Perkalian Silang Dua Vektor

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Persobat semua Silang Dua Vektor atau biasa disebut Cross Product. Operasi Persobat semua Silang (Cross Product) Dua Vektor merupakan kelanjutan dari operasi lain pada vektor dimana sebelumnya kita telah membahas “penjumlahan dan pengurangan vektor“, “persobat semua skalar dengan vektor“, dan “persobat semua dot (persobat semua titik) dua vektor“. Persobat semua Silang Dua Vektor menghasilkan vektor lain yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dikalikan. Berbeda dengan persobat semua dot yang menghasilkan skalar. Persobat semua Silang Dua Vektor terdapat aplikasi yang cukup luas diantaranya memilih jarak titik ke garis, memilih luas berdiri datar, volume berdiri ruang, dan jarak dua garis bersilangan. Hal-hal yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari bahan Persobat semua Silang (Cross Product) Dua Vektor ini yakni pengertian vektor dan penulisannya, panjang vektor dan vektor satuan, determinan matriks $ 3 \times 3 $ cara Sarrus, dan Penerapan trigonometri pada segitiga (luasnya). Persobat semua Silang Dua Vektor hanya berlaku pada vektor di R$^3$ saja.

Definisi Persobat semua Silang Dua Vektor (Cross Product)
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Jika $ \vec{a} \neq 0 $ dan $ \vec{b} \neq 0 $ dalam ruang sanggup diputar tanpa mengubah besar atau arah masing-masing sesampai lalu titik pangkalnya berimpit, dengan kaidah asisten (ulir kanan) didefinisikan bahwa:
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
dengan :
$ \vec{e} = \, $ vektor satuan yang tegak lurus $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \theta = \, $ sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $
$ \vec{a} \times \vec{b} \, $ dibaca “vektor $ \vec{a} $ kros vektor $ \vec{b} $ ” atau cukup “ $ \vec{a} $ kros $ \vec{b} $
(Thomas, 1986 : 727 – 730)

Menentukan Hasil Persobat semua Silang Dua Vektor
       Mislkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ , hasil persobat semua silang kedua vektor sanggup kita tentukan dengan cara :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 – a_3b_2 , a_3b_1 – a_1b_3 , a_1b_2 – a_2b_1 ) \, $ atau
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 – a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 – a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 – a_2b_1 )\vec{k} $

Bentuk penghitungan di atas sanggup kita tuliskan dengan bentuk lainnya yang kita namakan “rumus determinan cross vektor” sebagai berikut :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 – a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 – a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 – a_2b_1 )\vec{k} \end{align} $

Cara penghitungan “rumus determinan cross vektor” merupakan sama dengan determinan matriks ordo $ 3 \times 3 $, silahkan baca aritikelnya pada “Determinan dan Invers Matriks“.

Rumus panjang Hasil Persobat semua Silang Dua Vektor
       Dari “definisi Persobat semua Silang Dua Vektor” di atas, maka kita peroleh rumus panjang hasil Persobat semua Silang Dua Vektor yakni :
$ \, \, \, \, \, \, |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $

Contoh Soal Persobat semua Silang Dua Vektor (Cross Product) :

Baca Juga:   Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = 2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j} – 2\vec{k} $ . Tentukan hasil persobat semua silang antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil persobat semua silang (Metode Sarrus) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (-1.-2\vec{i} + 1.3\vec{j} + 2.2\vec{k}) – (2.3\vec{i} + 2.(-2)\vec{j} + 1.(-1)\vec{k}) \\ & = (2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) – (6\vec{i} -4\vec{j} -\vec{k}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} – 6\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \\ & = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} $.

2). Jika hasil persobat semua silang antara vektor $ \vec{a} = (p, 2, r) $ dan $ \vec{b} = (-1, 4, 3 ) $ merupakan $ ( 2 , 5, -6) $ , maka tentukan nilai $ ( p + r)^{2019} + 2 $ !
Penyelesaian :
*). Diketahui $ \vec{a} \times \vec{b} = ( 2 , 5, -6) $
*). Menentukan $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ p & 2 & r \\ -1 & 4 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = ( 6\vec{i} -r\vec{j} + 4p\vec{k} ) – ( 4r\vec{i} + 3p\vec{j} – 2\vec{k}) \\ & = (6 – 4r)\vec{i} – ( r + 3p)\vec{j} + (4p + 2)\vec{k} \\ & = ( 6 – 4r , -r – 3p , 4p + 2 ) \end{align} $
*). Kedua hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} $ sama yakni :
$ ( 2 , 5, -6) = ( 6 – 4r , -r – 3p , 4p + 2 ) $
Sesampai lalu :
$ 2 = 6 – 4r \rightarrow 4r = 4 \rightarrow r = 1 $
$ -6 = 4p + 2 \rightarrow 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
*). Menentukan hasil $ ( p + r)^{2019} + 2 $ :
$ ( p + r)^{2019} + 2 = ( -2 + 1)^{2019} + 2 $
$ = (-1)^{2019} + 2 = -1 + 2 = 1 $
Jadi, hasil dari $ ( p + r)^{2019} + 2 = 1 $.

3). Sudut antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ merupakan $ 30^\circ $. Jika $ |\vec{p}| = 4 $ dan $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} |\vec{p} \times \vec{q}| & = |\vec{p} | |\vec{q}| \sin \theta \\ & = 4 \times 5 \sin 30^\circ \\ & = 20 \times \frac{1}{2} \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ |\vec{p} \times \vec{q}| = 10 $.

4). Diketahui vektor $ \vec{p} = (-1, 1, -1) $ dan $ \vec{q} = (2, -1 ,1) $ . Jika vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan tegak lurus vektor $ \vec{q} $ , maka tentukan vektor $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ , artinya vektor $ \vec{b} $ merupakan hasil persobat semua silang antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $, yakni :
$ \begin{align} \vec{b} & = \vec{p} \times \vec{q} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (\vec{i} -2\vec{j} + \vec{k}) – ( \vec{i} – \vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} -2\vec{j} + \vec{k} – \vec{i} + \vec{j} – 2\vec{k} \\ & = -\vec{j} – \vec{k} \\ & = (0 , -1, -1) \end{align} $
*). Vektor $ \vec{a} $ merupakan vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} & = \left( \frac{1}{|\vec{b}|} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = ( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \end{align} $
*). Menentukan hasil $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ :
$ \begin{align} 3\sqrt{2}\vec{a} & = 3\sqrt{2}( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \\ & = ( 0, -3 , -3 ) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ 3\sqrt{2}\vec{a} = ( 0, -3 , -3 ) $ .

Baca Juga:   Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

Catatan :
Untuk pola nomor 4 di atas, vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sanggup kita tentukan dengan cara :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} = \frac{\vec{p} \times \vec{q}}{|\vec{p} \times \vec{q}|} $
Silahkan teman-teman coba dengan rumus ini untuk mengerjakan kembali pola soal nomor 4 di atas.

5). Sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ merupakan $ 30^\circ $ dengan $ \vec{u} = ( x, -2 , 1) $ . Jika $ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{6} $ dan $ |\vec{v}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} – 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ x^2 $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = |\vec{u} | |\vec{v}| \sin \theta \\ \sqrt{6} & = \sqrt{x^2 + (-2)^2 + 1^2} \times \sqrt{2} \sin 30^\circ \\ \sqrt{3}. \sqrt{2} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \\ \sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \frac{1}{2} \\ 2\sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 12 & = x^2 + 5 \\ x^2 & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} – 3 $ :
$ \begin{align} \sqrt{x^2 + 2} – 3 & = \sqrt{7 + 2} – 3 \\ & = \sqrt{9} – 3 \\ & = 3 – 3 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{x^2 + 2} – 3 = 0 $.

6). Diketahui vektor $ \vec{p} = (5, 0, 0) $ dan $ \vec{q} = (3,2,1) $. Tentukan luas jajar genjang yang dibuat oleh vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar :

Dari vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ terbentuk jajargenjang ABCD ibarat pada gambar di atas.
*). Luas segitiga ABD dengan aturan sinus pada segitga dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta $.
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} AB \times AD \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| \end{align} $
*). Luas jajargenjang ABCD merupakan 2 kali luas ABD :
Luas ABCD $ = 2 \times \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p} \times \vec{q}| $
*. Menentukan $ \vec{p} \times \vec{q} $ dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} \vec{p} \times \vec{q} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 10\vec{k}) – ( 0 + 5\vec{j} +0) \\ & = -5\vec{j} + 10\vec{k} \\ & = (0 , -5, 10) \end{align} $
Nilai $ |\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $
Artinya luas ABCD $ = |\vec{p} \times \vec{q}| = 5\sqrt{5} $
Jadi, luas jajargenjangnya merupakan $ 5\sqrt{5} \, $ satuan luas.

Baca Juga:   Vektor Normal Garis Lurus

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus penghitungan Persobat semua Silang dua vektor
*). Definisi persobat semua silang (cross product) :
$ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
*). Cara menghitung hasil persobat semua silang dua vektor :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 – a_3b_2 , a_3b_1 – a_1b_3 , a_1b_2 – a_2b_1 ) $
*). Pembktiannya :
-). dari definisi persobat semua silang, kita peroleh :
$ \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} $ , $ \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} $ , $ \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} $
$ \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k} $ , $ \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i} $ , $ \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} $
$ \vec{i} \times \vec{i} = 0 $ , $ \vec{j} \times \vec{j} = 0 $ , $ \vec{k} \times \vec{k} = 0 $
-). hasil $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \times (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1b_1\vec{i} \times \vec{i} + a_1b_2\vec{i} \times \vec{j}+a_1b_3\vec{i} \times \vec{k} + a_2b_1\vec{j} \times \vec{i} + a_2b_2\vec{j} \times \vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2b_3\vec{j} \times \vec{k} + a_3b_1\vec{k} \times \vec{i} + a_3b_2\vec{k} \times \vec{j}+a_3b_3\vec{k} \times \vec{k} \\ & = 0 + a_1b_2\vec{k} +a_1b_3(-\vec{j}) + a_2b_1(-\vec{k}) + 0 + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} + a_3b_2(-\vec{i}) + 0 \\ & = a_1b_2\vec{k} – a_1b_3 \vec{j} – a_2b_1 \vec{k} + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} – a_3b_2 \vec{i} \\ & = (a_2b_3 – a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 – a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 – a_2b_1 )\vec{k} \\ & = (a_2b_3 – a_3b_2 , a_3b_1 – a_1b_3 , a_1b_2 – a_2b_1 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 – a_3b_2 , a_3b_1 – a_1b_3 , a_1b_2 – a_2b_1 ) $ .

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus panjang Persobat semua Silang dua vektor
*). Rumus panjang hasil persobat semua silang (cross product)
$ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $
*). Pembuktiannya :
-). Dari definisi persobat semua silangnya :
Panjang vektor satuannya satu : $ | \vec{e}| = 1 $
Nilai sinusnya : $ | \sin \theta | = \sin \theta \, $ untuk $ 0 \leq \theta \leq \pi $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & = |\vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta | \\ & = |\vec{e} | |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta | \\ & = 1. |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{align} $
Jadi, terbukti $ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $.

Untuk berikutnya silahkan bacar artikel “sifat operasi persobat semua dot dan persobat semua silang“.

       Demikian pembahasan bahan Persobat semua Silang Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” yakni “Proyeksi Orthogonal Suatu Vektor ke Vektor Lain”.