Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor

Posted on
Pada artikel sebelumnya, kita telah membahasa perihal persobat semua dua vektor. Persobat semua dua vektor dibedakan menjadi persobat semua titik dan persobat semua silang. Persobat semua titik (dot product) menghasilkan skalar lagikan persobat semua silang menghasilkan vektor. Hasil dari persobat semua silang atau cross product antara dua vektor merupakan sebuah vektor gres yang arahnya tegak lurus terhadap bidang dimana kedua vektor yang dikalikan berada. Prinsip persobat semua silang dua buah vektor mengikuti hukum tangan kanan.

Bila nilai atau besar vektor gres yang diperoleh melalui persobat semua silang antara dua vektor ditentukan, maka nilai tersebut akan sama dengan hasil kali besar kedua vektor dengan sinus sudut apitnya yang secara metamtis sanggup ditulis :
|A x B| = |A|.|B| sin θ
Dengan :
|A| = besar vektor A
|B| = besar vektor B
θ = sudut antara vektor A dan vektor B
Berikut sedikit hal penting dan umum yang berlaku dalam persobat semua silang dua vektor :
  1. Bersifat Antikomutatif
    Jika dua buah vektor dikalikan secara silang, maka akan berlaku sifat antikomutatif yang secara matematis ditulis :

    A x B = -B x A

    Contoh :
    Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan : A = 2î + 2ĵ  − 3k̂, dan B = -2î + 3ĵ  − 4k̂. Buktikanlah bahwa A x B = -B x A.

    Pembahasan :
    Persobat semua silang A x B :

    ⇒ A x B = i j k  i       j
    2 2 -3 2     2
    -2 3 -4 -2    3

    ⇒ A x B = {i(2)(-4) + j(-3)(-2) + k(2)(3)} − {k(2)(-2) + i(-3)(3) + j(2)(-4)}
    ⇒ A x B = (-8i + 6j + 6k) − {-4k − 9i − 8j}
    ⇒ A x B = i + 14j + 10k

    Persobat semua silang B x A :

    ⇒ B x A = i j k  i       j
    -2 3 -4 -2     3
    2 2 -3 2      2

    ⇒ B x A = {i(3)(-3) + j(-4)(2) + k(-2)(2)} − {k(3)(2) + i(-4)(2) + j(-2)(-3)}
    ⇒ B x A = (-9i − 8j − 4k) − {6k − 8i + 6j}
    ⇒ B x A = -i − 14j − 10k

    Jika hasil di atas kita hubungkan, maka :
    ⇒ A x B = -B x A
    ⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k)
    ⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k
    (Terbukti).

  2. Dua Vektor Saling Tegak Lurus
    Jika kedua vektor yang dikalikan saling tegak lurus maka sudut antara kedua vektor merupakan 90o, sesampai kemudian :
    |A x B| = |A|.|B| sin θ
    |A x B| = |A|.|B| sin 90o
    |A x B| = |A|.|B| (1)
    |A x B| = |A|.|B|
  3. Dua Vektor Segaris
    Jika kedua vektor berada satu garis dan searah, maka sudut antara kedua vektor merupakan 0o, sesampai kemudian :
    |A x B| = |A|.|B| sin θ
    |A x B| = |A|.|B| sin 0o
    |A x B| = |A|.|B| (0)
    |A x B| = 0
    Jika kedua vektor berada satu garis dan berlawanan arah, maka sudut antara dua vektor tersebut merupakan 180o, sesampai kemudian :
    |A x B| = |A|.|B| sin θ
    |A x B| = |A|.|B| sin 180o
    |A x B| = |A|.|B| (0)
    |A x B| = 0

Sifat-sifat Persobat semua Silang (Cross Product)

Berikut sedikit sifat persobat semua silang :

  1. A x B ≠ B x A
  2. k(A x B) = kA x B = A x kB
  3. A x (B + C) = (A x B) + (A x C)
  4. (A + B) x C = (A x C) + (B x C)
Baca Juga:   Menentukan Suku Ke-N Kalau Jumlah N Suku Pertama Diketahui