :
*). Menentukan relasi $ m , n , $ dan $ k $ :
-). $ \vec{p} $ tegak lurus $ \vec{q} $
$ \vec{p}.\vec{q} = 0 \rightarrow -m + 2n + 0 = 0 \rightarrow m = 2n \, $ ….(i)
-). $ \vec{q} $ tegak lurus $ \vec{r} $
$ \vec{q}.\vec{r} = 0 \rightarrow -6k + 3n + 0 = 0 \rightarrow k = \frac{n}{2} \, $ ….(ii)
*). Menentukan hasil selesai dengan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 & = 16\left( \frac{n^2 + (\frac{n}{2})^2}{(2n)^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{n^2 + \frac{n^2}{4} }{4n^2} \times \frac{4}{4} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{4n^2 + n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5n^2}{16n^2} \right) + 2012 \\ & = 16\left( \frac{5 }{16 } \right) + 2012 \\ & = 5 + 2012 = 2019 \end{align} $
Jadi, nilai $ 16\left( \frac{n^2 + k^2}{m^2} \right) + 2012 = 2019 $.

Rumus panjang berkaitan persobat semua dot (persobat semua titik)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $, berlaku rumus-rumus panjang vektor berikut :
i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} – \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $

       Untuk pola soal dan pembuktian rumus-rumus panjang vektor berkaitan persobat semua dot ini, silahkan teman-teman baca pada artikel “Rumus Panjang vektor Berkaitan Persobat semua Dot“.

Baca Juga:   Proyeksi Ortogonal Vektor Pada Vektor

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus persobat semua dot secara aljabar
*). Perhatikan gambaran gambar berikut :

       Pada segitiga AOB di atas, vektor $ \vec{OA} = \vec{a} $ dan $ \vec{OB} = \vec{b} $ membentuk sudut $ \theta $.
*). Menentukan vektor dan panjangnya :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \vec{b} – \vec{a} = (b_1 – a_1, b_2 – a_2 , b_3 – a_3 ) \\ |\vec{AB}|^2 & = (b_1 – a_1)^2 + ( b_2 – a_2)^2 + ( b_3 – a_3 )^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 – 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ \vec{OA} & = \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) \\ |\vec{OA}|^2 & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \\ \vec{OB} & = \vec{b} = (b_1, b_2,b_3) \\ |\vec{OB}|^2 & = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \\ \end{align} $
*). Menentukan $ |\vec{AB}|^2 – |\vec{OA}|^2 – |\vec{OB}|^2 $ :
$ \begin{align} & |\vec{AB}|^2 – |\vec{OA}|^2 – |\vec{OB}|^2 \\ & = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 – 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \\ & \, \, \, \, -( a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) – (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \\ & = – 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) \end{align} $
*). Berdasarkan aturan kosinus segitiga AOB dan definisi persobat semua dot secara geometri :
$ \begin{align} |\vec{AB}|^2 & = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 – 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 – |\vec{OA}|^2 – |\vec{OB}|^2 & = – 2 |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \theta \\ |\vec{AB}|^2 – |\vec{OA}|^2 – |\vec{OB}|^2 & = – 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ – 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) & = – 2 |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 & = \vec{a}.\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Cara II :
*). Kita memakai vektor basis $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $
dengan $ \vec{i} = (1,0,0) , \vec{j} = (0,1,0) \, $ dan $ \vec{j} = (0,0,1) $.

panjang vektor basisnya : $ |\vec{i}| = 1 $ , $ |\vec{j}| = 1 $ , $ |\vec{k}| = 1 $.
Sudut antara masing-masing vektor merupakan $ 90^\circ $.
*). Dengan definisi persobat semua dot (peralian titik) dua vektor ialah :
$ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
kita peroleh :
$ \vec{i}.\vec{i} = |\vec{i}||\vec{i}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{j}.\vec{j} = |\vec{j}||\vec{j}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{k}.\vec{k} = |\vec{k}||\vec{k}| = \cos 0^\circ = 1 . 1 . 1 = 1 $ (berimpit)
$ \vec{i}.\vec{j} = |\vec{i}||\vec{j}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{j}.\vec{k} = |\vec{j}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
$ \vec{i}.\vec{k} = |\vec{i}||\vec{k}| = \cos 90^\circ = 1 . 1 . 0 = 0 $ (tegak lurus)
*). Vektor $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k} $
*). Menentukan hasil persobat semua dot :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}). (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1\vec{i}.b_1\vec{i} + a_1\vec{i}.b_2\vec{j}+a_1\vec{i}.b_3\vec{k} + a_2\vec{j}.b_1\vec{i} + a_2\vec{j}.b_2\vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2\vec{j}.b_3\vec{k} + a_3\vec{k}.b_1\vec{i} + a_3\vec{k}.b_2\vec{j}+a_3\vec{k}.b_3\vec{k} \\ & = a_1b_1\vec{i}.\vec{i} + 0+0 + 0 + a_2b_2\vec{j}.\vec{j} + 0 + 0 + 0+a_3b_3\vec{k}.\vec{k} \\ & = a_1b_1. 1 + a_2b_2. 1 + a_3b_3. 1 \\ & = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $.

       Demikian pembahasan bahan Persobat semua Dot Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” ialah “Persobat semua Silang Dua Vektor (Cross Product)“.