Permutasi Pada Peluang Dan Contohnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah berguru ihwal “Aturan Persobat semua, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial” yang merupakan salah satu bab dari kaidah pencacahan. Pada artikel kali ini kita akan membahas bahan Permutasi pada Peluang dan Contohnya yang juga merupakan bab dari kaidah pencacahan. Permutasi dibagi menjadi tiga ialah permutasi dengan unsur yang berbeda, permutasi yang memuat sedikit unsur sama, dan permutasi siklis.

Permutasi dengan unsur yang berbeda
       Permutasi merupakan cara penyusunan suatu percobaan atau suatu insiden yang memperhatikan “URUTAN”. Misalkan kita menentukan dua orang yang akan menjadi ketua dan bendahara, dan yang terpilih merupakan si A dan B. Jika si A menjadi ketua dan si B menjadi bendahara maka susunan ini akan berbeda dengan si B menjadi ketua dan si A menjadi bendahara, atau secara singkat “URUTAN” sangat mensugesti sesampai kemudian AB $ \neq \, $ BA pada permutasi. Contoh-contoh insiden yang merupakan permutasi atau insiden yang memperhatikan “URUTAN” ialah pemilihan kepengurusan, penyusunan cara duduk, posisi dalam berfoto, menyusun angka, menusun plat nomor, dan pemilihan juara dalam lomba.

       Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur yang tersedia biasanya dituliskan $ P_k^n \, $ atau $ \, _nP_k \, $ atau $ P(n,k) \, $ dengan $ k \leq n \, $ .
Cara penghitungannya :
*). Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_k^n = \frac{n!}{(n-k)!} $
*). Permutasi $ n $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! $
Keterangan :
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times …\times 3 \times 2 \times 1 \, $ dan $ 0! = 1 $.
$ n! \, $ dibaca “$n \, $ faktorial”.

       Permutasi dengan unsur yang berbeda maksudnya unsur-unsur yang ingin kita susun semuanya berbeda. Misalkan ada 5 orang akan kita pilih 3 orang untuk menjadi pengurus osis, maka yang dimaksud berbeda merupakan setiap orang dari 5 orang tersebut berbeda semua tak ada yang sama. contoh lain, kita misalkan ingin menyusun bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8, artinya angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8 semuanya berbeda. Contoh permutasi yang unsurnya tak berbeda merupakan misalkan kita menyusun 4 angka yang dipilih dari angka-angka 2,3,3,5, artinya dari angka-angka 2,3,3,5 ada yang sama ialah angka 3.

Contoh soal permutasi dengan unsur berbeda :
1). Tentukanlah nilai permutasi berikut,
a). $ P_3^7 $
b). $ P_5^5 $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} P_3^7 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \end{align} $
b). $ \begin{align} P_5^5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \end{align} $

2). Tentukan nilai $ n \, $ pada persamaan $ P_2^{(n-1)} = 20 $.
Penyelesaian :
$ \begin{align} P_2^{(n-1)} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{[(n-1)-2]!} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{(n-3)!} & = 20 \\ \frac{(n-1) \times (n-2) \times (n-3)!}{(n-3)!} & = 20 \\ (n-1) \times (n-2) & = 20 \\ n^2 – 3n + 2 & = 20 \\ n^2 – 3n -18 & = 0 \\ (n + 3)(n-6) & = 0 \\ n = -3 \vee n & = 6 \end{align} $
Karena $ n \, $ positif, maka yang memenuhi merupakan $ n = 6 $.
Jadi, nilai $ n = 6 $.

3). Sekolah Sekolah Menengan Atas Generasi Emas, setiap tahun mengadakan program pentas seni. Biasanya 8 bulan sebelum program akbar, para siswa melaksanakan pemilihan untuk jabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkan diri; yakni, Ayu (A), Beni (B), Charli (C), Dayu (D), dan Edo (E). Bagaimana kita mengetahui kaya cara menentukan ketua dan sekretaris untuk program pentas seni sekolah tersebut?
Penyelesaian :
Cara I : dengan cara mendaftar,
Seluruh kandidat yang cukup dibuat sanggup didaftarkan sebagai berikut:
AB BA CA DA EA
AC BC CB DB EB
AD BD CD DC EC
AE BE CE DE ED
Dari daftar di atas diperoleh kaya susunan pengurus program pentas seni merupakan 20 cara.

Cara II : dengan cara permutasi,
Jabatan yang akan diisi merupakan ketua dan sekretaris, artinya kita akan menentukan dua orang untuk kedua jabatan yang dipilih dari 5 orang yang tersedia, sesampai kemudian dalam permutasi ditulis $ P_2^5 $
$ \begin{align} P_2^5 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20 \end{align} $
Jadi, kaya susunan pengurus program pentas seni merupakan 20 cara.

Baca Juga:   Aturan Perkalian, Hukum Penjumlahan, Dan Faktorial

4). Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka tanpa memuat angka yang sama dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan kaya pilihan nomor antrian dibuat dari:
a). Tiga angka pertama.
b). Empat angka yang tersedia.
Penyelesaian :
a). Jika resepsionis memakai angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang sanggup disusun merupakan:
*). Cara mendaftar eksklusif :
123 132 213 231 312 321
Terdapat 6 angka kupon antrian.
*). Cara permutasi :
Kita menentukan 3 angka dari 3 angka pertama yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Terdapat 6 angka kupon antrian.

b). Jika nomor antrian disusun dengan memakai angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan nomor antrian yang diperoleh merupakan:
*). Cara mendaftar eksklusif :
123 142 231 312 341 421
124 143 234 314 342 423
132 213 243 321 412 431
134 214 241 324 413 432
Sesampai kemudian terdapat 24 pilihan nomor antrian.
*). Cara permutasi :
Kita menentukan 3 angka dari 4 angka yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^4 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \end{align} $
Sesampai kemudian terdapat 24 pilihan nomor antrian.

5). Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan kayanya bilanganbilangan tersebut yang kurang
a). dari 500
b). dari 600
Penyelesaian :
a). Oleh lantaran bilangan-bilangan kurang dari 500 maka angka ratusan hanya sanggup diisi oleh satu angka, ialah angka 4.
*). Angka puluhan dan satuan sanggup diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti Kita harus menentukan dua angka dari 4 angka, ialah
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500.

b). Oleh lantaran bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, ialah angka 4 dan 5. Artinya untuk angka ratusan ada dua pilihan angka.
*). Untuk angka puluhan dan satuan kita pilih dari sisa angka yang sudah digunakan untuk ratusan ialah tersisa 4 angka lantaran satu angka sudah digunakan pada angka ratusan, ni berarti Kita harus menentukan dua angka dari 4 angka, ialah
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Sesampai kemudian total kayanya bilangan yang kurang dari 600 $ = 2 \times 12 = 24 $.
Jadi, terdapat 24 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 600.

6). Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan merupakan setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kecukupan cara untuk menentukan dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C).
*). Cara mendaftar dengan diagram kecukupan susunan pengurus :

dari diagram, ada 6 kecukupan kepengurusan yang terbentuk.

*). Cara permutasi :
Ada tiga orang ialah Abdul, Beny, dan Cindi akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara, artinya permutasi 3 unsur dari 3 unsur :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Jadi, ada 6 kecukupan kepengurusan yang terbentuk.

Permutasi yang memuat sedikit unsur sama
       Misalkan dari $ n \, $ unsur terdapat $ k_1, k_2, k_3, ….,k_t \, $ unsur yang sama dengan $ k_1 + k_2 + k_3 + … + k_t \leq n $ . Banyak permutasi dari $ n \, $ unsur tersebut merupakan :
$ \begin{align} P_{(k_1,k_2,k_3,…,k_t)}^n = \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times k_3! \times … \times k_t! } \end{align} $

Contoh permutasi yang memuat sedikit unsur yang sama :
7). Berapa kaya susunan yang sanggup dibuat dari 3 karakter yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata APA?
Penyelesaian :
*). Kata-kata yang terbentuk tak harus bermakna.
*). Kata APA terdiri dari 3 karakter ialah A, P, dan A yang akan kita susun ulang sesampai kemudian membentuk kata gres yang tetap terdiri dari 3 karakter tersebut.
*). Cara Mendaftar eksklusif :
*). Tersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama; yaitu, karakter A.
*). Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan kaya permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh lantaran itu, hurufhuruf yang sama (huruf A) diberi label A$_1$, dan A$_2$.
*). Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama merupakan:
A$_1$PA$_2$, A$_2$PA$_1$, A$_1$A$_2$P, A$_2$A$_1$P, PA$_1$A$_2$, PA$_2$A$_1$.
*). Kita hapus label yang ada, sesampai kemudian :
Kelompok A$_1$PA$_2$ dan A$_2$PA$_1$, apabila labelnya dihapus maka diperoleh permutasi APA .
Kelompok A$_1$A$_2$P dan A$_2$A$_1$P, apabila labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP .
Kelompok PA$_1$A$_2$ dan PA$_2$A$_1$, apabila labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA .
Karena ada unsur yang sama (A dua kali), maka gotong royong permutasi dari kata APA hanya ada tiga ialah APA, AAP, dan PAA.
Jadi, ada 3 susunan kata gres yang diperoleh dari kata APA.

Baca Juga:   Apa Bedanya Permutasi Dan Kombinasi Pada Peluang

*). Cara permutasi unsur sama :
Kata APA memuat 2 unsur yang sama ialah karakter A, dan kata APA terdiri dari 3 huruf. Sesampai kemudian total karakter gres yang terbentuk merupakan
$ \begin{align} P_{2}^3 = \frac{3!}{2! } = \frac{3 \times 2!}{2! } = 3 \end{align} $
Jadi, ada 3 susunan kata gres yang diperoleh dari kata APA.

8). Berapa kaya kata sanggup disusun dari kata:
a). AGUSTUS
b). GAJAH MADA
c). MATEMATIKA
d). RABU
Penyelesaian :
a). Kata AGUSTUS
Banyaknya karakter = 7, kayanya S = 2, dan kayanya U = 2.
$ \begin{align} P_{2,2}^7 = \frac{7!}{2! . 2! } = \frac{7.6.5.4.3.2.1 }{(2.1).(2.1) } = 1260 \end{align} $
Jadi, kayanya kata gres dari kata AGUSTUS merupakan 1.260 kata.

b). Kata GAJAH MADA
Banyaknya karakter = 9, kayanya A = 4
$ \begin{align} P_{4}^9 = \frac{9!}{4! } = 15120 \end{align} $
Jadi, kayanya kata gres dari kata GAJAH MADA merupakan 15.120 kata.

c). Kata MATEMATIKA
Banyaknya karakter = 10, kayanya A = 3, kayanya M = 2, dan kayanya T = 2.
$ \begin{align} P_{3,2,2}^{10} = \frac{10!}{3!. 2! . 2! } = \frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(2.1).(2.1) } = 151200 \end{align} $
Jadi, kayanya kata gres dari kata MATEMATIKA merupakan 151200 kata.

b). Kata RABU
Banyaknya karakter = 4, dan tak ada yang sama
$ \begin{align} P_{1}^4 = \frac{4!}{1! } = 4! = 4.3.2.1 = 24 \end{align} $
Jadi, kayanya kata gres dari kata RABU merupakan 24 kata.

9). Berapakah kayanya bilangan yang sanggup disusun dari angka 2275 yang terdiri dari empat angka?
Penyelesaian :
*). Kita akan menyusun angka yang terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka-angka 2,2,7,5.
*). Cara mendaftar eksklusif dengan diagram :

Sesampai kemudian kayanya permutasi 2275 ada 12 cara.

*). Cara permutasi unsur yang sama.
Angkanya 2275, kayanya angka = 4 dan kaya angka 2 ada 2.
$ \begin{align} P_{2}^4 = \frac{4!}{2! } = 4 . 3 = 12 \end{align} $
Jadi, kayanya permutasi 2275 ada 12 cara.

10). Berapa kaya bilangan 7 angka yang sanggup disusun dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7
Penyelesaian :
Banyaknya angka = 7, kayanya angka 4 ada 3, kayanya angka 5 ada 3.
$ \begin{align} P_{3,3}^{7} = \frac{7!}{3!. 3! } = \frac{ 7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(3.2.1) } = 140 \end{align} $
Jadi, kayanya bilangan 7 angka dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7 merupakan 140 angka.

Contoh soal permutasi siklis :
11). Dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut lagi membaca di meja bundar. Tentukan kaya cara keempat orang itu duduk melingkari meja bulat tersebut?

Penyelesaian :
*). Misalkan si A kita anggap sebagai titik acuan, maka susunan duduk yang akan kita peroleh menyerupai gambar berikut ini dengan arah putaran searah jarum jam.

*). Dari gambar di atas, ternyata hanya ada 6 susunan duduk berbeda yang kita peroleh dari empat orang yang duduk melingkar.
*). Untuk cara membaca searah jarum jam :
perhatikan gambar (1), susunan duduknya : ABCD, BCDA, CDAB, DABC
Akan tenamun keempat susunan duduk ini gotong royong sama saja menyerupai gambar (1), hanya cara membacanya saja empat cara.
perhatikan gambar (2), susunan duduknya : ABDC, BDCA, DCAB, CABD
Akan tenamun keempat susunan duduk ini gotong royong sama saja menyerupai gambar (2), hanya cara membacanya saja empat cara.
Begitu seterusnya untuk gambar (3) hingga gambar (6).

*). Cara permutasi siklis :
Ada 4 orang duduk melingkar, maka semua susunan duduk berbeda merupakan :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 $
Jadi, ada 6 susunan duduk berbeda dikala ada 4 orang duduk melingkar.

12). Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta akan melaksanakan rotasi kepala cabang yang terdapat di 5 kota besar, ialah Fahmi (Jakarta), Cintha (Surabaya), Trisnawati (Bandung), Novand (Medan), dan Rahmat (Padang). Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang cukup untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulah staff andal tersebut untuk menyusun pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita anggap nama-nama kota sebagai bangku kawasan duduk kelima kepala cabang tersebut. Ini artinya kita akan menentukan kayanya susunan duduk yang berbeda dari 5 orang yang duduk melingkar ialah sekaya :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 $
Jadi, ada 24 susunan rotasi yang cukup yang sanggup dilakukan oleh direktor bank tersebut.

13). Berapa cara yang cukup sanggup dibuat apabila dalam suatu pesta makan terdapat 7 orang yang duduk dalam :
a). berjajar dalam satu baris,
b). meja makan bundar.
Penyelesaian :
a). Posisi duduk berjajar dalam satu baris merupakan permutasi 7 unsur dari 7 unsur atau kita menentukan 7 orang untuk kita tempatkan pada 7 bangku berjajar ialah :
$ \begin{align} P_7^7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 \end{align} \, $ cara.
soal (a) ini memakai permutasi unsur berbeda.

b). Duduk di meja bundar, artinya permutasi siklis 7 unsur.
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (7-1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 \, $ cara.

14). Wati dan Indah beserta 3 sobat lainnya duduk melingkar pada meja bundar. Tentukan kaya susunan duduk berbeda apabila Wati dan Indah selalu bersama.
Penyelesaian :
*). Syaratnya Wati dan Indah harus selalu bersama, maka kita blok mereka dan kita anggap satu orang sesampai kemudian kini totalnya ada 4 orang.
*). kita gunakan permutasi siklis 4 unsur :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 \, $ cara.
*). Dua orang yang kita blog (Wati dan Indah) sanggup ditukar-tukar posisinya ialah Wati-Indah atau Indah-Wati, ialah ada 2 cara.
*). Total cara duduk $ = 2 \times 6 = 12 \, $ cara.
Jadi, total susunan duduk melingkar supaya Wati dan Indah selalu bersama merupakan 12 cara.
Catatan : Kenapa harus di blok kedua orang tersebut? dengan kita blok, maka niscaya dijamin mereka akan selalu bersama.