Perkalian Vektor Dengan Skalar

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari materi “Penjumlahan dan pengurangan pada vektor“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan operasi pada vektor yang kedua yaitu Persobat semua Vektor dengan Skalar. Secara umum sanggup kita artikan Persobat semua Vektor dengan Skalar atau Persobat semua skalar dengan vektor merupakan perubahan vektor awal dengan panjang yang sama atau sanggup lebih panjang atau sanggup lebih pendek dan sejajar dengan vektor awal dengan arah sanggup berlawanan atau sanggup juga searah dengan vektor awal yang juga sanggup kita sebut sebagai kelipatan vektor. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan vektor terkadang tak hanya melibatkan dua vektor awalnya saja, tenamun terkadang melibatkan kelipatan-kelipatan vektor, sesampai lalu penting bagi kita untuk mempelajari materi Persobat semua Vektor dengan Skalar. Persobat semua Vektor dengan Skalar kita bagi menjadi dua yaitu Persobat semua Vektor dengan Skalar secara aljabar dan Persobat semua Vektor dengan Skalar secara geometri. Untuk memudahkan, mempelajari materi dan contoh-contoh soalnya, sebaiknya teman-teman menguasai materi vektor sebelumnya yaitu “kesamaan dua vektor dan kesejajaran“, “panjang vektor“, “vektor basis“, dan “penjumlahan dan pengurangan pada vektor”.

Persobat semua Vektor dengan skalar secara Aljabar
       Secara aljabar, persobat semua vektor dengan skalar balasannya merupakan semua unsur pada vektor dikalikan dengan skalarnya. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $ serta terdapat skalar $ k $, maka
$ k\vec{a} = (ka_1 , \, ka_2) \, $ dan $ k\vec{b} = (kb_1, \, kb_2, \, kb_3 ) $

Persobat semua Vektor dengan skalar secara Geometri
       Misalkan terdapat skalar $ k $ yang merupakan anggota bilangan real dan terdapat vektor $ \vec{a} $. Hasil persobat semua skalar $ k $ dengan vektor $ \vec{a} $ kita tulis $ k\vec{a} $ yang artinya suatu vektor yang panjangnya $ k $ kali panjang vektor $ \vec{a} $ dengan sedikit kecukupan yaitu :
1). Jika $ k > 1 $, maka $ k\vec{a} $ searah dengan $ \vec{a} $ dan diperpanjang.
2). Jika $ k = 1 $, maka $ k\vec{a} $ sama dengan $ \vec{a} $.
3). Jika $ 0< k < 1 $, maka $ k\vec{a} $ searah dengan $ \vec{a} $ dan diperpendek.
4). Jika $ -1 < k < 0 $, maka $ k\vec{a} $ berlawanan arah dengan $ \vec{a} $ dan diperpendek.
5). Jika $ k = -1 $, maka $ k\vec{a} $ berlawanan arah dengan $ \vec{a} $ dan panjangnya sama.
6). Jika $ k < -1 $, maka $ k\vec{a} $ berlawanan arah dengan $ \vec{a} $ dan diperpanjnag.
Berikut ilustrasi gambarnya :

Contoh Soal Persobat semua Vektor dengan Skalar :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (1, -3) $ , $ \vec{b} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{c} = 3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} $. Tentukanlah :
a). $ 2\vec{a} , \, -3\vec{b} , \, \frac{1}{2}\vec{c} $
b). Arah dan jenis kelipatannya.
Penyelesaian :
a). Menentukan $ 2\vec{a} , \, -3\vec{b} , \, \frac{1}{2}\vec{c} $
-). vektor $ 2\vec{a} = 2(1, -3) = (2.1, 2.(-3)) = (2, -6) $
-). vektor $-3\vec{b} = -3\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -3.(-2) \\ -3.1 \\ -3.5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ -3 \\ -15 \end{matrix} \right) $
-). vektor $ \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2} 3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} = \frac{1}{2}. 3\vec{i}-2.\frac{1}{2}\vec{j}+\frac{1}{2}\vec{k} = \frac{3}{2}\vec{i}-\vec{j}+\frac{1}{2}\vec{k} $

Baca Juga:   Sifat Operasi Perkalian Dot Dan Perkalian Silang

b). Arah dan jenis kelipatannya.
-). Vektor $ 2\vec{a} $ searah dengan $ \vec{a} $ dan diperpanjang,
-). Vektor $ -3\vec{b} $ berlawanan arah dengan $ \vec{b} $ dan diperpanjang,
-). Vektor $ \frac{1}{2}\vec{c} $ searah dengan $ \vec{c} $ dan diperpendek.

2). Perhatikan gambar vektor $ \vec{p} $ berikut,

Dari gambar vektor $ \vec{p} $ tersebut, tentukanlah :
a). $ 2\vec{p} , \, \frac{2}{3}\vec{p} $
b). $ -\vec{p}, \, -\frac{3}{2}\vec{p} , \, -\frac{1}{2} \vec{p} $.
Penyelesaian :
*). Berikut gambar jawaban masing-masing :

Catatan :
Sebenarnya dua teladan di atas sudah mewakili materi Persobat semua Vektor dengan Skalar, hanya saja soal-soal tertentu tak semudah dua teladan di atas, alasannya ialah niscaya ada pengembangan teladan soalnya. Misalkan materi Persobat semua Vektor dengan Skalar niscaya akan terkait pribadi dengan materi penjumlahan dan pengurangan pada vektor. Untuk teladan soal berikut ini, kita akan bahas soal-soal lainnya.

3). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, -1 , 1) $ , $ \vec{q} = (0, 1, – 3) $ , tentukan :
a). vektor $ \vec{p} – 2\vec{q} $
b). Jika $ \vec{a} = 3\vec{p} + 2\vec{q} $, maka tentukan vektor $ \vec{a} $ dan panjangnnya.
Penyelesaian :
a). Menentukan vektor $ \vec{p} – 2\vec{q} $
$ \begin{align} \vec{p} – 2\vec{q} & = (2, -1 , 1) – 2(0, 1, – 3) \\ & = (2, -1 , 1) – (0, 2, – 6) \\ & = (2 – 0 , -1 – 2 , 1 – (-6)) \\ & = (2 , -3 , 7) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{p} – 2\vec{q} = (2 , -3 , 7) $.

b). Jika $ \vec{a} = 3\vec{p} + 2\vec{q} $, maka tentukan vektor $ \vec{a} $ dan panjangnnya.
*). Menentukan vektor $ \vec{a} $ :
$ \begin{align} \vec{a} & = 3\vec{p} + 2\vec{q} \\ & = 3(2, -1 , 1) + 2(0, 1, – 3) \\ & = (6, -3 , 3) + (0, 2, – 6) \\ & = (6 + 0, -3 + 2 , 3 + (-6) ) \\ & = (6, -1 , -3) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{a} = (6, -1 , -3) $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{a} $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 1 + 9} = \sqrt{46} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{a} $ merupakan $ \sqrt{46} $.

4). DIketahui vektor $ \vec{a} = (-2, 1, 3 ) $ , $ \vec{b} = (1, -1 , -1 ) $ dan $ \vec{c}=(-3, 1, 5 ) $. Jika skalar $ m $ dan $ n $ memenuhi bentuk $ m\vec{a} – n\vec{b} = \vec{c} $, maka tentukan nilai $ (m + n)^2019 – 1 $!
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan dengan hukum persobat semua vektor dengan skalar dan operasi pengurangan vektor :
$ \begin{align} m\vec{a} – n\vec{b} & = \vec{c} \\ m(-2, 1, 3 )- n(1, -1 , -1 )& = (-3, 1, 5 ) \\ (-2m, m, 3m )- (n, -n , -n )& = (-3, 1, 5 ) \\ (-2m – n, m -(-n), 3m – (-n) ) & = (-3, 1, 5 ) \\ (-2m – n, m +n, 3m+n ) & = (-3, 1, 5 ) \end{align} $
Kita peroleh sistem persamaan :
$ -2m – n = -3 \, $ …..(i)
$ m +n = 1 \, $ …..(ii)
dan $ 3m + n = 5 \, $ …..(iii)
*). Untuk memilih nilai $ m $ dan $ n $, kita bebas menuntaskan persamaan manapun. Misalkan kita selesaikan pers (i) dan pers(ii) dengan eliminasi :
$ \begin{array}{cc} -2m – n = -3 & \\ m +n = 1 & + \\ \hline -m = -2 & \\ m = 2 & \end{array} $
pers(ii): $ m +n = 1 \rightarrow 2 +n = 1 \rightarrow n = -1 $.
Coba kita cek ke pers(ii) dengan nilai $ m = 2 $ dan $ n = -1 $
$ 3m + n = 5 \rightarrow 3.2 + (-1)= 5 \rightarrow 5 = 5 \, $ (BENAR).
*). Menentukan nilai $ (m + n)^2019 – 1 $
$ (m + n)^2019 – 1 = (2 + (-1))^2019 – 1 = (1)^2019 – 1 = 1 – 1 = 0 $
Jadi, nilai $ (m + n)^2019 – 1 = 0 $.

Baca Juga:   Materi Vektor Tingkat Sma

5). DIketahui vektor $ \vec{p}=(3x-3, 1-x,2x-2) $ dan $ \vec{q} = (3, -1, 2) $. Jika vektor $ \vec{p} $ kelipatan dari vektor $ \vec{q} $, searah dan diperpanjang, maka tentukan interval nilai $ x $ dimana $ x $ merupakan skalar bilangan real!
Penyelesaian :
*). Karena $ \vec{p} $ kelipatna dari $ \vec{q} $ , maka sanggup kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
$ \begin{align} \vec{p} = k\vec{q} \\ (3x-3, 1-x,2x-2) & = k(3, -1, 2) \\ ((x-1).3, (x-1).(-1),(x-1).2) & = k(3, -1, 2) \\ (x-1)(3, -1,2) & = k(3, -1, 2) \end{align} $
Artinya kita peroleh $ k = x – 1 $.
*). Syarat searah dan diperpanjang merupakan $ k > 1 $
Sesampai lalu $ k > 1 \rightarrow x-1 > 1 \rightarrow x > 2 $.
Jadi, interval nilai $ x $ yang memenuhi merupakan $ x > 2 $

6). Pada segienam beraturan ABCDEF, apabila $ \vec{AB} = \vec{u} $ dan $ \vec{AF} = \vec{v} $ maka nyatakan penjumlahan vektor berikut dalam vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
a). $ \vec{AC} , \vec{AD}, \vec{AE} $
b). $ \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} $
c). $ \vec{FB} , \vec{DB} $
d). $ \vec{FB} + \vec{DB} $
e). $ \vec{FB} – \vec{DB} $
Penyelesaian :
*). Misalkan gambar segienam ABCDEF beraturan sebagai berikut :

*). Menentukan vektor masing-masing dalam vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan konsep penjumlahan pada vektor yaitu berangkat dari titik pangkal dan berakhir di titik ujung vektor. Karena ABCDEF merupakan segienam beraturan, maka semua panjang garis-garis sama sesampai lalu tinggal melihat arah vektornya. Jika sejajar dan arahnya sama maka vektor tersebut sama. Perhatikan gambar (i).
a). $ \vec{AC} , \vec{AD}, \vec{AE} $
-). Menentukan $ \vec{AC} $ :
vektor $ \vec{FO} = \vec{OC} = \vec{AB} = \vec{u} $
$ \vec{AC} = \vec{AF}+\vec{FO}+\vec{OC} = \vec{v}+\vec{u}+\vec{u}=2\vec{u}+\vec{v} $
-). Menentukan $ \vec{AD} $ :
vektor $ \vec{FO} = \vec{AB} = \vec{u} $
$ \vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AF}+\vec{FO}) = 2(\vec{v}+\vec{u})=2\vec{u}+2\vec{v} $
-). Menentukan $ \vec{AE} $ :
vektor $ \vec{OE} = \vec{AF} = \vec{v} $
$ \vec{AE} = \vec{AO} + \vec{OE} = (\vec{AF}+\vec{FO}) + \vec{AF} = (\vec{v}+\vec{u}) + \vec{v} = \vec{u}+2\vec{v} $

b). Menentukan $ \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} $
$ \begin{align} & \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} \\ & = (2\vec{u}+\vec{v})+(2\vec{u}+2\vec{v})+(\vec{u}+2\vec{v}) \\ & = 5\vec{u} + 5\vec{v} \\ & = 5(\vec{u} + \vec{v} ) \end{align} $

Baca Juga:   Komponen Vektor Yang Tegak Lurus Terhadap Vektor

Perhatikan gambar (ii) :
c). $ \vec{FB} $ dan $ \vec{DB} $
-). Menentukan $ \vec{FB} $ :
vektor $ \vec{FA} = -\vec{AF} = -\vec{v} $
$ \vec{FB} = \vec{FA}+\vec{AB}) = -\vec{v}+\vec{u} = \vec{u} – \vec{v} $
-). Menentukan $ \vec{DB} $ :
vektor $ \vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{u} $
vektor $ \vec{EO} = \vec{OB} = \vec{FA} = -\vec{v} $
$ \vec{DB} = \vec{DE}+2\vec{EO} = -\vec{u}+2(-\vec{v}) = -\vec{u} – 2\vec{v} $

d). Menentukan $ \vec{FB} + \vec{DB} $
$ \vec{FB} + \vec{DB} = (\vec{u} – \vec{v}) + (-\vec{u} – 2\vec{v}) = -3\vec{v} $

e). Menentukan $ \vec{FB} – \vec{DB} $
$ \vec{FB} – \vec{DB} = (\vec{u} – \vec{v}) – (-\vec{u} – 2\vec{v}) = 2\vec{u} + \vec{v} $

7). Diketahui segitiga ABC dengan titik P ditengah AC dan Q pada BC sesampai lalu $ BQ = QC $. Jika $ \vec{AB} = \vec{c} $ , $ \vec{AC} = \vec{b} $ , dan $ \vec{BC} = \vec{a} $ , maka nyatakan vektor $ \vec{PQ} $ dalam $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $.
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

*). Untuk menuntaskan soal nomor 7 ini, ada dua cara gampang yaitu :

Cara I :
*). DIketahui sedikit vektor :
$ \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB} \rightarrow \vec{c} = \vec{b} + (-\vec{a}) $
$ \rightarrow \vec{c} = \vec{b} -\vec{a} $
$ \vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{CA} = \frac{1}{2}(-\vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{b} $
$ \vec{BQ} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{a} $
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = \vec{PA} + \vec{AB} + \vec{BQ} \\ & = -\frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a} \\ & = -\frac{1}{2}\vec{b} + (\vec{b} -\vec{a}) + \frac{1}{2}\vec{a} \\ & = \frac{1}{2}\vec{b} – \frac{1}{2}\vec{a} \\ & = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{PQ} = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) $.

Cara II :
*). Beberapa vektor diketahui :
$ \vec{PC} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{b} $
$ \vec{CQ} = \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}(-\vec{a}) = -\frac{1}{2}\vec{a} $
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ } & = \vec{PC} + \vec{CQ} \\ & = \frac{1}{2}\vec{b} + ( -\frac{1}{2}\vec{a} ) \\ & = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \\ & = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{PQ} = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) $.

8). Pada bidang empat OABC, N merupakan titik tengah BC. Jika vektor $ \vec{OA} $ , $ \vec{OB} $ , $ \vec{AC} $ berturut-turut dinyatakan dengan $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $, maka vektor $ \vec{NA} $ sanggup dinyatakan sebagai?
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,

*). Menentukan sedikit vektor :
$ \vec{BA} = \vec{BO} + \vec{OA} = -\vec{b} + \vec{a} $
$ \vec{CB} = \vec{CO} + \vec{OB} = -\vec{c} + \vec{b} $
$ \vec{NB} = \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}(-\vec{c} + \vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} $
*). Menentukan vektor $ \vec{NA} $ :
$ \begin{align} \vec{NA} & =\vec{NB} + \vec{BA} \\ & =-\frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} + (-\vec{b} + \vec{a}) \\ & = \vec{a} -\frac{1}{2}\vec{b} -\frac{1}{2}\vec{c} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \vec{NA} = \vec{a} -\frac{1}{2}\vec{b} -\frac{1}{2}\vec{c} $ .

       Demikian pembahasan materi Persobat semua Vektor dengan Skalar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan “sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan vektor“.